CHƯƠNG 1 các PHÉP BIẾN đổi và PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƠNG TRÌNH đại số

Mặc dù các hệ phương trình vi phân tuyến tính đều có thể được giải bằng phương pháp cổ điển, nhưng với các bài toán về tín hiệu và phân tích hệ kỹ thuật là tuyến tính giữa đầu vào và đầu

CHƯƠNG 1: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI

SỐ 1.1 SỐ PHỨC

Nhiều bài toán lý thuyết cũng như trong thực tế dẫn đến phương trình đơn giản x2

+ 1 = 0

Trong trường số thực R, ta nói rằng phương trình này vô nghiệm, tức là không tồn tại x thuộc

R để x2 + 1 = 0 Một vẫn đề đặt ra là, có hay không một trường nào đó, để trong trường đó

Ký hiệu C là tập tất cả các số phức, dễ dàng chứng minh được rằng C là một không gian vecto

với các phép toán cộng hai số phức và nhân một số thực với số phức được định nghĩa trong phần tiếp theo

Với z  a bi , thì a và b tương ứng được gọi là phần thực (real part, ký hiệu Rez) và phần ảo (imaginary part, ký hiệu Imz)

Số phức z a bi được gọi là số phức liên hợp (conjugate) của z, và được ký hiệu là ̅

1.1.2 Mặt phẳng phức

Vì mỗi số phưc z= a+jb là một cặp số thực (a,b)nên ta có thể biểu diễn nó bằng một điểm M

trong mặt phẳng tọa độ còn gọi là mặt phẳng phức (+1; j ) sao M có tọa độ là a và b

Mặt phẳng Phức là mặt phẳng để biểu diễn số phức với hệ tọa độ Descartes có trục Ox (Trục Hoành) biểu diễn Phần Thực, Trục Oy (Trục Tung) Biểu diễn phần ảo

Điểm M có tọa độ (a,b) gọi là ảnh của số phức z=(a,b) Số phức z gọi tọa vị của điểm M

Trong mặt phẳng phức, số phức (0,0) có ảnh là gốc tọa độ O, số phức (1,0) và (0,1) có những

vị trí đặc biệt

VD : Biểu diễn các số phưc sau trên mặt phẳng phức :

(1.1.1)

Các dạng biểu diễn số phức

 Dạng đại số

Là dạng viết theo tổng đại số phần thực và ảo: V = a + jb biểu thị số phức này trên mặt phẳng phức (+1; j ) Hình 1.1, bằng một điểm có hoành độ là phần thực a, tung độ là phần ảo b

Khoảng cách từ điểm V đến gốc toạ độ gọi là: modul V của số phức V, góc hợp giữa trục thực

và V là  - gọi là argymen của số phức V Ta có:

ba

j

1e

1

e

2

π j 2

z tương ứng được gọi là tổng, hiệu, tích và thương

của hai số phức z1 với z2

Ví dụ 1.1.1 Thực hiện phép tính 1 3

3

i i

1.1.4 Thực hiện các phép tính phức trên máy tính kĩ thuật

a Các máy tính trên bàn phím có nút bấm ghi chữ cái a và b

- Các phím chuyển máy sang môi trường tính phức: PCLX, DRG

- Phím để chuyển đổi dạng đại số sang số mũ và ngược lại của số phức: 2ndF hoặc Shift

- Các phím mở máy ở trạng thái ban đầu: ON hoặc AC

Ta bấm các phím trên cho tới khi trên màn hình nổi ba ô chữ: 0, CPLX và DEG thì máy sẽ thực hiện các phép tính số phức

(1.1.4)

(1.1.5)

a Shift a

b

2ndF +/- b

b

b

Shift 2ndF



 j 53 , 13 0

e

5 bấm 5 53,13 hoặc  phần thực=3  phần ảo

+ Chuyển các số phức ở dạng số mũ sang đại số

+ Thực hiện theo luật như các phé p tính đại số là nhân chia trước cộng trừ sau, trong ngoặc trước ngoài ngoặc sau.v.v

0

25 j

15 j

e 4

) 3 j 3 ( e

3 ).

