chuong 3 dong hoc vật lý

Microsoft Word Chuong 3 Chuyen dong phuc hop cua diem doc 89 CHƯƠNG III CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA ĐIỂM Trong các chương trước chúng ta đã khảo sát chuyển động của điểm hay của vật đối với một hệ quy chiếu.

CHƯƠNG III CHUYỂN ĐỘNG PHỨC HỢP CỦA ĐIỂM

Trong các chương trước chúng ta đã khảo sát chuyển động của điểm hay của vật đối với một hệ quy chiếu đã chọn được xem là cố định Nhưng trong một số bài toán, để thuận lợi ta phải khảo sát chuyển động của điểm hay của vật đối với hai

hệ quy chiếu, trong đó có một hệ quy chiếu được xem là đứng yên còn hệ quy chiếu thứ hai chuyển động so với hệ quy chiếu đứng yên Chuyển động của điểm hay của vật được khảo sát qua hai hệ quy chiếu được gọi là chuyển động phức hợp

§1 Các định nghĩa

1 Hệ quy chiếu

Hệ quy chiếu là vật được chọn làm mốc để khảo sát

chuyển động của điểm hay vật rắn

Hệ quy chiếu gắn với vật cố định trong không gian

được gọi là hệ quy chiếu cố định hay còn gọi là hệ

quy chiếu tuyệt đối Trong bài toán kỹ thuật, hệ quy

chiếu cố định thường được gắn với mặt đất

Hệ quy chiếu gắn với vật đang chuyển động được gọi

là hệ quy chiếu động (hệ động) hay còn gọi là hệ quy chiếu tương đối

Để tiện cho việc khảo sát thường ta gắn với vật được chọn làm hệ quy chiếu một

hệ trục tọa độ - Thường là hệ tọa độ Đề các Vì vậy ta có thể gọi tắt hệ tọa độ đã chọn là hệ quy chiếu

2 Định nghĩa chuyển động

Xét chuyển động phức hợp của động điểm M đối với hệ quy chiếu động Oxyz,

hệ quy chiếu này lại chuyển động đối với hệ quy chiếu O1x1y1z1 được xem là cố định ta có các định nghĩa sau

a) Chuyển động của động điểm so với hệ quy chiếu động được gọi là chuyển động tương đối, tức là ta gắn với hệ động để quan sát chuyển động của M Vận

Hình 3.1

x1

y1

z1

O1

O

x

y

z M

(I)

(II)

tốc, gia tốc của chuyển động của điểm trong chuyển động này gọi là vận tốc tương đối ký hiệu Vr

; và gia tốc tương đối ký hiệu là Wr

b) Chuyển động của động điểm so với hệ quy chiếu cố định được gọi là chuyển động tuyệt đối Tức là ta gắn chặt với hệ quy chiếu cố định để quan sát chuyển động của M Vận tốc, gia tốc của động điểm chuyển động trong hệ quy chiếu tuyệt đối được gọi là vận tốc tuyệt đối ký hiệu là Va

; và gia tốc tuyệt đối ký hiệu

là Wa

c) Chuyển động của động điểm hay vật rắn cùng hệ quy chiếu động so với hệ quy chiếu cố định được gọi là chuyển động kéo theo Chuyển động kéo theo là chuyển động của hệ động mang theo động điểm hay vật rắn cùng với nó chuyển động so với hệ quy chiếu cố định Vận tốc, gia tốc của động điểm trong chuyển động kéo theo gọi là vận tốc theo ký hiệu là Ve

; và gia tốc theo ký hiệu là We

Để xác định vận tốc, gia tốc theo ta dựa vào khái niệm trùng điểm

Trùng điểm là điểm không gian của hệ quy chiếu động (điểm thuộc vật được chọn làm hệ quy chiếu động) mà tại thời điểm khảo sát trùng với vị trí của động điểm Ký hiệu trùng điểm của động điểm M là điểm M* thuộc hệ quy chiếu động (vật rắn được chọn làm hệ quy chiếu) Khi đó vận tốc theo, gia tốc theo của động điểm bằng vận tốc và gia tốc của trùng điểm tại thời điểm khảo sát, tức là:

