Một đường tròn C' tiếp xúc với Oy và tiếp xúc ngoài với C.. LËp ph¬ng tr×nh Elip biÕt diÖn tÝch h×nh trßn néi tiÕp h×nh thoi ABA’B’ cã diÖn tÝch b»ng 4π.. gt: DiÖn tÝch h×nh trßn néi tiÕ
Trang 1HÌNH HỌC PHẲNG ÔN THI ĐẠI HỌC
1) Trong mp(Oxy) cho tam giác ABC biết A=( )1;4 , phương trình đường cao (BH): x−2y+ =9 0, Phương trình đường phân giác (CD)x y+ − =3 0 Tìm toạ độ 2 điểm B, C
2) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x−1)2+ +(y 1)2 =4 Một đường tròn (C') tiếp xúc với
Oy và tiếp xúc ngoài với (C) Tìm tâm của (C') biết tâm thuộc đường thẳng (d): 2x y− =0
3) Cho∆ABC có đỉnh A(1;2), đường trung tuyến BM: 2x y+ + =1 0 và phân giác trong CD
1 0
x y+ − = Viết phương trình đường thẳng BC
HD: Điểm C CD x y∈ : + − = ⇒1 0 C t( ;1−t)
Suy ra trung điểm M của AC là 1 3;
M + −
Điểm
( )
M∈BM x y+ + = ⇒ + + − + = ⇔ = − ⇒t C −
Từ A(1;2), kẻ AK ⊥CD x y: + − =1 0 tại I (điểm K BC∈ )
Suy ra AK:(x− − − = ⇔ − + =1) (y 2) 0 x y 1 0
Tọa độ điểm I thỏa hệ: 1 0 ( )0;1
1 0
x y
I
x y
+ − =
− + =
Tam giác ACK cân tại C nên I là trung điểm của AK ⇒ tọa độ của K(−1;0).
Đường thẳng BC đi qua C, K nên có phương trình: 1 4 3 4 0
7 1 8
+ = ⇔ + + =
− +
4) Cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A(1;0), B(0;2) và giao điểm I của hai
đường chéo nằm trên đường thẳng y = x Tìm tọa độ đỉnh
C và D
Ta có: uuurAB= −( 1;2) ⇒AB= 5 Phương trình của AB là:
2x y+ − =2 0.
( ): ( );
I∈ d y x= ⇒I t t I là trung điểm của AC và BD nên ta
có: C t(2 1;2 ,− t D t t) (2 ;2 −2)
Mặt khác: S ABCD =AB CH =4 (CH: chiều cao) 4
5
CH
Ngoài ra: ( )
;
t
d C AB CH
Vậy tọa độ của C và D là 5 8; , 8 2;
C D
hoặc C(−1;0 ,) (D 0; 2− )
5) Trªn Oxy cho Elip 22 + 22 =1
b
y a
x
(a>b>0) biÕt
2
1 2 2
=
−
a
b a
h×nh ch÷ nhËt c¬ së c¾t Ox t¹i A, A’, c¾t Oy t¹i B, B’ LËp ph¬ng tr×nh Elip biÕt diÖn tÝch h×nh trßn néi tiÕp h×nh thoi ABA’B’ cã diÖn tÝch b»ng 4π
HD: gt: DiÖn tÝch h×nh trßn néi tiÕp
Trang 2A’ A
B’
B
O K
⇒ bán kính đờng tròn r = 2
O là tâm hình tròn, kẻ OK ⊥ AB’ ⇒ r = OK = 2
.Xét tam giác vuông OAB’ ta có: 2 2 2 12 12
4
1 1
1 1
b a OB
OA
Từ gt:
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2
2
2 2
1
b a b a a
b a a
a
b a
=
⇔
−
=
⇔
−
=
⇔
=
−
a2 và b2 đợc tìm từ hệ (1); (2)
=
=
⇔
= +
=
6
12 4
1 1
2
2 2
2 2
2 2
b
a b
a
b a
Vậy Elíp thoả yêu cầu bài toán co pt là: 1
6 12
2 2
= + y
x
6) Trên Oxy cho 2 đờng thẳng d1: 2x-y-1=0, d2: 2x+y-3=0 Gọi I là giao điểm của d1 và d2; A
