ĐỀ KSCL HSG môn TOÁN

Một người gửi ngân hàng 200 triệu đồng với kì hạn 1 tháng theo hình thức lãi kép, lãi suất 0,58% một tháng kể từ tháng thứ hai trở đi, tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền g

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN 2

ĐỀ KHẢO SÁT ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2021-2022 Môn thi : TOÁN – LỚP 12 THPT

Thời gian:90 phút (không kể thời gian giao đề)

íï = + ïî

Câu 6.Trong không gian Oxyz, cho hình chữ nhật ABCD có AB=1, AD=2

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AD

và BC Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục MN ta được một hình trụ Diện tích toànphần của hình trụ đó là

Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

x x =x

, với a b, là các số nguyên dương và

a b

là phân số tối giản Tổng T = +a b

Câu 12. Cho hình nón có bán kính đáy bằng 5và chiều cao bằng 12

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếphình nón

8124

R=

12124

a

3 26

a

3 22

a

33

a

63

+

= ++

Khẳng định nào sau đây đúng?

lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, AD và O là

trọng tâm tam giác BCD Tính tỉ số thể tích

OMNP ABCD

V V

112

14

Câu 20. Một điện thoại đang nạp pin, dung lượng pin nạp được tính theo công thức mũ như sau( ) 1 e( t 2),

Câu 22. Một người gửi ngân hàng 200 triệu đồng với kì hạn 1

tháng theo hình thức lãi kép, lãi suất

0,58%

một tháng (kể từ tháng thứ hai trở đi, tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền gốc và tiền lãi tháng trước đó) Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì người đó có tối thiểu 225 triệu đồng trong tài khoản tiết kiệm, biết rằng ngân hàng chỉ tính lãi khi đến kì hạn?

chia khối hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′

thành hai khối đa diện Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A

47118

1009017

ba người ngồi thưởng trà, mỗi lượt người thưởng trà chỉ uống vừa đúng ba phần tư lượng nước có trong chén trà rồi lại châm thêm nước trà từ bình tổng vào chén Hỏi sau mấy lần rót nước trà vào các chén thì hết nước trà trong bình tổng, biết rằng thể tích nước trà ban đầu có trong bình tổng chiếm ba phần tư thể tích của bình và mỗi lần rót trà thì chỉ rót vừa đủ ba phần tư thể tích của chén trà

Câu 28. Bác thợ xây bơm nước vào bể nước Gọi h t( )

là thể tích nước bơm được sau t

2

= AB

AA

Xác định góc giữa hai mặt phẳng ( A BD' )

Câu 33. Cho lăng trụ tam giácABC A B C. ′ ′ ′

có thể tích V Gọi G là trọng tâm tam giác A B C′ ′ ′

, M

là tâm của mặt bên ABB A′ ′

Tính thể tích của khối tứ diện GMBC theo V

34

Câu 35. Cho phương trình

3 2

C.

10 21

D.

13 189

Câu 39. Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C. ′ ′ ′

có đáy là tam giácABC vuông cân tạiB. Mặt phẳng(A BC′ )

cách điểm A một khoảng bằng 2 và tạo với mặt phẳng(ABC)

một góc α

Tìm cosα

để thể tích khối lăng trụABC A B C. ′ ′ ′

đạt giá trị nhỏ nhất

A.

1cos

3

α =

B.

1cos

3 3

α =

C.

2cos

3

α =

D.

1cos

2 3

α =

f x =x − mx m+ − x∈¡

với m

là một hằng số khác 0.Biết rằng phương trình f x( ) =0

có đúng hai nghiệm phân biệt Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của k thỏa mãn phương trình( )

f x =k

có 3 nghiệm phân biệt ?

