bài giảng chuong 2 dong hoc vật lý 2

Microsoft Word Chuong 2 Chuyen dong tinh tien va quay quanh truc doc 79 CHƯƠNG II CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN VÀ CHUYỂN ĐỘNG QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH CỦA VẬT RẮN Chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay quanh truc.

CHƯƠNG II CHUYỂN ĐỘNG TỊNH TIẾN VÀ CHUYỂN ĐỘNG QUAY QUANH

TRỤC CỐ ĐỊNH CỦA VẬT RẮN Chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay quanh trục cố định là hai chuyển động đơn giản nhất của vật rắn Các dạng chuyển động phức tạp của vật rắn thường được phân tích thành các dạng chuyển động đơn giản trên nên người ta thường gọi chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay quanh trục cố định là chuyển động cơ bản của vật rắn

Việc khảo sát chuyển động của vật rắn được tiến hành theo hai bước Khảo sát chuyển động của vật và khảo sát chuyển động của điểm thuộc vật

§1 Khảo sát chuyển động tịnh tiến của vật rắn

1 Định nghĩa chuyển động

Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động trong đó đường thẳng qua hai điểm bất kỳ thuộc vật luôn luôn không đổi phương

Ví dụ toa tàu chuyển động trên đường ray thẳng là chuyển động tịnh tiến thẳng

vì đường thẳng qua 2 điểm nào đó trên toa tàu không bị thay đổi phương Tấm chữ nhật ABCD được liên kết bản lề trụ tại A, B với

hai tay quay OA, O1B có độ dài bằng nhau và cùng

quay quanh các trục cố định O, O1 với cùng vật tốc

góc, khoảng cách O1O = AB Khi đó tấm ABCD

chuyển động tịnh tiến vì AB = O1O cố định nên AB

không đổi phương và luôn song song với O1O cố

định

2 Tính chất của chuyển động

Định lý:Khi vật chuyển động tịnh tiến thì mọi điểm thuộc vật chuyển động như nhau, tức là quỹ đạo của chúng giống hệt nhau, vận tốc, gia tốc của chúng giống hệt nhau và bằng nhau ở mỗi thời điểm khảo sát

Hình 2.1



A

O 1

B





D

C

O



Chứng minh: Xét hai điểm A, B bất kỳ thuộc vật, theo định nghĩa ta có

AB const

 

từ hình 2.2 ta có

r  r AB ( a ) Gọi (CA ) là quỹ đạo của A, (CB) là quỹ đạo của B Ta nhận thấy các điểm B1,

B2 …Bn trên (CB) nhận được bằng cách dịch chuyển các điểm A1, A2…An của (CA) song song với AB

nên quỹ đạo của A, B sẽ chồng khít lên nhau khi ta dịch chuyển nó dọc theo AB

Lấy đạo hàm 2 vế (a) theo thời gian t ta có:

dt  dt  dt

Mà  AB const

nên:

dt  dt  

Lấy đạo hàm hai vế (b) theo t ta có:

W W

Do A, B chọn tùy ý nên ta có kết quả đúng cho mọi điểm thuộc vật rắn

Từ tính chất trên ta thấy rằng chuyển động tịnh tiến của vật rắn được đặc trưng bởi chuyển động của điểm thuộc vật, hay nói cách khác để khảo sát chuyển động tịnh tiến của vật rắn, ta chỉ cần khảo sát chuyển động của một điểm nào đó thuộc vật bằng các phương pháp khảo sát động học điểm ở chương I Từ kết quả khảo sát chuyển động của điểm thuộc vật suy ra chuyển động của cả vật Trong chuyển động tịnh tiến thì vận tốc gia tốc của điểm thuộc vật cũng là vận tốc, gia tốc của vật

§2 Khảo sát chuyển động của vật rắn quay quanh trục cố định

1 Định nghĩa chuyển động

Nếu trong quá trình chuyển động vật rắn có tồn tại hai điểm cố định thì chuyển động của vật được gọi là chuyển động quay quanh trục cố định, đường thẳng đi qua hai điểm cố định được gọi là trục quay cố định

Hình 2.2

r

O

B

r 1

A

B 1 B 2

B n

A 1 A 2

A n

2 Phương trình chuyển động của vật chuyển động quay

Để xác định vị trí của vật trong không gian ta dựng nửa mặt phẳng cố định (P) chứa trục quay và nửa mặt phẳng (Q) chứa trục quay và gắn chặt với vật rắn Khi vật chuyển động thì mặt phẳng (Q) cũng chuyển động cùng vật, vị trí của mặt phẳng (Q) được xác định khi ta biết được góc nhị diện giữa (P) và (Q) Góc nhị diện  được tính từ nửa mặt phẳng cố định