là điểm thuộc d1, A có hoành độ dơng khác 1 (0 < xA ≠ 1) Lập phơng trình đờng thẳng () đi qua A, cắt d2 tại B sao cho diện tích IAB bằng 6 và IB = 3IA
• I = d1∩ d2⇒ tạo độ của I là n0 của hệ
=
=
⇒
=
− +
=
−
−
1
1 0
3 2
0 1 2
y
x y
x
y x
Vậy I(1; 1)
• Từ gt d1 có VTPT n1 =(2;−1);d2 có VTPT n2 =(2;1);
• Gọi ϕ là góc của d1 và d2
• Từ gt: S∆IAB =6⇒IA2 =5⇒IB2 =45
) 1 2 , ( ∀A∈d1 ⇒ A a a− với a > 0, a ≠ 1
=
=
⇔
=
−
⇔
=
− +
−
⇔
=
2
0 5
) 1 ( 5 5 ) 2 2 ( ) 1 (
2
a
a a
a a
IA
a = 2 ⇒ A(2;3)
*.∀B∈d21⇒B(a,3−2b)
−
⇒
−
=
−
⇒
=
⇔
=
−
⇔
=
−
=
− +
−
=
⇒
) 7
; 2 ( 2
) 5
; 4 ( 4 9
) 1 ( 45
) 1 ( 5 ) 2 2 ( ) 1 (
2 2
2 2
2 2
B b
B b
b IB
b b
b IB
• Với A(2;3); B(4;5) pt cần tìm là 4 11 0
3 5
3 2
4
−
−
−
=
−
x
(2)
loại
A
B IB=3TA
2
.3
IAB
IA
−
Trang 3• Víi A(2;3); B(-2;7) pt cÇn t×m lµ 5 0
3 7
3 2
2
−
−
=
−
−
x
7) Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho tam giác ABCcó trung điểm cạnh ABlà M( 1;2)− , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I(2; 1)− Đường cao của tam giác kẻ từ A có phương trình:
2x y+ + =1 0 Tìm tọa độ đỉnh C
HD: AB đi qua M nhận MIuuur=(3, 3)− làm vtpt nên có pt: x y− + =3 0
;
x y
A
x y
− + =
( 1;2)
M − là trung điểm của AB nên 2 7
;
3 3
B−
BC nhận nr=(2;1) làm vtcp nên có p t:
2
2
3
2
0,loai (do )
4
5
t
−
= +
= +
= ⇒ = ⇒ − ÷ + + ÷ ÷ ÷= +
⇒
=
Vậy 14 47
;
15 15
8) Trong mặt phẳng tọa độ Oxycho tam giác ABCcó B( 12;1)− , đường phân giác trong gócA có phương trình:x+2y− =5 0 Trọng tâm tam giác ABC là 1 2
;
3 3
G
÷
.Viết phương trình đường thẳng BC
Gọi H là hình chiếu của B trên d: x 5 2t H(5 2 ;t t)
y t
= −
=
( )
d
= − − ⊥ = − ⇒ − − + − =
⇒ = ⇒ −
Gọi M là điểm đối xứng của B qua d
uuuur uuuuuuur
( )
MA MC ⇒ = − ⇒a C
uuur uuuur
Vậy BC x: −8y+20 0=
9) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng qua M( )2;1 và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4
Trang 4HD: Gọi d là ĐT cần tỡm và A a( ) ( );0 ,B 0;b là giao điểm của d với Ox, Oy, suy ra: : d x y 1
a b+ = Theo giả thiết, ta cú: 2 1 1,ab 8
a b+ = = Khi ab=8 thỡ 2b a+ =8 Nờn: b=2;a= ⇒4 d x1: +2y− =4 0
10) Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) , cho điểm 3;1
2
Viết phương trỡnh chớnh tắc của elip đi
qua điểm M và nhận F1(− 3;0) làm tiờu điểm
11) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, lập phương trỡnh đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2) và cắt
đường trũn (C) cú phương trỡnh (x− 2) 2 + (y+ 1) 2 = 25 theo một dõy cung cú độ dài bằng 8
