Cho tam giác nhọn ABCcó AB AC> ,ba đường cao BD CE, và AF cắt nhau tại H.. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC.
Trang 1TRƯỜNG THCS TRƯỜNG SA
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2017-2018 Môn: TOÁN – KHỐI LỚP 7 Thời gian: 90 phút (không kể giao đề) Bài 1 (2 điểm) Cho bốn số dương a b c d, , ,
thỏa điều kiện a c+ =2b
và c b d( + ) =2 bd
Chứng minh
a c a b
b d b d
Bài 2 (2 điểm)
a) Tìm xbiết:
3 2
5 3,25 2 1,25 2,5.0,25 0,25
b) Tìm
,
x y
biết
3+ +y 2x y+ =0
Bài 3 (2 điểm)
a) Tìm nghiệm của đa thức
2
7x −35x+42 0=
b) Đa thức f x( ) =ax2+bx c+
có a b c, ,
là các số nguyên, và a≠0.
Biết với mọi giá trị
nguyên của xthì f x( )
chia hết cho 7 Chứng minh a b c, ,
cũng chia hết cho 7
Bài 4 (2 điểm)
a) Tìm các số nguyên
,
x y
biết
x + x− y =
b) Biết x∈¤
và 0< <x 1.
Chứng minh
n
x < x
với n∈¥,n≥ 2
Bài 5 (2 điểm)
Trang 2Cho tam giác nhọn ABCcó AB AC> ,
ba đường cao BD CE,
và AF cắt nhau tại H Lấy điểm M
trên cạnh AB sao cho AM = AC.
Gọi N là hình chiếu của M
trên AC; K là giao điểm của MNvà CE
a) Chứng minh hai góc KAH
và MCBbằng nhau b) Chứng minh AB CE AC BD+ > +
Trang 3ĐÁP ÁN Bài 1.
Từ
c b d bd b d
c
Viết
2 2
a c bc c a c a c a c a b
Bài 2.
a) Tính được
3
3
2
x x
x
=
− = ⇒
=
b) Vì
3+ ≥y 0, 2x y+ ≥ ⇒ + +0 3 y 2x y+ ≥0
3
2
+ =
Bài 3.
a) Viết được
2
x
x
=
− + = − − ⇒ =
b) Từ giả thiết ⇒ f ( )0 =c
chia hết cho 7
( )1
f
và f ( )−1
chia hết cho 7, tức là a b c+ +
và a b c− +
chia hết cho 7 Suy ra 2a+2c
chia hết cho 7 để có aM7⇒bM7
Bài 4.
a) Viết được ( )2 2
1 42 8
x+ = + y
Suy ra ( )2
1
x+
là số chẵn , để có ( )2
1
x+
chia hết cho 4 nên
2
42 8y+
không chia hết cho 4
Trang 4Vậy không có số nguyên
,
x y
thỏa mãn đề bài
b) Xét x n − =x x x( n−1−1)
1
0< < ⇒x 1 x n− − <1 0;x > ⇒0 x n − <x 0 Suy ra điều phải chứng minh
Trang 5Bài 5.
a) Nêu được
AK ⊥MC⇒KAH =MCB
b) Chứng minh CE MN=
Viết được AB AC BD CE− > − ⇒BM >BD MN−
MI ⊥BD⇒ BM >BI
Vậy AB CE AC BD+ > +