(P) đến nửa mặt phẳng (Q) và qui ước chiều

quay dương khi nhìn ngược chiều trục quay

xuống gốc của trục quay thấy chiều góc quay 

ngược chiều kim đồng hồ Như vậy góc quay 

là góc quay đại số và được gọi là góc quay định

vị của vật chuyển động quay quanh trục cố

định Khi vật chuyển động, góc  biến đổi phụ

thuộc thời gian t, vì vậy ta có phương trình

chuyển động:

( t ) ( 2.1)

 

Đơn vị đo của góc quay định vị là radian (rad)

3 Vận tốc góc của vật chuyển động quay

Để đặc trưng cho chiều quay và độ nhanh hay chậm của chuyển động, người ta đưa ra khái niệm vận tốc góc Giả sử trong khoảng thời gian Δt= t1 - t vật quay được một góc  khi đó vận tốc góc trung bình của vật là:



Vận tốc góc quay của vật tại thời điểm t là giới hạn của vận tốc góc trung bình khi t dần tới không, ta có:

t 0

d

t dt





Như vậy vận tốc góc quay tức thời của vật là đại lượng đại số bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay định vị

Hình 2.3

A



B

Từ biểu thức (2.2) ta thấy  0 khi  0 tức là chiều  cùng chiều tăng của góc quay Ngược lại nếu  0 tức là  0 thì chiều của  ngược chiều tăng của góc quay

Đơn vị của vận tốc góc là rad/s hay 1/s ( s-1)

Véctơ vận tốc góc nằm trên trục quay có chiều sao cho khi

nhìn từ đầu mút véctơ xuống gốc của véctơ thấy chiều quay

của vật ngược chiều quay kim đồng hồ và có giá trị bằng giá

trị vận tốc góc Như vậy véctơ vận tốc góc cho phép xác định

được trục quay, giá trị vận tốc góc và chiều quay của vật:

    Trong đó k

là véctơ đơn vị có giá nằm trên trục quay

4 Gia tốc góc của vật chuyển động quay

Gia tốc góc của vật chuyển động quay đặc trưng cho sự thay đổi của vận tốc góc theo thời gian Giả sử trong khoảng thời gian Δt= t1 - t vận tốc góc thay đổi một lượng    1 , khi đó gia tốc góc trung bình trong khoảng thời gian Δt là:

tb t

Gia tốc góc của vật tại thời điểm t là giá trị giới hạn của gia tốc trung bình khi

t

 dần tới không, tức là:

t 0

d





Vậy gia tốc góc của vật chuyển động quay quanh trục cố định là đại lượng đại

số bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc góc hay đạo hàm bậc hai theo thời gian của góc quay định vị

Đơn vị của gia tốc góc là rad/s2 hay 1/s2 (s-2)

Véctơ gia tốc góc bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véctơ vận tốc góc:

        

Hình 2.4





z

Do vận tốc góc và gia tốc góc là các đại lượng đại số nên dựa vào chiều (hay dấu) của các đại lượng đó để nhận biết đặc tính chuyển động của vật là nhanh dần, chậm dần hay quay đều Thật vậy sự biến đổi của giá trị vận tốc góc được đặc trưng bởi sự biến đổi của 2 mà 2 2 nên ta có:

dt  dt   dt   

Từ (2.6) ta nhận thấy nếu  0 thì  = const

Như vậy, trong trường hợp   0 trong khoảng thời gian nào đó thì vật sẽ chuyển động quay đều trong khoảng thời gian đó

Nếu   0, suy ra  và  cùng dấu, tức cùng chiều thì vật chuyển động quay nhanh dần

Nếu   0, suy ra  và  ngược dấu (trái chiều nhau) thì vật chuyển động quay chậm dần do  theo chiều quay của vật có giá trị dương nên khi vật quay chậm dần thì gia tốc góc  phải lấy giá trị âm