HD : G/s một vộc tơ phỏp tuyến của d là ( ; )n a br ,vỡ d đi qua điểm A(1;2) nờn d cú phương trỡnh d: a(x – 1)+ b(y –2) = 0 hay d: ax + by – a – 2b = 0 ( a2 + b2 > 0)
Vỡ d cắt (C) theo dõy cung cú độ dài bằng 8 nờn khoảng cỏch từ tõm I(2; –1) của (C) đến d bằng 3
, = − − − = ⇔ −3 3 =3 +
+
2
0
4
=
⇔ + = ⇔
= −
a
• a = 0: chọn b = 1 ⇒ d: y – 2 = 0
• a = 3
4
− b: chọn a = 3, b = – 4 ⇒ d: 3x – 4 y + 5 = 0
12) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trỡnh tiếp tuyến chung của hai đường trũn
(C1): x2 + y2 – 2x – 2y – 2 = 0, (C2): x2 + y2 – 8x – 2y + 16 = 0
HD: (C1): (x− 1) 2 + (y− 1) 2 = 4 cú tõm I1 (1; 1), bỏn kớnh R1 = 2
(C2): (x− 4) 2 + (y− 1) 2 = 1 cú tõm I2 (4; 1), bỏn kớnh R2 = 1
Ta cú: I I1 2 = = 3 R1 +R2 ⇒ (C1) và (C2) tiếp xỳc ngoài nhau tại A(3; 1)
⇒ (C1) và (C2) cú 3 tiếp tuyến, trong đú cú 1 tiếp tuyến chung trong tại A là x = 3 // Oy
* Xột 2 tiếp tuyến chung ngoài: ( ) :∆ y ax b= + ⇔ ( ) :∆ ax y b− + = 0 ta cú:
2
1
∆
∆
=
=
a b
hay
Vậy, cú 3 tiếp tuyến chung: ( ) :1 3, ( ) :2 2 4 7 2, ( )3 2 4 7 2
∆ x= ∆ y= − x+ + ∆ y= x+ −
13) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đường trũn (C) : x2 + y2 + 4x – 6y + 9 = 0 và điểm
M( 1; - 8).Viết phương trỡnh đường thẳng d qua M sao cho d cắt (C) tại hai điểm A,B phõn biệt
mà diện tớch tam giỏc ABI đạt giỏ trị lớn nhất.Với I là tõm của đường trũn (C)
Đtròn (C) có tâm I(- 2; 3) & bán kính R = 2
Giả sử ptđt (d) : Ax + By – A + 8B = 0 với A2 + B2 > 0
Luôn có ∆BIA cân tại I với IA = IB = 2 ; S∆ BIA =
2
1 IA.IB.sinAIB = 2sinAIB
S∆BIA≤ 2 Dấu = khi ∆AIB vuông cân tại I hay d(I ; (d)) = 2 11 3 2
2
+
−
B A
A B
7A2 – 66BA + 119B2 = 0 (A – 7B)(7A – 17B) = 0
Vậy có hai đờng thẳng d thoả mãn: 7x + y + 1 = 0 & 17x + 7y + 39 = 0
14) Cho A(1 ; 4) và hai đường thẳng b : x + y – 3 = 0 ; c : x + y – 9 = 0 Tỡm điểm B trờn b , điểm C
trờn c sao cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A
Trang 5Gọi B(b ; 3 - b) & C( c ; 9 - c) => AB (b - 1 ; - 1 - b) ; AC (c - 1 ; 5 - c)
& ABC vuông cân tại A
=
=
AC AB
AC
AB 0
− +
−
= + +
−
− +
=
−
−
2 2
2
2 ( 1) ( 1) (5 ) )
1 (
) 5 )(
1 ( ) 1 )(
1 (
c c
b b
c b
c b
vì c = 1 không là n0 nên hệ
− +
−
= + +
−
− +
−
− +
=
−
) 2
(
) 5 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 5 ( ) 1 ( ) 1 .(
1
) 5 )(
1 ( 1
2 2
2 2
2
c
c b
c
c b
b
Từ (2) (b + 1)2 = (c - 1)2
Với b = c – 2 thay vào (1) => c = 4 ; b = 2 => B(2 ; 1) & C( 4 ; 5).
