bai giang chuong 4 dong hoc vat ly 2

Microsoft Word Chuong 4 Chuyen dong song phang doc 97 CHƯƠNG IV CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN Trong chương này chúng ta sẽ khảo sát một dạng chuyển động phức hợp của vật rắn thường gặp trong bài.

CHƯƠNG IV CHUYỂN ĐỘNG SONG PHẲNG CỦA VẬT RẮN

Trong chương này chúng ta sẽ khảo sát một dạng chuyển động phức hợp của vật rắn thường gặp trong bài toán kỹ thuật đó là chuyển động song phẳng của vật rắn

§1 Khảo sát chuyển động của vật rắn chuyển động song phẳng

1 Định nghĩa chuyển động

Định nghĩa: Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động mà trong đó mỗi điểm thuộc vật luôn chuyển động trong một mặt phẳng cố định song song với một mặt phẳng quy chiếu đã chọn trước

Ví dụ chuyển động của các bánh xe ô tô khi ô tô đang chuyển động theo đường thẳng (Hình 41a) Khi đó mặt phẳng quy chiếu là mặt phẳng vuông góc với trục các bánh xe Hay chuyển động của thanh truyền AB do thanh luôn chuyển động trong mặt phẳng chứa các cơ cấu vuông góc với trục quay cố định O (Hình 4.1b) Hay chuyển động quay quanh trục cố định là chuyển động song phẳng đặc biệt đã được xét trong chương II, trường hợp này mặt phẳng quy chiếu của chuyển động vuông góc với trục quay

2 Mô hình phẳng chuyển động song phẳng

Khảo sát chuyển động song phẳng của các vật trong không gian được thay thế bằng việc khảo sát một tiết diện phẳng thuộc vật trong một mặt phẳng cố định chuyển động song song với mặt phẳng quy chiếu của chuyển động Thật vậy, xét vật rắn () chuyển động song phẳng với mặt phẳng quy chiếu () Chia vật rắn thành các phân tố thanh vuông góc với ()

Hình 4.1a

VO

O

Hình 4.1b

O

A

B

Xét phân tố thanh AkBk có khoảng cách Ak và Bk đến () không đổi Khi () chuyển động do AkBk luôn vuông góc với () nên AkBk chuyển động tịnh tiến

Vì vậy, chuyển động AkBk được đặc trưng bởi

chuyển động của một điểm nào đó trên AkBk

Dựng mặt phẳng (Q) cố định song song với

mặt phẳng () cắt () theo tiết diện (S), cắt

AkBk tại điểm M Vì chuyển động của điểm M

thuộc (S) đặc trưng cho chuyển động của AkBk

nên chuyển động các điểm thuộc (S) trong mặt

phẳng Q hoàn toàn đặc trưng cho chuyển động

song phẳng của cả vật trong không gian

3 Phương trình chuyển động của vật rắn chuyển động song phẳng

Xét chuyển động của hình phẳng (S) trong mặt phẳng (Q) Rõ ràng vị trí của (S) được xác định khi ta xác định được vị trí của hai điểm thuộc (S) trong mặt phẳng (Q) Trong mặt phẳng (Q) dựng hệ tọa độ cố định O1x1y1 Chọn một điểm O thuộc (S) gọi là điểm cực, vị trí của điểm cực O được xác định bằng tọa độ của

nó (xO,yO) đối với hệ cố định O1x1y1 Qua O dựng hệ tọa độ Oxy sao cho Ox//O1x1, Oy//O1y1 tức là hệ Oxy chuyển động tịnh tiến cùng với điểm cực O Còn vị trí của điểm M thuộc (S) được xác định nhờ

góc quay  của (S) quanh O Như vậy chuyển động

của (S) được xác định bởi ba thông số là tọa độ điểm

cực O và góc quay của hình phẳng được phân thành

hai chuyển động thành phần là chuyển động tịnh tiến

cùng với điểm cực và chuyển động quay quanh điểm

cực đó Vì vậy phương trình chuyển động của vật có

dạng sau:

o o

x x( t )

y y( t ) ( 4.1) ( t )