§3 Khảo sát chuyển động của điểm thuộc vật quay quanh trục cố định

1 Vận tốc của điểm thuộc vật

Xét điểm M thuộc vật chuyển động quay quanh

trục cố định Qua M dựng mặt phẳng vuông góc

với trục quay cắt vật rắn theo tiết diện (S), cắt

nửa mặt phẳng cố định (P) theo giao tuyến OP,

và cắt nửa mặt phẳng Q theo giao tuyến OQ Do

O nằm trên trục quay cố định nên điểm O cố

định Các điểm O và M là hai điểm thuộc vật nên

độ dài OM không đổi, vì vậy quỹ đạo của M là

đường tròn tâm O bán kính OM Chọn điểm O1

trên quỹ đạo của M làm gốc tọa độ cong, khi đó ta có:

Như vậy vận tốc của M được xác định: VM S   ( 2.8 )

Hình 2.5

O





V M

O 1

P

Vì quỹ đạo là đường tròn nên vận tốc VM

có phương vuông góc với OM Vì

S OM  

 nên chiều của

M

V

phụ thuộc vào chiều của vận tốc góc, giá trị vận tốc của M được tính theo quan hệ : VM = OM  (2.9)

Từ (2.9) suy ra: VM

OM  không phụ thuộc vào vị trí của điểm M và véctơ vận tốc luôn có phương vuông góc với đoạn thẳng được hạ từ điểm M xuống trục quay (đường OM) Vì vậy vận tốc của các điểm thuộc vật được phân bố theo quy luật tam giác vuông đồng dạng

2 Công thức Ơle:

Mặt khác nếu chọn một điểm O2 nằm trên trục quay cố định

làm mốc để khảo sát chuyển động của M thì véctơ định vị

của M sẽ là O M 2  r

Theo định nghĩa ta có :VM dr ( a )

dt



Mặt khác theo cách xác định véctơ vận tốc của M và dựa

vào định nghĩa véctơ vận tốc góc ta có: V  M   r ( b )

Từ (a) và (b) ta có quan hệ:

Biểu thức (2.10) thỏa mãn trong trường hợp véctơ định vị có độ dài không đổi

và thường được gọi là công thức Ơle

3 Gia tốc của điểm thuộc vật

Để tính gia tốc của M, ta dựa vào kết quả khảo sát

bằng hệ trục tọa độ tự nhiên ta có quan hệ sau:

2

WS  n

Ta có thành phần gia tốc tiếp tuyến: WM S 

nên WM

có phương vuông góc với OM, chiều và

Hình 2.6

O 2



z

V M

r M

Hình 2.7

W M 

W M n

W M



độ lớn phụ thuộc vào S OM   , tức là phụ thuộc vào chiều của gia tốc góc và

có giá trị WM OM 

Thành phần gia tốc pháp tuyến: n 2

M

WS n 

thành phần gia tốc pháp luôn hướng

từ M vào tâm O, giá trị của gia tốc pháp n 2

M

W OM  Do n

W  W

nên gia tốc của M có độ lớn xác định theo biểu thức sau:

Gọi  là góc lệch giữa véctơ gia tốc của M với OM là hướng pháp tuyến chính (Hình 2.7), ta có: tg 2 ( 2.12 )

Từ hai quan hệ (2.11) và (2.12) ta nhận thấy gia tốc của điểm thuộc vật chuyển động quay quanh trục cố định được phân bố theo quy luật tam giác đồng dạng Theo định nghĩa ta có:

M M

M

W r ( r ) ( 2.9 )



§4 Truyền chuyển động cơ bản

Trong cơ cấu máy, chuyển động được truyền từ khâu dẫn động sang khâu bị dẫn qua các khâu trung gian, các khâu trung gian phần lớn đều là những vật rắn Ở đây bước đầu ta làm quen với vài dạng truyền động đơn giản từ vật chuyển động tịnh tiến sang vật chuyển động quay quanh trục cố định và

ngược lại

1 Truyền chuyển động giữa vật tịnh tiến và vật quay quanh

trục cố định

Vật A được buộc vào đầu dây mềm không giãn, dây được quấn

quanh bề mặt của trụ tròn bán kính R Trụ tròn có thể quay

quanh trục cố định nằm ngang O, dây không bị trượt trên trụ, khi

đó ta có quan hệ sau: V R. ( 2.14 ) Hình 2.8



V A R

O

2 Truyền động giữa hai vật quay quanh 2 trục cố định

Xét hai bánh răng I, II ăn khớp với nhau và quay quanh các trục cố định O1 , O2, bán kính tương ứng R1, R2, số răng Z1, Z2 Tại