V   V ;W W

Như vậy, việc xác định vận tốc theo và gia tốc theo được đưa về việc xác định vận tốc, gia tốc của điểm thuộc vật rắn chuyển động được chọn làm hệ quy chiếu động

§2 Xác định vận tốc của điểm trong chuyển động phức hợp

1 Định lý hợp vận tốc

Định lý: Trong chuyển động phức hợp của điểm vận tốc tuyệt đối bằng tổng hình học của vận tốc tương đối và vân tốc theo

Ta có: V  a  Vr Ve ( 3.1)

Chứng minh

Xét chuyển động của điểm M từ Hình 3.2 ta có

véctơ định vị của M đối với hệ cố định:

O M r .

Gọi r là véctơ định vị của M đối với gốc hệ

động, với i , j ,k   là các véctơ đơn vị của hệ trục

tọa độ động, ta có: OM r x.i y j z.k .

Do OO 1 ro nên:

r  r x.i y j z.k 

Lấy đạo hàm hai vế biểu thức trên theo thời gian t ta được:

r  r x.i y j z.k x.i y j z.k  ( a )

Theo định nghĩa ta có:

V r ( b )

r

i , j ,k Const

dr

dt 

      

a

x ,y ,z Const

dr

V r x.i y j z.k ( d )

dt 

Thay (b),(c),(d) vào (a) ta được: V  a  Vr Ve ( dpcm )

2 Áp dụng

Định lý hợp vận tốc thường dùng để xác định các thành phần vận tốc trong chuyển động phức hợp Để xác định được thì trong ba thành phần vận tốc ít nhất phải xác định được phương và độ lớn của hai thành phần vận tốc, hoặc biết phương của cả ba thành phần và độ lớn của một thành phần vận tốc

Ví dụ: đầu B của thanh trượt nằm ngang AB liên

kết bản lề với con trượt, trượt trong rãnh dẫn

hướng của culit OC quay quanh trục nằm ngang

cố định O Khoảng cách từ trục O tới AB bằng h

Hãy xác định vận tốc góc của culit OC phụ thuộc

vào vận tốc của thanh AB và góc  hợp bởi trục

của culít và phương thẳng đứng Hình 3.3

A

 h

B

C

Ve

Va

Vr

O

Hình 3.2

x1

y1

z1

k

O

j

x

y

z

M(x, y, z)

r

ra

ro

Bài giải: Xét chuyển động của con trượt B, do con trượt được gắn với bản lề vào đầu B của thanh AB chuyển động với vận tốc V

nên vận tốc tuyệt đối của con trượt B đã biết bằng V

Chọn hệ động gắn với culít OC, ta có hệ động chuyển động quay quanh trục cố định O Do con trượt chạy trong rãnh OC nên vận tốc tương đối dọc OC, còn chuyển động theo là chuyển động của con trượt cùng culít quanh quanh O nên phương của vận tốc theo vuông góc với OC

Theo định lý hợp vận tốc: V  a  Vr Ve

Từ Hình 3.3 trên ta có : Ve V cosa  V cos

Mà Ve VB* nên  B*  2

OC

V V cos





§3 Xác định gia tốc của điểm trong chuyển động phức hợp

1 Định lý hợp gia tốc

Định lý: Trong chuyển động phức hợp của điểm, gia tốc tuyệt đối bằng tổng hình học của gia tốc tương đối, gia tốc theo và gia tốc Côriôlis

W   W W W ( 3.2 )

Chứng minh: Theo chứng minh định lý hợp vận tốc ta có:

r  r x.i y j z.k x.i y j z.k 

Lấy đạo hàm theo thời gian t của biểu thức trên ta có:

r  r x.iy j z.k x.i y j z.k 2( x.i   y j z.k )  ( a )

