4 điểm Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy.. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2017-2018 Bài 1 (4 điểm)
a) Tính
3 3 3 1 1 1
4 11 13 2 3 4
5 5 5 5 5 5
7 11 13 4 6 8
b) Cho 3 số
, ,
x y z
là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện:
y z x z x y x y z
, hãy tính giá trị biểu thức:
B
= + ÷ + ÷ + ÷
Bài 2 (4 điểm)
a) Tìm
, ,
x y z
biết:
2
0
x− + + +y x +xz =
b) CMR: với mọi nnguyên dương thì
3n+ −2n+ + −3n 2n
chia hết cho 10
Bài 3 (4 điểm)
Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy Để đánh máy 1 trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ hai cần 4 phút, người thứ 3 cần 6 phút Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong
Bài 4 (6 điểm) Cho tam giác ABC M,
là trung điểm BC Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME MA= .
Chứng minh rằng:
a) AC EB AC= , / /BE
Trang 2b) Gọi I là một điểm trên AC K,
là một điểm trên EB
sao cho AI =EK.
Chứng minh rằng I M K, ,
thẳng hàng c) Từ E kẻ EH ⊥BC H BC( ∈ )
Biết
· 50 ,0 · 25 0
HBE = MEB=
Tính ·HEM
và
·BME
Bài 5 (2 điểm) Tìm
,
x y∈¥
biết: 2 ( )2
36−y =8 x−2010
Trang 3ĐÁP ÁN Bài 1.
1 1 1
4 11 13
)
5 5 5 5 5 5 1 1 1 5 1 1 1
5
7 11 13 4 6 8 7 11 13 2 2 3 4
3.135
2 3.135 7.11.13 2 189 2 1289
5.129 5 4.11.13 5.129 5 172 5 860
7.11.13
a A
b) Ta có:
y z x z x y x y z y z z x x y
2
2
x y z
y z z x x y
+ +
+ +
2.2.2 8
x y z x y y z z x B
x y z x y z
⇒ = + ÷ + ÷ + ÷=
Vậy B=8
Bài 2.
a)
2
0
x− + + +y x +xz =
, áp dụng tính chất
0
A ≥
Trang 4( )
2
1 0
0
2
x x z
b) Ta có:
1
3 10 2 5 10 3 2
−
Vì 10 3( n −2n− 1)
chia hết cho 10 với mọi n nguyên dương nên ta có
dfcm
Bài 3.
Gọi số trang người thứ nhất, thứ 2, thứ 3 đánh máy được theo thứ tự
, ,
x y z
Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong1 trang; tức là số trang 3 người đánh tỉ lệ nghịch với 5;4;6
Do đó ta có:
1 1 1 : : : : 12 :15 :10
5 4 6
x y z= =
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:
555
15
12 15 10 12 15 10 35
180; 225; 150
x y z x y z
+ +
+ +
Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là: 180,225,150
Trang 6Bài 4.
a) Xét ∆AMC
và ∆EMB
có:
( );
AM =EM gt AMC EMB=
(đối đỉnh); ( )
BM = MC gt
nên
( )
AMC EMB c g c AC EB
b) Vì
AMC EMB MAC MEB
, mà 2 góc này ở vị trí so le trong \ Suy ra AC/ /BE
Xét ∆AMI
và ∆EMK
có:
AM =EM gt MAI MEK AMC= ∆ = ∆EMB
Nên
·AMI =EMK·
mà
· · 1800
AMI IME+ =
(kề bù)
Trang 7· · 1800 , ,
EMK IME I M K
thẳng hàng c) Trong
µ
BHE H
có
· 500
HBE =
· 900 · 900 500 400
· · · 400 250 150
HEM HEB MEB
·BME
là góc ngoài tại đỉnh M của ∆HEM
Nên
· · · 150 900 1050
BME HEM= +MHE = + =
(định lý góc ngoài của tam giác)
Bài 5.
Ta có: 2 ( )2 2 ( )
36−y =8 x−2010 ⇒ y +8 x−2010 =36
Vì
0 8 2010 36 2010
8
y ≥ ⇒ x− ≤ ⇒ −x ≤
Vì ( )2
0≤ −x 2010
và ( )2
, 2010
x∈¥ x−
là số chính phương nên
2 2
2
2
2010 1 2010 1 28( )
6
6( )
y
y ktm
=
Vậy ( ) (x y; = 2012;2 ; 2008;2 ; 2016;6) ( ) ( )