 





 



 



Hình 4.3

x1

y1

O1

y

M

 (S)

Hình 4.2



Q

()

AK BK

(S) M

4 Vận tốc và gia tốc của hình phẳng chuyển động song phẳng

a) Vận tốc chuyển động của hình phẳng (S) được xác định bởi hai thành phần là vận tốc của điểm cực O Và vận tốc góc quay của hình phẳng quanh điểm cực

Ta có: o ox

oy









 

b) Gia tốc chuyển động của hình phẳng (S) cũng được xác định bởi hai thành phần là gia tốc điểm cực O và gia tốc góc của hình phẳng quay quanh điểm cực

Ta có: o ox

oy







 



  

c) Ảnh hưởng của việc chọn điểm cực đến các thành phần vận tốc, gia tốc của vật

Khi vật chuyển động song phẳng thì các điểm thuộc (S) sẽ chuyển động khác nhau Ta chứng minh được: vận tốc góc, gia tốc

góc không phụ thuộc vào việc chọn điểm cực và

chúng chính là vận tốc góc và gia tốc góc quay

tuyệt đối của hình phẳng(S)

Thật vậy, chọn điểm O’ bất kỳ thuộc (S) làm

cực, qua điểm O’ dựng hệ trục O’x’y’ tịnh tiến

cùng O’ Khi đó vận tốc góc quay định vị quanh

O’ là O' Từ hình 4.4 ta có:



o

  

Ta có góc O'MO không đổi vì ba điểm O’, M và O đều thuộc (S) , nên ta có:

o

O '

    tức là O' o

o

O '

    tức là O'  o

Do O’ chọn tùy ý nên vận tốc góc và gia tốc góc không phụ thuộc vào việc chọn điểm cực Mặt khác nếu qua O1 ta dựng nửa đường thẳng O1P//OM ta nhận thấy

1

  nên 

       hay  o  a  ; o a 

Hình 4.4

y1

x

O

y

M

o

O’

y’

o’ x’

o1 (S)

P

§2 Khảo sát chuyển động của điểm thuộc vật chuyển động song phẳng

1 Phương trình chuyển động của điểm thuộc vật

Xét điểm A thuộc (S) chuyển động song phẳng

Từ Hình 4.5 ta có:

( 4.6 )

 

 





Như vậy khi biết phương trình chuyển động của vật ta

dễ dàng thiết lập được phương trình chuyển động của

điểm thuộc vật chuyển động song phẳng Phương

trình (4.6) biểu diễn quỹ đạo chuyển động của A trong

mặt phẳng (Q)

2 Xác định vận tốc của điểm thuộc vật

a) Biểu thức liên hệ vận tốc giữa hai điểm thuộc hình phẳng (S)

Do chuyển động song phẳng được phân tích thành hai chuyển động thành phần

là chuyển động tịnh tiến cùng với điểm cực và chuyển động quay của hình phẳng quanh điểm cực đó Chọn O làm cực, xét điểm M thuộc hình phẳng, như vậy chuyển động của M là chuyển động phức hợp Theo định lý hợp vận tốc ta có: a  r  e

V  V V ( a )

Vận tốc tuyệt đối của M chính là vận tốc của M đối với hệ cố định O1x1y1:

a

V V

Vận tốc theo của M bằng vận tốc điểm cực O, do hệ động tịnh tiến nên

e

V V

Vận tốc tương đối là vận tốc của điểm M cùng hình phẳng (S) quay quanh điểm cực O nên ký hiệu là r

V V

, và véctơ

MO

V

có phương vuông góc với OM, chiều phụ thuộc

chiều quay của vận tốc góc, độ lớn bằng OM  Như

vậy ta có công thức quan hệ sau:

V  V V ( 4.7 )

Xét hai điểm A, B bất kỳ thuộc (S), nếu chọn A làm

cực ta có: V  B VAVBA ( 4.7a )

Hình 4.5

x1

y1

O1

y

M





xo xA

yo

Hình 4.6

B

A

(S)