3 j 3

* Thực hiện phép nhân ở tử sau đó đến phép cộng ở tử rồi mới dến phép chia cho mẫu số

b Thực hiện các phép tính số phức trên MTKT fx-570MS

- Chuyển máy sang môi trường tính số phức:

Bấm phím , bấm phím 2 (CMPLX)

- Chuyển từ dạng đại số sang dạng số mũ: x + jy = Vejψ

Ví dụ: 2 + j3 = 3,6055 56,30990 ta thực hiện bấm như sau:

- Chuyển từ dạng mũ tích sang dạng đại số: Vejψ = x + jy

Ví dụ 1: 3,6055 56,30990 ta thực hiện bấm như sau:

- Thực hiện cộng trừ nhân chia số phức:

Khai báo phép tính sau đó ấn dấu bằng

0

25 j

15 j

e 4

) 3 j 3 ( e

3 ).

3 j 3

- Nâng cấp máy: Để sử dụng tính toán số phức trên máy tính fx-500MS trước tiên ta phải

nâng cấp các máy thành máy fx-570MS như sau:

+ Đối với máy fx-500MS (Có chữ A phía sau nắp máy)

Ấn: MOME 3  ấn nút REPLAY sang phải 3 1  8 ấn M +

(nhiều lần đến khi hiện chữ Data full)  M+ (1lần)  2  ấn nút REPLAY phía trên ấn các số 2 – 3 – 2 – 3 ……

3 đến hết màn hình  ấn   0  1  ấn MODE 2

Lúc đó ta quan sát thấy trên màn hình thấy máy ở chế độ CPLX, vậy là đã hoàn thành việc

chuyển đổi

+ Đối với máy fx-500MS (Không có chữ A phía sau nắp máy)

Ấn: 9.9999999999…tràn màn hình đến khi không nhìn thấy số 9 trên màn hình nữa 

EXP99  +8EXP89  AC  Ans =  AC  36  ấn nút REPLAY phía trên 1

lần  rồi lại ấn nút REPLAY sang phải 1 lần  ấn DEL nhiều lần (đến khi không thấy kí tự

nào trên màn hình nữa thì dừng lại)  AC  ấn nút REPLAY lên trên 2 lần  ấn nút

REPLAY sang phải 1 lần  rồi ấn nút REPLAY sang phải đến khi thấy chữ conjg thm thì

đưa con trỏ về vị trí chữ h  ấn 1 ta thấy màn hình hiện chữ Dim ERROR  ấn AC  ấn

nút REPLAY lên trên 2 lần, sang phải 1 lần  rồi lại ấn nút REPLAY sang phải 4 lần  Rồi

ấn liên tiếp xen kẽ EXP và ấn nút REPLAY lên trên 1 lần, đến khi hiện ra Math ERROR 

AC  MODE 2

Lúc đó ta quan sát thấy trên màn hình thấy máy ở chế độ CPLX, vậy là đã hoàn thành việc

chuyển đổi

- Thực hiện các phép tính: Giống nhƣ máy fx 570MS

1.2 PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

Biến đổi Laplace được nghiên cứu đầu tiên vào năm 1782 và được đặt theo tên của nhà toán

học và thiên văn học người Pháp nổi tiếng Pierre Simon Laplace (1749-1827) Tuy nhiên tính

hữu dụng của phương pháp này lúc đó không được công nhận Kỹ thuật thực tế để áp dụng

biến đổi Laplace rất hiệu quả như hiện nay được phát triển khoảng một trăm năm sau bởi kỹ sư

điện người Anh là Oliver Heaviside (1850-1925) Mặc dù các hệ phương trình vi phân tuyến

tính đều có thể được giải bằng phương pháp cổ điển, nhưng với các bài toán về tín hiệu và

phân tích hệ kỹ thuật là tuyến tính giữa đầu vào và đầu ra được biểu diễn bởi các phương trình

vi phân tuyến tính, phép biến đổi Laplace có ứng dụng đặc biệt Mặt khác khi dùng phép biến

đổi để giải phương trình, hệ phương trinh vi phân các điều kiện ban đầu được đưa vào ngay

trong quá trình biến đổi nên sẽ xuất hiện luôn trong biểu thức nghiệm… Phép biến đổi này là

công cụ hiệu quả để giải bài toán với điều kiện ban đầu thường gặp khi nghiên cứu các mạch

điện liên tục, các hệ dao động cơ học…

Toán tử Laplace là toán tử giúp chuyển các biểu thức phức tạp của gốc thành các biểu thức đơn

giản của ảnh, sau đó tìm nghịch ảnh của kết quả Giả sử ta cần tìm 𝑓( ) thoả mãn phương trình