điểm tiếp xúc giữa hai bánh răng M phải thỏa

mãn điều kiện

1 2

V V

Trong đó M1, M2 là điểm thuộc bánh răng I và II có vị trí trùng

với vị trí của M Nên khi các bánh răng ăn

khớp ngoài thì chúng sẽ quay ngược chiều

nhau và ta có quan hệ truyền động:

( 2.15 )



Trường hợp hai bánh răng ăn khớp trong thì tỷ số

truyền động sẽ dương tức là hai bánh răng quay

cùng chiều



Các trường hợp truyền động bằng xích hay dây đai mềm thì tỷ số chuyền động cũng được xác định tương tự các công thức (2.15), (2.16)

* Ví dụ 1: Cho cơ cấu như Hình 2.10 Bánh răng

1 có số răng Z1 quay theo luật 1 = a.sinpt Hãy

tìm vận tốc và gia tốc của điểm M3 của bánh xe 3

và vận tốc gia tốc của vật 4 tại thời điểm t

4 p



giây Nếu số răng của bánh răng 2, 3 bằng Z2 , Z3

khoảng cách bước răng bằng h

Bài giải: Coi vị trí của cơ cấu trên hình vẽ tương

ứng với thời điểm t1, còn thời điểm đầu ứng với tO = 0

Hình 2.8

 1

V M1 =

R 1 , Z 1

O 1

R 2 , Z 2

O 2

V M2

 2

(I)

M

(II)

Hình 2.9

 1

R 1 , Z 1

O 1

R 2 , Z 2

O 2

V M1 = V M2

 2

(I)

M (II)

Hình 2.10

O 1

 1

(2)

M (3)

O 2

(1)

W M3

(4)

M 3



Xét truyền động giữa 1 và 2 ta có :

Do 2 và 3 được gắn đồng trục nên: 1

2

Z

( a ) Z

Do 1  1  t 

4 p

ap ap.cospt

2



  cùng chiều 1 theo chiều kim đồng hồ nên 3 ngược chiều kim đồng hồ và 1

3 2

Z ap.

Lấy đạo hàm 2 vế (a) ta có: 1

2

Z Z

Mặt khác    2    2

4 p

ap

ap sinpt

2



  ngược chiều 1 nên 3ngược chiều

3

 và có giá trị: 1 2

3 2

Z ap.

Do đó vận tốc của M3 được xác định có phương vuông góc với O1M3, chiều đi

lên có giá trị :

3

Vì vật 4 khớp răng với 3 và chuyển động tịnh tiến nên

3

V V

Ta có :

3

V V r  ở mọi thời điểm

Suy ra:  3 1

4

2

Z h Z

V ap.cospt

2 Z do đó gia tốc của thanh 4 được tính:



4 p



Dấu (-) chứng tỏ véctơ gia tốc của thanh 4 ngược chiều với vận tốc của thanh, tức là thanh chuyển động chậm dần

Còn gia tốc của điểm M3 được tính theo công thức:

2 2

Z h Z ap 1 Z

 

3

2

M

W 0,112 ap h 1 a

  Phương chiều của WM3

hợp với O1M3 một góc α được xác định:

2

2.Z tg

a.Z



Hình 2.11

A

O 1

O

3 2

1

O 2

4 5

* Ví dụ 2: Trong cơ cấu của cái kích, khi ta quay tay quay OA thì các bánh răng

1, 2, 3, 4 và 5 sẽ quay, chúng làm cho cột B có khắc răng của kích chuyển động Hãy xác định vận tốc của cột B nếu quay tay OA quay với vận tốc góc 30vòng/phút theo chiều ngược chiều kim đồng hồ Biết số răng của các bánh răng là Z1 = 6, Z2 = 24, Z3 = 8, Z4 = 32, bán kính bánh răng 5 là r5= 4cm

Bài giải: Do OA và bánh răng 1 gắn đồng trục nên OA 1

Xét truyền động giữa 1 và 2 ta có:

Vì 2 và 3 được gắn đồng trục nên  3  2

Xét truyền động giữa 3 và 4 ta có:

      

Tương tự vì 4 và 5 gắn đồng trục nên:

3 1

4 2

Z Z

Z Z

Như vậy chiều quay của bánh răng 5 cùng chiều quay OA, ngược chiều quay kim đồng hồ Cột B chuyển động đi lên, giá trị vận tốc của B được tính theo biểu thức:

3 1

4 2

V r r 4 0,78cm / s