VA

VA VBA VB







Nếu chọn B làm cực ta có quan hệ: V  A VB VAB ( 4.7b )

b) Định lý hình chiếu vận tốc

Định lý: Hình chiếu vận tốc của hai điểm thuộc hình phẳng chuyển động song phẳng lên đường nối hai điểm đó bằng nhau Ta có:

hc V   hc V   ( 4.8 ) Thật vậy, trong biểu thức (4.7a) ta có quan hệ vận tốc giữa hai điểm thuộc vật,

do VBA  AB

nên hc VAB   BA 0

Do đó khi chiếu (4.7a) lên phương AB ta được biểu thức (4.8)

c) Sự phân bố vận tốc

* Tâm vận tốc tức thời là điểm thuộc hình phẳng chuyển động song phẳng mà tại thời điểm khảo sát có vận tốc bằng không

Như vậy nếu gọi P ( S ) là tâm vận tốc tức thời thì VP 0

* Phân bố vận tốc

Định lý: Vận tốc của điểm thuộc hình phẳng (S) chuyển động song phẳng được phân bố giống như hình phẳng đang quay quanh tâm vận tốc tức thời với vận tốc góc quay tuyệt đối 

Chứng minh: Xét chuyển động song phẳng của (S) khi

đó vận tốc tức thời của điểm cực VO

và vận tốc góc quay của (S) là các đại lượng đã biết Quay véctơ vận tốc

O

V

quanh O một góc bằng 90O theo chiều quay của vận

tốc góc  ta nhận được nửa đường thẳng  Trên nửa

đường thẳng  lấy điểm P sao cho VO

OP  Khi đó P chính là tâm vận tốc tức thời Thật vậy, theo (4.7) ta có: V  P VO VPO

Trong đó VPO

có phương vuông góc với OP nên song song với VO

và có chiều phụ thuộc vào chiều của  nên ngược chiều với VO

còn độ lớn

V OP. V Vì vậy: VPO  VO

do đó VP 0

Hình 4.7

 P

O

(S) VPO

VO



Trường hợp đặc biệt khi   thì P ở xa vô cùng 0

Bây giờ chứng minh ở mỗi thời điểm khi hình phẳng chuyển động song phẳng chỉ tồn tại duy nhất một điểm là tâm vận tốc tức thời Giả sử ngược lại tồn tại hai tâm vận tốc tức thời khác nhau là P1, P2 khi (S) chuyển động song phẳng tức là:

V0;V0

Theo (4.7) ta có:

V   V V V 0

mà

2 1

P P 2 1

V P P  suy ra   0 Trái với giả thiết (S) đang chuyển động song phẳng Vì vậy trên hình phẳng (S) chỉ tồn tại duy nhất một tâm vận tốc tức thời

Xét M ( S ) theo (4.7) ta có: V  M VP VMP

Mà VP 0

nên V M VMP

Vì M lấy bất kỳ trên (S) nên vận tốc các điểm thuộc (S) phân bố giống như (S) đang chuyển động tức thời quay quanh P với vận tốc góc

* Quy tắc xác định tâm vận tốc tức thời

Khi biết vận tốc của một điểm và vận tốc góc  của hình phẳng (S) tâm vận tốc tức thời được xác định theo chứng minh trên

Trường hợp khi biết vận tốc của một điểm và phương vận tốc của một điểm khác thì từ hai điểm đó kẻ các đường vuông góc với phương của hai vận tốc, giao của hai đường kẻ đó chính là tâm vận tốc tức thời như Hình 4.8a

Nếu hai đường kẻ vuông góc với phương vận tốc của hai điểm song song với nhau như Hình 4.8b thì tâm vận tốc tức thời ở xa vô cùng Tại thời điểm này mọi điểm (S) đều có vận tốc bằng nhau, (S) chuyển động tịnh tiến tức thời