(𝑓( )) 𝑔 ( ), với và 𝑔 đã biết Qua phép biến đổi Laplace, (𝑓( )) và 𝑔 ( ) tương ứng

có ảnh là ( ( )) và G(s), với ( ) là ảnh của 𝑓( ), tức là ta nhận được phương trình

( ( )) ( ) Với ( ) giải được từ phương trình này, ta tìm được nghịch ảnh là 𝑓( )

Như vậy, với toán tử Laplace, ta cần giải quyết hai vấn đề cơ bản sau:

+ Bài toán thuận: Biết gốc 𝑓( ), tìm ảnh ( )

+ Bài toán nghịch: Biết ảnh ( ), tìm gốc 𝑓( )

1.2.1 Các định nghĩa của phép biến đổi laplace

=

=

=

 f(t) liên tục từng khoảng với t  0

 f(t) tăng không nhanh hơn một hàm mũ khi t +, tức là  M > 0, s  0 sao cho |f(t)|  Me st với mọi t  0

được gọi là biến đổi Laplace của hàm 𝑓( ), ký hiệu ( ) *𝑓( )+

Hàm phức ( ) được gọi là ảnh của phép biến đổi

Ví dụ 1.2.1 Hàm bước nhảy (Heaviside) là hàm số được định nghĩa bởi

(

𝑒

𝑒

)

Phép biến đổi Laplace ngƣợc

Nếu 𝑭(𝒔) là ảnh của hàm gốc 𝒇(𝒕) với chỉ số tăng s 0 thì tại mọi điểm liên tục của 𝒇(𝒕) thì ta

f(t) F(s) f(t) F(s)

1

!( )n

(s a)



   Trong trường hợp hàm ảnh là một phân thức hữu tỉ thực sự (bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử) Bằng cách phân tích mẫu số về tích các thừa số bậc nhất và các tam thức bậc hai không có nghiệm thực rồi dùng phương pháp hệ số bất định, ta luôn có thể chuyển các phân thức hữu tỉ thực sự với

hệ số thực về tổng các phân thức đơn giản

Chứng minh tương tự ta được * ( )𝑓( )+ 𝑒  *𝑓( )+

Đặc biệt, nếu 𝑓( ) thì * ( ) 0

s

e s

 

 Nhờ hàm Heaviside ta có thể tìm ảnh của các hàm gián đoạn loại một

2 2

t

f t   e Vậy hàm

3

2( 4)

s e

1.2.2.5 Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn

Cho 𝑓( ) là một hàm gốc có ảnh là ( ) và 𝑓( ) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ T, khi đó

Định lý (Đạo hàm gốc): Giả sử 𝑓( ) và đạo hàm cấp một của nó 𝑓 ’( ) là các hàm gốc và

( ) là ảnh Laplace của 𝑓( ) Khi đó

*cos 𝑎 + * as n 𝑎 + 𝑎 𝑎

4𝑎

𝑎 ( 4𝑎 )

9

1.2.3 Ứng dụng phép biến đổi Laplace giải các phương trình vi phân

1.2.4.1 Giải các phương trình vi phân thường với điều kiện ban đầu

Biến đổi Laplace làm cho việc giải các phương trình, hệ phương trình vi phân có điều kiện đầu trở nên đơn giản hơn Xét phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng:

Chúng ta tiến hành theo các bước sau đây

• Biến đổi Laplace hai vế của phương trình, thay các biểu thức của các ảnh ta được để thu được phương trình đại số

𝑎 ( ( ) 𝑥 ) 𝑎 ( ) ( )

• Giải phương trình đại số để tìm ra X(s)

Nhóm các số hạng chung với biến X(s)

• Áp dụng phép biến đổi Laplace ngược ta được nghiệm của các bài toán ban đầu

Ví dụ 1.2.16 Tìm nghiệm của phương trình vi phân

𝑥 𝑥 𝑥 cos với điều kiện đầu 𝑥( ) 𝑥′( )

Gọi ( ) là ảnh của 𝑥( ) Thực hiện phép biến đổi Laplace, ta được

( ) ( ) ( )

( )( ) Phân tích vế phải thành các phân thức tối giản

Ví dụ 1.2.17 Tìm nghiệm của phương trình vi phân

𝑥 4𝑥 𝑥 𝑒 với điều kiện đầu 𝑥( ) 𝑥′( )