Với b = - c thay vào (1) => c = 2 ; b = - 2 => B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7).
Kết luận :có hai tam giác thoả mãn: B(2 ; 1) & C( 4 ; 5) hoặc B(- 2 ; 5) & C(2 ; 7)
15) Trong hệ toạ độ Oxy đờng thẳng (d): x – y +1 =0 và đờng tròn (C): 2 2
x +y + x− y= Tìm
điểm M thuộc đờng thẳng (d) mà qua M kẻ đợc hai đờng thẳng tiếp xúc với đờng tròn (C) tại A và
B sao cho ãAMB=60 0
16) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD biết phơng trình cạnh BC:x + 2y - 4
= 0 phơng trình đờng chéo BD: 3x + y – 7 = 0,đờng chéo AC đi qua M(-5;2).Hãy tìm tọa độ các
đỉnh của hình chữ nhật ABCD
17) Phương trỡnh hai cạnh của một tam giỏc trong mặt phẳng tọa độ là 5x - 2y + 6 = 0;
4x + 7y – 21 = 0 viết phương trỡnh cạnh thứ ba của tam giỏc đú, biết rằng trực tõm của nú trựng gốc tọa độ O
Giả sử AB: 5x - 2y + 6 = 0; AC: 4x + 7y – 21 = 0 Vậy A(0;3)
Đường cao đỉnh BO đi qua O nhận VTCP ar = (7; - 4) của AC làm VTPT
Võy BO: 7x - 4y = 0 vậy B(-4;-7)
A nằm trờn Oy, vậy đường cao AO chớnh là trục OY, Vậy AC: y + 7 = 0
18) Trong mpOxy, cho đường trũn (C): x2 + y2 – 6x + 5 = 0 Tỡm M thuộc trục tung sao cho qua M kẽ được hai tiếp tuyến của (C) mà gúc giữa hai tiếp tuyến đú bằng 600
HD: (C) cú tõm I(3;0) và bỏn kớnh R = 2
M ∈ Oy ⇒ M(0;m)
Qua M kẽ hai tiếp tuyến MA và MB ( A và B là hai tiếp điểm)
Vậy
ã
ã
0
0
60 (1)
120 (2)
AMB
AMB
Vỡ MI là phõn giỏc của ãAMB
(1) ⇔ ãAMI = 300
0 sin 30
IA MI
⇔ = ⇔ MI = 2R ⇔ m2+ = ⇔ =9 4 m m 7 (2) ⇔ ãAMI = 600
0 sin 60
IA MI
9 3
m + = Vụ nghiệm Vậy cú hai điểm M1(0; 7 ) và M2(0;- 7 )
19) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy Lập phương trỡnh đường thẳng đi qua A(8 ;6) và tạo với 2 trục toạ
độ một tam giỏc cú diện tớch bằng 12
Giả sử (d) đi qua A(8;6) cắt cỏc trục Ox, Oy lần lượt tại cỏc điểm M(a;0), N(0;b) a,b khỏc 0.Khi đú (d) cú phương trỡnh x y 1
a b+ = Vỡ (d) đi qua A nờn 8 6 1
a b+ = (1)
Trang 6lại có 1 12
2
OAB
S∆ = ab = (2) Từ (1) và (2) ta có hệ
8 6
1 24
a b ab
+ =
4
6 8 3
a
b
a
b
=
= −
⇔ = −
=
từ đó có 2 đường thẳng thoả mãn điều kiện là 1, 1
x− = − + =y x y
20) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy viết phương trình các cạnh của hình chữ nhật ABCD Biết rằng