Nếu hai đường kẻ vuông góc chập nhau như Hình 4.8c, để xác định được tâm vận tốc tức thời phải biết thêm vận tốc của điểm thứ hai, nối hai đầu nút véctơ vận tốc của hai điểm sẽ cắt đường kẻ vuông góc chung tại P

Hình 4.8a

P

VB

VA



Hình 4.8b

P

=0

VB

VA A

B

Hình 4.8c

B

P

VB

VA A

P

VB

VA A



Trường hợp khi vật chuyển động lăn không trượt trên

mặt tựa cố định (Hình 4.8d) thì điểm tiếp xúc giữa vật và

mặt tựa là tâm vận tốc tức thời

d) Đường tâm tích

Khi (S) chuyển động thì vị trí của tâm vận tốc tức thời P cũng thay đổi Quỹ tích của tâm vận tốc tức thời trên hình phẳng (S) được gọi là đường tâm tích động Quỹ tích tâm vận tốc tức thời trên mặt phẳng (Q) cố định gọi là tâm tích cố định

Ví dụ bánh xe chuyển động lăn không trượt trên đường cong cố định thì đường tâm tích cố định chính là đường cong cố định, còn đường tâm tích động chính là vành bánh xe

3 Xác định gia tốc của điểm thuộc vật

a) Biểu thức liên hệ giữa gia tốc hai điểm thuộc hình phẳng (S)

Xét chuyển động của điểm M thuộc (S), theo phân tích chuyển động M tham gia chuyển động phức hợp, vì vậy theo định lý hợp gia tốc ta có:

W   W W W ( a )

Do hệ động chuyển động tịnh tiến cùng điểm cực O nên ta có c

M

W0

,

e

W W

, còn chuyển động tương đối của M là chuyển động cùng (S) quay quanh O với vận tốc góc , gia tốc góc  nên ta có r

W W

và được xác định theo biểu thức:

n

W  W W ( b )

Trong đó: n

MO

W

có hướng từ M đến O, độ lớn OM 2

MO

W

có hướng vuông góc với MO, chiều phụ

thuộc vào chiều  có độ lớn OM 

Do đó gia tốc của điểm M được xác định:

n

W   W W W

Xét hai điểm A, B bất kỳ thuộc (S) nếu chọn A

làm cực Khi đó có quan hệ sau:

Hình 4.8d

C

P

B

A (S)

WB

WA



WBA 

WBA n

Hình 4.9

W   W W W

Khi chọn B làm cực thì quan hệ gia tốc giữa A,B có dạng:

n

W   W W W

b) Tâm gia tốc tức thời

* Định nghĩa: Tâm gia tốc tức thời là điềm thuộc hình phẳng chuyển động song phẳng mà tại thời điểm khảo sát có gia tốc bằng không

Ký hiệu điểm Q là tâm gia tốc tức thời thì WQ 0

* Cách xác định tâm gia tốc tức thời

Xét chuyển động song phẳng của (S) Giả thiết đã biết gia

tốc của điểm cực WO

và vận tốc góc , gia tốc góc quay  của (S) Quay nửa đường thẳng chứa véctơ WO

quanh O một góc  theo chiều của  với tg 2

  ta được nửa đường thẳng 1 Trên 1 lấy đoạn OQ O

W



 khi đó Q sẽ là tâm gia tốc tức thời Thật vậy theo (4.8) ta có: Q QOn QO

O

W   W W W

QOn

W

hướng từ M vào O có độ lớn là OQ.2

QO

W

có chiều như hình 4.10 và có độ lớn là OQ.