Gọi ( ) là ảnh của 𝑥( ) Thực hiện phép biến đổi Laplace, ta được

( )

4 Thực hiện phép biến đổi Laplace ngược, suy ra một nghiệm riêng của phương trình là

𝑥( ) 𝑒

4𝑒

𝑒

Ví dụ 1.2.17 Ta xét một ví dụ phức tạp hơn khi vế phải của phươg trình là một hàm gián

syms s t X;

Ví dụ 1.2.18 Tìm điện áp lối ra v0(t) của mạch điện trong hình biết điện áp ban đầu của tụ C là

vC(0) = 6V, khoá K đóng tại t = 0

Hình 1.6 Điện áp ở hai đầu tụ lối ra thoả mãn C( ) ( ) 12

1.2.4 Ứng dụng Matlab chuyển đổi Laplace và laplace ngƣợc

Biến đổi Laplace và biến đổi Laplace ngược là các hàm thông dụng của Symbolic Toolbox trong Matlab

Để tìm hàm gốc ta dùng lệnh ilaplace, tất nhiên trước đó cũng cần khai báo biến

Ví dụ 1.2.15 : Dùng lệnh trên Matlab tìm ảnh Laplace ngược

>> simplify(ans) ans = -5/4+7/2*t*exp(-2*t)+5/4*exp(-2*t)

>> pretty(ans) - 5/4 + 7/2 t exp(-2 t) + 5/4 exp(-2 t)

b

( )

( ) ( 9)

1.3 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

1.3.1 Giới thiệu chung

1.3.1.1 Phép biến đổi Fourier

Biến đổi Fourier thường được xem là sự chuyển đổi một hàm theo thời gian (tín hiệu) thành các hàm được đặc trưng bởi biên độ và tần số Tương tự như cách một hợp âm nhạc có thể được thể hiện dưới dạng âm lượng và tần số của các nốt nhạc cấu thành của nó Biến đổi Fourier có rất nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số học, xử lý tín hiệu, xác suất, thống kê, mật mã, âm học, hải dương học, quang học, hình học và rất nhiều lĩnh vực khác Phép biến đổi Fourier là sự mở rộng tự nhiên của chuỗi Fourier cho hàm f (t) không tuần hoàn Mọi hàm bình phương khả tích đều có biến đổi Fourier

Công thức của biến đổi Fourier

Ví dụ 0.1 Tìm biến đổi Fourier của hàm

∫ 𝑒 𝑑

Ví dụ 0.3 Sử dụng MATLAB để tìm biến đổi Fourier

Để tìm biến đổi Fourier trong MATLAB, ta sử dụng hàm fourier có sẵn Cú pháp đầy đủ là

fourier (f, u, v)

Trong đó, f là hàm được mô tả bởi một biểu thức, u là biến thay thế cho biến mặc định x, còn v

là biến thay thế biến mặc định w

≫fourier (sym(‘exp(-x^2)’) % Khuyết 2 đối số

ans

pi^(1/2)*exp(-w^2/4)

1.3.1 2 Các biến đổi Fourier có chứa hàm delta

Trong phần này, chúng ta sẽ chỉ ra rằng một số hàm vẫn có thể có biến đổi Fourier mặc dù chúng ta không thể tính toán chúng trực tiếp

Lý do chúng ta có thể tìm thấy biến đổi Fourier của một số hàm không khả tích tuyệt đối bởi vì với mọi t:

Một số biến đổi Fourier khác có được nhờ công thức Euler

Ví dụ 0.1 Biến đổi Fourier của hàm dấu

𝑔 ( ) {

Hàm này không khả tích tuyệt đối Tuy nhiên chúng ta xét hàm xấp xỉ với nó, 𝑒 | | 𝑔 ( ), trong đó ε là số dương nhỏ Hàm mới này khả tích tuyệt đối và

* 𝑔 ( )+

(

𝑗 𝑗 ) Nếu ω = 0 thì (1.2.10) bằng 0

Một số biến đổi Fourier của các hàm thường gặp

1.3.1.3 Các tính chất của phép biến đổi Fourier

Về nguyên tắc, chúng ta có thể tính toán bất kỳ biến đổi Fourier nào từ định nghĩa của nó Tuy nhiên, sẽ hiệu quả hơn nhiều khi rút ra một số mối quan hệ đơn giản liên quan đến các biến đổi với nhau

(0.10)

Ví dụ 0.1 Tìm biến đổi Fourier của ( ) cos 𝑎( )

Theo công thức Error! Reference source not found.