AB = 2BC , A, B thuộc đường thẳng đi qua M( 4;1
3
− ), B, C thuộc đường thẳng đi qua N(0 ; 3), A,D thuộc đường thẳng đi qua P(4 ; -1/3), C,D thuộc đường thẳng đi qua Q(6 ;2)
HD : Phương trình AB có dạng: y = k(x + 4/3) + 1
DC: y = k(x - 6) + 2 , BC: x + ky – 3k = 0 , AD: x + ky -4 + k/3 = 0
Vì AB = 2BC nên d(AD,BC)=2d(AB,DC) hay d(P;BC) = 2d(M;DC)
10 12 6 44
17
k
Với k = 1/3 ta có phương trình các cạnh hình chữ nhật là: AB:
1/ 3( 4 / 3) 1, : 1/ 3( 6) 2, : 1/ 3 1 0, : 1/ 3 35 / 9 0
Với k = -3/17 ta có phương trình các cạnh của hình chữ nhật là:
21) Trong mp với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn : x2 +y2 -2x +6y -15=0 (C )
Viết PT đường thẳng (Δ) vuông góc với đường thẳng : 4x-3y+2 =0 và cắt đường tròn (C) tại A; B sao cho AB = 6
Đường tròn ( C) có tâm I(1;-3); bán kính R=5
Gọi H là trung điểm AB thì AH=3 và IH AB suy ra IH =4
Mặt khác IH= d( I; Δ )
Vì Δ || d: 4x-3y+2=0 nên PT của Δ có dạng 3x+4y+c=0
vậy có 2 đt thỏa mãn bài toán: 3x+4y+29=0 và 3x+4y-11=0
22) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hypebol (H) có phương trình:
1
2 − 3 =
và điểm M(2; 1) Viết phương trình đường thẳng d đi qua M, biết rằng đường thẳng đó cắt (H) tại hai điểm A, B mà M là trung điểm của AB
HD: Giả sử d qua M cắt (H) tại A, B : với M là trung điểm AB
A, B ∈ (H) : ⇒
3x 2y 6 (1) 3x 2y 6 (2)
M là trung điểm AB nên : xA + xB = 4 (3) và yA + yB = 2 (4)
(1) − (2) ta có : 3(x2
A - x2
B) - 2(y2
A - y2
B) = 0 (5) Thay (3) và (4) vào (5) ta có : 3(xA -xB)-(yA-yB) = 0 ⇔ 3(2xA-4)-(2yA- 2) = 0 ⇔ 3xA - yA = 5
d(I; Δ )=
I
A H B
Trang 7Tương tự : 3xB - yB = 5 Vậy phương trỡnh d : 3x - y - 5 = 0
23) Cho hỡnh tam giỏc ABC cú diện tớch bằng 2 Biết A(1;0), B(0;2) và trung điểm I của AC
nằm trờn đường thẳng y = x Tỡm toạ độ đỉnh C
HD: Ta cú: uuurAB= −( 1; 2)⇒AB= 5 Phương trỡnh của AB là: 2x y+ − =2 0.
( ): ( );
I∈ d y x= ⇒I t t I là trung điểm của AC:C(2t−1;2t)
Theo bài ra: ( , ) 2
2
=
=
= 3 4
0
t t
Từ đú ta cú 2 điểm C(-1;0) hoặc C(
3
8
; 3
5 ) thoả món
24) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(1;1),B(−2;5), đỉnh C nằm trên đờng thẳng
0
4=
−
x , và trọng tâm G của tam giác nằm trên đờng thẳng 2x−3y+6=0 Tính diện tích tam giác ABC.