Do đó W  QO WQOn WQO

được xác định:

O

W    W , tg 2

 

Vì vậy WQO  WO

nên WQ 0

tức là Q là tâm gia tốc tức thời

Ta cũng có thể chứng minh được rằng ở mỗi thời điểm khảo sát chỉ tồn tại duy nhất một tâm gia tốc tức thời

Chú ý tâm vận tốc tức thời và tâm gia tốc tức thời không trùng nhau, chúng có thể trùng nhau trong trường hợp chuyển động đặc biệt cụ thể là chuyển động quay quanh một trục cố định hoặc chuyển động tịnh tiến phẳng (tâm vận tốc tức thời và tâm gia tốc tức thời ở xa vô cùng)

Hình 4.10

Q



WQO 

WQO n

WO

WQO

 O

1

* Sự phân bố gia tốc

Gia tốc của các điểm thuộc (S) được phân bố giống như hình phẳng đang quay quanh tâm gia tốc tức thời với vận tốc góc  và gia tốc góc  tuyệt đối

Thật vậy, xét điểm A bất kỳ thuộc (S), chọn Q làm cực ta có:

W  W W

Mà WQ 0

nên AQ AQn AQ

A

W   W W W

A

W

hợp với QA một góc  với tg 2

 

Độ lớn: AQ 2 4

A

W   

4 Các ví dụ

* Ví dụ 1: Cho ba thanh OA, O1B và AB nối

khớp với nhau và với nền cố định (Hình 4.12a);

cho biết OABO1 là hình bình hành Thanh AB

nối khớp bản lề với thanh DE tại điểm giữa D

của thanh AB làm con chạy K chuyển động tịnh

tiến lên xuống Xác định vận tốc, gia tốc con

chạy K, vận tốc góc và gia tốc góc của thanh

DE tại vị trí như hình vẽ, cho OA = BO1 =

2.DE = 20cm, vận tốc, gia tốc góc của OA tại

thời điểm khảo sát là  1rad / s; 2rad / s

Bài giải: Từ điều kiện bài toán ta thấy các thanh AB, KE là các vật chuyển động tịnh tiến Vì vậy vận tốc, gia tốc của điểm A bằng vận tốc, gia tốc của điểm D

Do V D VA

nên VD

có phương vuông góc với OA tức là dọc DE, chiều phụ thuộc vào chiều quay của  nên từ D đến E, độ lớn VD VA OA. 20cm / s

Vì KE chuyển động tịnh tiến thẳng đứng nên VE

có phương thẳng đứng Xét chuyển động song phẳng của ED ta có tâm vận tốc tức thời và vận tốc góc của

ED có chiều quay như hình vẽ, có độ lớn được xác định:

Hình 4.12a

E

K

60O

30 O

O

B

60O





D

A

O1

VE

VD

 ED

D D

2 3rad / s 1

3



Vận tốc của điểm E có chiều đi lên, độ lớn

DP



Theo công thức liên hệ gia tốc giữa hai điểm ta có:

n

W   W W W

Vì thanh AB chuyển động tịnh tiến nên:

n

W   W W W

n

A

W

hướng từ A đến O, độ lớn n 2 2

A

W OA. 20cm / s

A

W

vuông góc với OA như hình vẽ, có độ lớn 2

A

W OA. 40cm / s

n

ED

W

W  ED. 10 12 120cm / s 

ED

W

có phương vuông góc với ED, chiều giả thiết như hình vẽ, giá trị

n

W  ED. , còn gia tốc của E có phương thẳng đứng chiều giả thiết đi lên Vậy ta có quan hệ sau

W    W W W W (*)

Chiếu (*) lên phương nằm ngang và thẳng đứng ta được:





0 W cos60 W cos30 W cos30 W sin30 ( 1)

W W sin60 W sin30 W sin30 W cos30 ( 2 )

Từ (1), (2) ta tính được:

W  320cm / s ;W ( 20 160 3 )cm / s  257cm / s

Như vậy chiều gia tốc E đi xuống, chiều của WED

ngược chiều giả thiết nên chiều quay gia tốc góc của ED ngược chiều quay kim đồng hồ và có độ lớn:

n

ED

W

25,7rad / s ED

Gia tốc của K có chiều đi xuống và có độ lớn bằng: 2

K

W 320cm / s

* Ví dụ 2: Hai con trượt A và C được liên kêt với nhau bởi hai thanh AB dài 0,4m và BC dài 1m chuyển động theo các đường thẳng vuông góc với nhau theo

Hình 4.12b

E

30 O

D

A

W E

WA 

WA n

30 O

WED 

WED n