* ( ) cos 𝑎 + , ( 𝑎) ( 𝑎)- 𝑗

𝑎 nên

* ( ) cos 𝑎( )+

𝑒 { , ( 𝑎) ( 𝑎)- 𝑗

𝑎 } Với 𝑎 và τ = 1 thì

(0.1)

(0.2)

- Với k > 0: 𝑥 tương ứng với Khi đó

(0.3)

Tất nhiên, ta cũng có thể tính trực tiếp như sau

𝑓( ) ∫ (𝑥)𝑒 𝑑𝑥

(0.5) (0.4)

∫ ( )𝑒 𝑑

* ( )+

 Biến đổi Fourier của các đạo hàm

Giả sử 𝑓( )( ) 𝑘 , liên tục và 𝑓( )( ) có thể liên tục từng khúc Giả thiết thêm,

1.3.1.4 Phép biến đổi Fourier ngƣợc

Ta có thể sử dụng công thức định nghĩa biến đổi Fourier ngược để tìm 𝑓( ) bằng cách tính trực tiếp tích phân đó

Ví dụ 0.1 Tìm biến đổi Fourier ngược của ( ) 𝑒 | |

Từ định nghĩa của phép biến đổi Fourier ngược

Một phương pháp khác để tìm biến đổi Fourier ngược là biểu diễn ( ) dưới dạng tổng của các phân thức thực sự rồi sử dụng công thức trong bảng có sẵn Ví dụ sau minh họa kỹ thuật này

Ví dụ 0.2 Tìm biến đổi Fourier ngược của

)

( 𝑗 )( 𝑗 )Chúng ta viết lại như sau, với A, B, C cần tìm

( 𝑗 ) |

49

1.3.2 Biểu diễn tín hiệu tuần hoàn bằng chuỗi Fourier

1.3.2.1 Định nghĩa 1: Hàm f(t) tuần hoàn, chu kỳ T, tần số cơ bản ω0= 2π T nếu thỏa:

1.3.2.3 Mô tả toán học cho tín hiệu tuần hoàn:

Ví dụ1: Cho tín hiệu f(t) như hình 1.3.1

Hình 1.3.1 Tín hiệu tuần hoàn cho ví dụ 1

Mô tả toán học cho tín hiệu trên như sau:

3 0< t <4 ( )

Hình 1.3.2 Mô tả toán học của một số tín hiệu tuần hoàn

1.3.2.4 Khai triển Fourier của hàm tuần hoàn

Định nghĩa: Chuỗi Fourier của hàm tuần hoàn f(t), chu kỳ T có dạng:

Hình 1.3.3 Tín hiệu tuần hoàn phân bố hình chữ nhật trong không gian

Với cách chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ta xét hàm số trong 1 chu kỳ T=2π với khoảng [-π,π],

ω0=2π T=1 Mô tả toán học của tín hiệu như sau:

< t <0 ( )

0 0

Trong trường hợp này, mô tả toán học của tín hiệu như sau:

   

< t 2( ) < t <

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

0 2 0

0

0 0

(t) sin(

2 12

/ 2 / 2

Công thức liên hệ giữa dòng điện I(t) và điện thế cung cấp v0(t) là:

trong đó Q0 là điện tích ban đầu của điện dung C Công thức liên hệ giữa dòng

điện I(t) và điện thế v(t) là:

Từ (1.3.12) và (1.3.13) ta có phương trình tính v(t):

Điều kiện khởi đầu của điện thế ra là v0= Q0/ C Giả thiết v0(t) là một dãy điện

xung tuần hoàn với chu kỳ T như hình vẽ

Để xác định v(t) chúng ta viết v0(t) dưới dạng chuỗi Fourier

Nghiệm của phương trình vi phân (1.3.14) là tổng của nghiệm phương trình thuần nhất:

0

RCv v 

Tức là

/

t RC e

 

Với α là hằng số và nghiệm riêng của (1.3.14) Vì v0 tuần hoàn, chúng ta có thể tìm nghiệm riêng tuần hoàn dạng:

Như vậy nghiệm của (3) có dạng:

Thay v(t) ở (1.3.19), v0(t) ở (1.3.15) vào phương trình (1.3.14), ta suy r:

(1.3.18)

(1.3.19)