Câu 43. Cho hình chóp SABCDcó đáy ABCDlà hình thang vuông tại A

a

3 28

a

3 38

2

x x y

ứng với một giá trị m vừa là điểm cực tiểu của ( )C m

ứng với giá trị khác của m Giá trị của a để khoảng cách từ A đến đường thẳng ( )d x: − +(a 1) y a+ =0

a=

D

103

Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn

nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a= + +2b 3c

Giá trị của biểu thức

28150

1425

ĐÁP ÁN

11.D 12.A 13.C 14.C 15.C 16.C 17.A 18.C 19.B 20.A

Câu 2. Cho dãy số ( )u n ,

biết

1 1

íï = + ïî

Ta có

2 0

Điều kiện xác định :

( )2 2

x x

Gọi M N, lần lượt là trung điểm của AD

và BC Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục MN ta được một hình trụ Diện tích toànphần của hình trụ đó là

Tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

x

x

y

x y

là đường tiệm cận ngang

Vậy tổng số đường tiệm cận ngang và đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là

x x =x

, với a b, là các số nguyên dương và

a b

là phân số tối giản Tổng T = +a b

bằng

Lời giải Chọn A

.Vậy T =23 6 29+ =

Khẳng định nào sau đây là đúng?

Dựa vào hình dáng đồ thị suy ra a<0

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên d <0

.Đạo hàm

− < ⇒ <

Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếphình nón

R=

8124

R=

12124

R=

Lời giải Chọn A

Gọi h r, lần lượt là chiều cao và bán kính đường tròn đáy của hình nón.

Theo bài ra thì h=12,r=5

.Gọi Slàđỉnh của hình nón, H

là tâm đường tròn đáy của hình nón, M

là một điểm bất kìthuộc đường tròn đáy của hình nón Khi đó mặt cầu ngoại tiếp hình nón phải có tâm Othuộc

đoạn SH

 Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón là: R SO OM= =

.Xét tam giác OHM vuông tại H

a

3 26

a

3 22

a

Lời giải Chọn C

Diện tích đáy bằng ABC

Thể tích khối chóp là

13

thành một hàng ngang sao cho tập 1 và tập 2 không đặt cạnh nhau?

20! 2! 19! - ´

D.20! 19!.Lời giải.

cách sắp xếp thỏa yêu cầu bài toán

a

33

a

63

a

= ++

 Ta có

1 0

Khẳng định nào sau đây đúng?

Từ đồ thị hàm số

b

y x= suy ra b<0

.Theo đồ thị hàm số

tam giác BCD Tính tỉ số thể tích

OMNP ABCD

V V

14

Lời giải Chọn B

Theo giả thiết ta có phương trình:

tháng theo hình thức lãi kép, lãi suất 0,58%một tháng (kể từ tháng thứ hai trở đi, tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền gốc và tiền lãi tháng trướcđó) Hỏi sau ít nhất bao nhiêu tháng thì người đó có tối thiểu 225 triệu đồng trong tài khoản tiết kiệm, biết rằng ngân hàng chỉ tính lãi khi đến kì hạn?

Theo hình thức lãi kép, sau n tháng tổng số tiền cả gốc lẫn lãi mà người đó nhận được trong tài khoản là

8

n

Vì ngân hàng chỉ tính lãi khi đến kì hạn nên phải sau ít nhất 21

tháng người đó mới có tối thiểu 225 triệuđồng trong tài khoản

Câu 23.Gọi sô 8

chia khối hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′

thành hai khối đa diện Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A

47118

1009017

Lời giải Chọn C

2 2 2

45

16 32 16 15 32 16 0

43

trụ Bình tổng có chiều cao gấp đôi đường kính đáy, tách trà có bán kính đáy bằng một nửa bán kính đáy bình tổng và có chiều cao bằng một phần ba chiều cao bình tổng Có ba người ngồi thưởng trà, mỗi lượt người thưởng trà chỉ uống vừa đúng ba phần tư lượng nước có trong chén trà rồi lại châm thêm nước trà từ bình tổng vào chén Hỏi sau mấy lần rót nước trà vào các chén thì hết nước trà trong bình tổng, biết rằng thể tích nước trà ban đầu có trong bình tổng chiếm ba phần tư thể tích của bình và mỗi lần rót trà thì chỉ rót vừa đủ ba phần tư thể tích của chén trà.