Ta có C=(4;y C) Khi đó tọa độ G là
3
2 3
5 1 , 1 3
4 2
G G
y y
y
thẳng 2x−3y+6=0 nên 2−6−y C +6=0, vậy y C =2, tức là
)
2
;
4
(
=
C Ta có AB=(−3;4),AC =(3;1), vậy AB=5, AC = 10, AB.AC =−5
2
1
2
−
=
−
2 15
25) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC, với A(2;−1),B(1;−2), trọng tâm G của tam giác
nằm trên đờng thẳng x+ y−2=0 Tìm tọa độ đỉnh C biết diện tích tam giác ABC bằng 13,5
Vì G nằm trên đờng thẳng x+y−2=0 nên G có tọa độ G=(t;2−t) Khi đó AG=(t−2;3−t),
) 1
;
1
(− −
=
2
1
2
−
− +
−
=
−
2
3
2t−
Nếu diện tích tam giác ABC bằng 13,5 thì diện tích tam giác ABG bằng 13,5:3=4,5 Vậy 4,5
2
3 2
=
−
t
, suy
ra t=6 hoặc t =−3 Vậy có hai điểm G : G1=(6;−4),G2=(−3;−1) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên
) (
x = − + và y C =3y G −(y a +y B)
Với G1=(6;−4) ta có C1= ( 15 ; − 9 ) , với G2=(−3;−1)ta có C2= ( − 12 ; 18 )
26)Trong mặt phẳng oxy cho ABC∆ cú A(2;1) Đường cao qua đỉnh B cú phương trỡnh x- 3y - 7 = 0 Đường trung tuyến qua đỉnh C cú phương trỡnh x + y +1 = 0 Xỏc định tọa độ
B và C Tớnh diện tớch ∆ ABC
y - 7 = 0
+ Giải hệ
1 0
ta được B(-2 ;-3)
Trang 8Tính diện tích ∆ ABC
+ Tọa độ H là nghiệm của hệ
14
5
x
y
y
=
2AC BH =2 5 = ( đvdt)
27) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC biết A(5; 2) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến CC’ lần lượt là x + y – 6 = 0 và 2x – y + 3 = 0 Tìm tọa độ các
đỉnh của tam giác ABC
28)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng∆:x+3y+ =8 0, ' :3∆ x−4y+ =10 0và
điểm A(-2 ; 1) Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆, đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng ∆’
HD: Tâm I của đường tròn thuộc ∆ nên I(-3t – 8; t)
Theo yc thì k/c từ I đến ∆’ bằng k/c IA nên ta có 3( 3 8) 42 2 10 ( 3 8 2)2 ( 1)2
− − − +
+ Giải tiếp được t = -3
Khi đó I(1; -3), R = 5 và pt cần tìm: (x – 1)2 + (y + 3)2 = 25
29)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm I(1; 2;3− ) Viết phương trình mặt cầu tâm
I và tiếp xúc với trục Oy
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn ( )C x: 2+y2+2x=0 Viết phương
trình tiếp tuyến của ( )C , biết góc giữa tiếp tuyến này và trục tung bằng 30o
Ta có: Hệ số góc của tiếp tuyến ( )∆ cần tìm là ± 3.
( ) ( )2 2 ( )
Do đó: ( )∆1 : 3x y b− + =0 tiếp xúc (C) ⇔d I( ,∆ =1) R
3
2
b
b
−
⇔ = ⇔ = ± + KL: ( )∆1 : 3x y− ± +2 3 0= .
Và : ( )∆2 : 3x y b+ + =0 tiếp xúc (C) ⇔d I( ,∆ =2) R
3
2
b
b
−
⇔ = ⇔ = ± + KL: ( )∆2 : 3x y+ ± +2 3 0=
30)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, hãy viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết
trực tâm H(1;0), chân đường cao hạ từ đỉnh B là K(0; 2), trung điểm cạnh AB là M(3;1).+
Đường thẳng AC vuông góc với HK nên nhận
( 1; 2)
HK = −
uuur
làm vtpt và AC đi qua K nên
(AC x) : −2y+ =4 0. Ta cũng dễ có:
(BK) : 2x y+ − =2 0.
+ Do A AC B BK∈ , ∈ nên giả sử
(2 4; ), ( ; 2 2 )
A a− a B b − b Mặt khác M(3;1)là
Trang 9trung điểm của AB nên ta có hệ:
Suy ra: A(4; 4), (2; 2).B −
+ Suy ra: uuurAB= − −( 2; 6), suy ra: (AB) : 3x y− − =8 0.
+ Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH nên nhận HAuuur=(3; 4), suy ra:
(BC) : 3x+4y+ =2 0
KL: Vậy : (AC x) : −2y+ =4 0,(AB) : 3x y− − =8 0, (BC) : 3x+4y+ =2 0
31)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn hai đường tròn
( ) :C x + – 2 – 2 1 0,y x y + = 2 2
( ') :C x + y +4 – 5 0x = cùng đi qua M(1; 0) Viết
phương trình đường thẳng qua M cắt hai đường tròn ( ), ( ')C C lần lượt tại A, B sao cho MA= 2MB
+ Gọi tâm và bán kính của (C), (C’) lần lượt là I(1; 1) , I’(-2; 0) và R=1, ' 3R = , đường thẳng
a x− +b y− = ⇔ax by a+ − = a +b ≠
+ Gọi H, H’ lần lượt là trung điểm của AM, BM.