Theo định nghĩa ta có :

W r ( b )

2

i , j ,k Const

d r

dt 

       

2 a

x ,y ,z Const

d r

W r x.i y j z.k ( d )

dt 

Đại lượng 2( x.i y j z.k ) W  c ( e )

   là thành phần gia tốc Côriôlis

Thay (b),(c),(d),(e) vào biểu thức (a) ta được:

  

W   W W W

(Đpcm)

2 Biểu thức tính gia tốc Côriôlis

Từ chứng minh định lý hợp gia tốc ta có: Wc 2( x.i y j z.k ) 

Theo công thức Ơle ta có i di e i

dt 

   

e

 là vận tốc góc quay của

hệ động nên ta viết được:

W 2( x i y j z k ) 2 ( x.i y j z.k )







Vậy: Wc 2e Vr ( 3.3a )

Từ biểu thức (3.3a) ta thấy khi hệ động chuyển động

tịnh tiến thì e 0 do đó

c

W0

Trường hợp hệ động chuyển động quay để xác định véctơ gia tốc

côriôlis ta chiếu véctơ vận tốc tương đối Vr

xuống mặt vuông góc với trục quay (hay véctơ e) được

1

V

, quay V1

theo chiều quay của véctơ vận tốc góc e

 đi một góc bằng 90O ta được hướng của Wc

Độ lớn là: Wc 2V 1e 2Vre.Sin ( 3.3b )

3 Áp dụng

Ví dụ 1: Lăng trụ 1 chuyển động tịnh tiến

thẳng theo mặt cố định nằm ngang theo quy

luật S 12( 1 Cos t )cm

6



  làm cho cần 2

chuyển động theo rãnh dẫn hướng thẳng

đứng nhờ lò xo luôn ép cho cần 2 tiếp xúc

với bề mặt trụ bán kính R=12cm tại vị trí

đầu thanh M Hãy xác định vận tốc và gia

tốc của vật 2, xác định vận tốc và gia tốc của

điểm M so với lăng trụ tại thời điểm t=2s

Bài giải: Theo điều kiện bài toán ta nhận thấy vật 2 chuyển động tịnh tiến thẳng Chọn hệ quy chiếu động là vật 1, khảo sát chuyển động của động điểm M Xét

P

e

M

V1

Vr

90O

WC



Hình 3.4

Hình 3.5a

Va

Ve M

 R

O 1

2

M

M M

Hình 3.5b

M

 R O 2

Wr M

Wa M

We M

Wr M

y x

điểm M thuộc vật 2, khi đó chuyển động của điểm M theo phương thẳng đứng là chuyển động tuyệt đối Do đó vận tốc và gia tốc tuyệt đối của điểm M có phương thẳng đứng Khi xét điểm M là vị trí tiếp xúc giữa 1 và 2, do 1 chuyển động nên vị trí tiếp xúc sẽ thay đổi theo cung tròn bán kính R tức là M tham gia chuyển động phức hợp

* Tính vận tốc: theo định lý hợp vận tốc ta có:

V  V V

Phương của các véctơ vận tốc xem Hình 3.5a

M

e

V

có phương nằm ngang

M

t 2s

V S 12 sin t 3cm / s

Do đó chiều của M

e

V

cùng chiều với chiều dương của tọa độ S

Vận tốc tương đối M

r

V

có phương tiếp tuyến với đường tròn bán kính R, M

a

V

có phương thẳng đứng

Tại thời điểm t=2s vị trí cơ cấu như Hình 3.5a, ta xác định được:





t 2s

t 2s

S 12.( 1 cos t ) 6cm

6



Nên ta xác định được  = 30O

Từ hình vẽ ta có: M M O

V V tg30 cm / s

V V / sin30 2 cm / s

* Tính gia tốc: áp dụng định lý hợp gia tốc ta có:

W   W W W

Do hệ quy chiếu động chuyển động tịnh tiến nên ta có M

c

W 0

M

e

W

có phương nằm ngang:

 





t 2 s

W S 12 cos t cm / s



Vì vậy chiều của M

e

W

sang phải M

a

W

có phương thẳng đứng, chiều giả thiết đi xuống Do quỹ đạo chuyển động tương đối là cung tròn nên gia tốc tương đối được xác định theo quan hệ: M Mn M

W  W W 

r

W

có phương vuông góc với OM, còn Mn

r

W

có phương từ M vào O và có giá

trị là Vr2

R hay:

12 3

Giả thiết chiều của M

r

W như hình vẽ ta có quan hệ sau:

W   W W  W (*)

Chiếu (*) lên hai phương x và y ta được:





0 W sin30 W cos30 W ( 1)

W W cos30 W sin30 ( 2 )





W  2 6 3 2 0 W W

Từ (2) ta có : M 2 2

a

6



Vậy chiều gia tốc tuyệt đối của M hướng lên và có độ lớn là 2 3cm / s2

6

Vậy kết quả nhận được vận tốc tuyệt đối của thanh 2 hướng xuống và có giá trị

cm / s

 còn gia tốc tuyệt đối tuyệt đối hướng lên và có giá trị bằng 2

2 3cm / s

6

 Còn vận tương đối có giá trị là 2 cm / s chiều hướng xuống, gia

tốc tương đối hướng vào tâm O có độ lớn bằng 2cm / s2

3

Ví dụ 2: Thanh gấp khúc OAB vuông góc tại A quay quanh trục cố định O trong mặt phẳng hình vẽ làm cho thanh 2 chuyển động trong rãnh dẫn hướng có trục trùng với OC Hãy xác định vận tốc và gia tốc của điểm C thuộc thanh 2 đối với thanh OAB tại thời điểm khi :  O 

1

30 ; 1,5rad / s;

1 2rad / s ;

biết OA 10 3cm

Bài giải: Xét chuyển động của điểm C thuộc thanh 2 cũng là vị trí tiếp xúc giữa thanh 2 và 1 Chọn hệ quy chiếu động là thanh OAB quay quanh O Khi đó chuyển động tuyệt đối của điểm C là chuyển động thẳng dọc theo đường dẫn hướng của thanh 2 là OC Khi OAB quay, thì vị trí tiếp xúc C sẽ thay đổi trên đoạn AB

* Tính vận tốc: Theo định lý hợp vận tốc ta có:

V   V V

a

V

có phương thẳng đứng, Vr

có phương dọc thanh AB

V V ; C* OAB

và trùng với vị trí C nên ta có Ve

có phương vuông góc với OC, chiều theo chiều của 1 có

giá trị:

cos cos30

Từ Hình 3.6a, ta có:

O

V V tg30 30 / 3 17,32cm / s

V 2V 34,64cm / s

* Tính vận tốc: theo định lý hợp gia tốc ta có:

W   W W W

a

W

phương thẳng đứng, chiều giả thiết như hình vẽ

r

W

dọc AB, chiều giả thiết hình vẽ

n

W  W W

e

W

có phương chiều như trên Hình 3.6b, 2

W OC. 40cm / s

n

e

W

hướng từ C vào O và n 2 2

W OC. 45cm / s c

W

phương chiều như hình vẽ 2

W 2 V 103,92cm / s

  n  

W    W W W W (*)

Chiếu (*) lên hai trục nằm ngang thẳng đứng ta được:





0 W cos30 W W sin30 ( 1)

W W sin30 W W cos30 ( 2 )



Từ (1) ta tính được 2

r

W 13,81cm / s , thay vào (2) ta được 2

a

W 51,9cm / s

Hình 3.6a

Vr Va

Ve C

B

A 1

2

O







C B

A

2

Wr

Wa

We 

We n

WC

Hình 3.6b