Lời giải Chọn B

Gọi bán kính đáy bình tổng pha trà là R, khi đó chiều cao của bình là 4R, bán kính đáy chén trà là 2

thể tích của chén như ban đầu Tổng lượng nước trà cần thêm

là thể tích nước bơm được sau t

a b C

Câu 29.Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình

2

= ê

-Nhận thấy phương trình

1 cos3

là 21 23 4 40+ − =

6'

2

= AB

AA

Xác định góc giữa hai mặt phẳng ( A BD' )

Lời giải chi tiết:

có thể tích V Gọi G là trọng tâm tam giác A B C′ ′ ′

, M

là tâm củamặt bên ABB A′ ′

Tính thể tích của khối tứ diện GMBC theo V

Lời giải Chọn B

Ta có: C BKA. C BMG. C MGA. C BGK.

 

với mọi x>0

Tính( )

94

34

Lời giải Chọn D

 Ta có:

3 2

40

x

x x

x

x x

x x

.Vậy m∈ −{ 10; 9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1;1;8;9;10− − − − − − − − − } ⇒∑m= −27

.Chọn

a +b

là:

Lời giải Chọn D

A 0 B 2

Lời giải ChọnB

x x x

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số y g x= ( )

C

10 21

D.

13 189

C

cách;

Lấy ra 3 số lẻ có:

3 5

C

cách;

Số các hoán vị của 6 số trên: 6!

n P

nΩ

có đáy là tam giácABC vuông cân tạiB. Mặt phẳng (A BC′ )

ABC A B C′ ′ ′

đạt giá trị nhỏ nhất

A.

1cos

3

α =

B.

1cos

3 3

α =

C.

2cos

3

α =

D.

1cos

2 3

α =

a) Dựng AH ⊥A B′ ( )1

2 3

1

13

3

α =

3 1 0

x x

x x

x x x

3

x x

x x x

x x x x

Dựa vào bảng biến thiên ta có g x( )

f x =k

có 3 nghiệm phân biệt⇔ k∈ −( 4;0)

Có 3 giá trị nguyên của k thỏa mãn

Vậy có 34 giá trị nguyên của k thỏa mãn

và B

Biết AB BC a AD= = , =4a

.( )

là trung điểm của SD Tính khoảng

cách của hai đường thẳng BM

a

3 28

a

3 38

Gọi N là trung điểm của CD⇒MN/ /SC⇒SC/ /(BMN)

là trung điểm của AD⇒MH / /SA⇔MH ⊥(ABCD)

Gọi ( ) ( 2 ) 4 3 2 ( 2 ) ( 2 ) (2 2 )

h x = f x + − −x x x + +x x= f x + −x x +x + x +x

.( ) ( ) ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( )

.( ) ( 2 ) ( 2 ) ( )

Đặt

2

t =x +x

Khi đó phương trình (*) trở thành f t'( ) − + =t 1 0( )

Vậy hàm số

( ) ( )

g x = h x

có 7điểm cực trị

x x y

Xét hàm số ( ) ( ) ( ( ) ( ) ) ( )

2 2

12

x x= đều là các đường TCĐ

Vậy đồ thị hàm số có 4 đường TCĐ

D

103

a= −

Lời giải Chọn D

( ) ( )

2

2 2

121

 = −



a= −

nên d A d( ,( ) )max

tại

103

y= p x =x − x+ ∀ ≥ ⇒x p x′ = x− = ⇔ =x

(nhận)

Ta có BBT của hàm p x( ) như sau:

Dựa vào BBT trên để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì m∈( p(3); (1)p ]⇔ ∈ − −m ( 7; 3]

.Như vậy, ta kết luận có tất cả 4 giá trị nguyên thỏa mãn yêu cầu đề bài

28150

1425

Lời giải Chọn B

.