Khi đó ta có: MA=2MB⇔ IA2−IH2 =2 I A' 2−I H' '2 ( )2 ( )2
1 d I d( ; ) 4[9 d I d( '; ) ]
IA IH>
9
4 d I d( '; ) d I d( ; ) 35 4 a b 35
2 2
2 2
36
−
+
Dễ thấy b≠0 nên chọn 1 6
6
a b
a
= −
= ⇒ = Kiểm tra điều kiện IA IH> rồi thay vào (*) ta có hai đường thẳng thoả mãn
32)Trong hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình hyperbol (H) dạng chính tắc biết rằng (H) tiếp
xúc với đường thẳng d x y: − − =2 0 tại điểm A có hoành độ bằng 4.
Gọi ( )H :x22 y22 1
a −b = (H) tiếp xúc với d x y: − − = ⇔2 0 a2−b2=4 ( )1
( ) ( ) 162 42 ( )
Từ (1) và (2) suy ra 2 8; 2 4 ( ): 2 2 1
33)Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy lập phương trình tiếp tuyến chung của elip (E):
1
+ = và parabol (P): y2 = 12x
Giả sử đường thẳng (∆) có dạng: Ax + By + C = 0 (A2 + B2 > 0)
(∆) là tiếp tuyến của (E) ⇔ 8A2 + 6B2 = C2 (1)
(∆) là tiếp tuyến của (P) ⇔ 12B2 = 4AC ⇔ 3B2 = AC (2)
Thế (2) vào (1) ta có: C = 4A hoặc C = −2A.
Với C = −2A ⇒ A = B = 0 (loại)
Với C = 4A ⇒ B = ± 2 A
Trang 10⇒ Đường thẳng đã cho có phương trình:
3 3
A
Ax ± y + A = ⇔ ± x y + =
Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm: 2 3
4 0 3
34) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC với A(1; -2), đường cao CH x y: − + =1 0, phân giác trong BN: 2x y+ + =5 0.Tìm toạ độ các đỉnh B,C và tính diện tích tam giác ABC
+ Do AB CH⊥ nờn AB: x y+ + =1 0.
Giải hệ: 2 5 0
1 0
x y
x y
+ + =
+ + =
ta có (x; y)=(-4; 3).
Do đó: AB∩BN = −B( 4;3).
+ Lấy A’ đối xứng A qua BN thỡ A'∈BC
- Phương trình đường thẳng (d) qua A và vuông góc với BN là (d): x−2y− =5 0
Gọi I =( )d ∩BN Giải hệ: 2 5 0
x y
+ + =
− − =
Suy ra: I(-1; 3)⇒A'( 3; 4)− −
+ Phương trình BC: 7x y+ +25 0= Giải hệ: 7 25 0
1 0
x y
x y
− + =
Suy ra: ( 13; 9)
C − −
( 4 13 / 4) (3 9 / 4)
4
Suy ra: 1 ( ; ) 1.3 2 450 45
ABC
35) Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12,
tâm I là giao điểm của đường thẳng d1:x−y−3=0 và d2 :x+y−6=0 Trung điểm của
một cạnh là giao điểm của d1 với trục Ox Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật
Ta có: d1 ∩d2 =I Toạ độ của I là nghiệm của hệ:
+ − = =
9 3
;
2 2
= ÷
Do vai trò A, B, C, D nên giả sử M là trung điểm cạnh AD ⇒M=d1 ∩Ox
Suy ra M( 3; 0)
2
3 2
9 3 2 IM 2 AB
2 2
=
+
−
=
=
2 3
12 AB
S AD 12
AD AB
Vì I và M cùng thuộc đường thẳng d1 ⇒d1 ⊥AD
Đường thẳng AD đi qua M ( 3; 0) và vuông góc với d1 nhận n(1;1) làm VTPT nên có PT:
0 3 y x 0 ) 0 y ( 1
)
3
x
(
1 − + − = ⇔ + − = Lại có: MA =MD= 2
Toạ độ A, D là nghiệm của hệ PT:
= +
−
=
− +
2 y
3 x
0 3 y x
2 2