Chứng minh răng khi đó tích các hệ số góc của các tiếp tuyến của C tại 4 và Z không đổi.. ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thang 4C" và Câu 6 1,0 điểm.. Viết phương trình của mặt
Trang 1SỞ GD & ĐT HÀ NỘI pk THI THU ĐẠI HỌC LÀN Ií NĂM 2014 TRUONG THPT LUONG THE VINH | Môn: TOÁN, Khối A, AI, B
——— Thời gian làm bài: 180 phúi, không kế thời gian phái để
Câu 1 (2,0 diém) Cho ham so y = — () và đường thăng 4: y= x +7 x +
a) Khao sat sw biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b) Tìm m7 để đường thắng đ cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt 44, 8 Chứng minh răng khi đó tích các hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại 4 và Z không đổi
Câu 2 (1,0 đim) Giải phương trình 2sin” x—cos2x +cos x = Ö
Câu 3 (1,0 điển) Giải phương trình
2x? ~09x+3+A/3x7 + Tx " + 3x~2 =0 (x © IR)
Cau 4 (1,0 diém) Tinhtich phan J = | Gx? ~2)in eT dx
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD co day ABCD là hình chữ nhật, 4 = đ, SA = SB = SC
== BC!= 2a Tinh thé tich của khối chop S ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thang 4C" và
Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, J, z thay đổi nhưng luôn thỏa mãn diều kiện
x°4-y) +2? +xy+ J2 + XZ = 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Pe 24 4 He 12 In(x t+ yz) #2 8
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam gidc ABC can tai dinh 4 Goi N la trung
điểm của 4ð, Goi £ va F tan lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh 8, C của tam giác ABC Tìm tọa
độ của đính 4 biết răng £(7;1), F(t 2| và phương trình đường thing CN la 2x + y—13 = 0
Câu 8 (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(4;2;O), 8@;3;2), Œ{2;0;~2) và mặt phắng (?):2x~2y—Z+11= 0 Viết phương trình của mặt cầu (S3 đi qua ba điểm A,B, C và (S) tiếp xúc với mặt phăng (?)
Câu 9 (1,0 đ/ểm) Cho sô phức z thỏa mãn điêu kiện Zz————~ -, Tìm môđun của sô phức
2
Wz +2-hl.,
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thì không giải thích gì thêm
Tà nh 60800 8n - Sô báo danh: -«-eerrretrrerie
Trang 2
SO GD & DT HA NOI ĐÈ THỊ THỬ ĐẠI HỌC LÀN I NAM 2614
nnn metas Thời gian làm bài: 180 phúi, không kế thời gian phái đề
Câu Í (2;0 điểm) Cho hàm sO y= _ (1) và đường thắng đ:y=~x-t
a) Khao sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b) Tìm m dé đường thang d cat dé thi (C) tai hai diém phan biét A, B đồng thời các tiếp tuyến của _ () tại 4 và B có cùng hệ số góc
| Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình — 1+sinx+(1+sinx).sin 2x = c0S2x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình
| 2x?—~4x—=9+^A/Sx+e6+A/7x+ll=0 — (xe)
tr v4.2
_Câu 5 (1;0 diễm) Cho hình chóp S.4BCD có đây ABCD là hình chữ nhật, 4B =a, S4 = BC = 24 Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân 7 =
Biết rằng hai mặt phang (SAC) va (SBD) cùng vuông góc với mặt phang (ABCD) Tinh thé tích của khéi chop S ABCD và tính khoảng cách giữa hai đường thang AC và SD theo a
“Câu 6 (1,0 điểm) Cho ba số thực dương x, y, z thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện
x`°+ y°4-Z”+xp+ J2 + X2 = 6
“Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
3 3 3
P= Zo be + One t y+ 2) 4 —
Câu 7 (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác 1BC Gọi # và lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh Ö, C của tam giác ABC Tìm tọa độ của đỉnh 4 biết ‘rang
1 E74), F( 2), phương trình đường thăng ĐC là x+3y—4= 0 và điểm 8 có tung độ dương
Câu 8 GQ, 0 diém) Trong khéng gian voi hé toa dé Oxyz, cho ba điểm A(3;3;2), B(-1;3;2), ŒQÓ;3;—2) và mặt phẳng ():2x—2y—z+LI= Ô Viết phương trình của mặt cau (S) di qua ba diém 4,B,C và (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Câu 9 (1,0 đ/ểm) Cho số phức z thỏa mãn điêu kiện Z.Z + 2.Z = 19—4¡ Tìm môđun của sô phức
wee tz+t
Thi sink khéng duoc sử dụng tài liệu Cán bộ coi thì không giải thích gì thêm
08:08 11 : Số báo danh: .<-errreerersree
www JI ATHY §.com
Trang 3
SỞ GD & ĐT HÀ NỘI pAP AN — THANG DIEM MON TOÁN KHÔI A
TRƯỜNG THPT LƯƠNG THẺ VINH pk THI THU DAL HOC LAN 2 NAM 2014
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm SỐ y=——
* Tập xác định: 2=IR\{-l)
* Chiều biến thiên: y'= oy >0 WxeD,
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định của nó, do đó hàm số không có cực trị 0,254 _
* Tiệm cận: lim y= to, „Im y=~œ; lim y=!
=> Đà thị (C) có tiệm cận đứng x= —| va tiém can ngang ve = |,
* Bang bién thiên
x |¬® -Ï +œ
+09 _— |
b) Tim để đường thắng ở: yar +m cat dé thi (C) tai hai điểm phân biệt A, B Chứng
minh rằng khi đó tích các hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại 4 và # không adi 1 diém
: ` ˆ A x—] x#-l
Đường thăng ở cắt đỗ thị (C) tại hai điểm phân biệt > phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt x #~—]
| A>0 1m ~ 4n +]) >0 m>2+2A2
&> = Oo
| Goi A(a,a+m), B(b,b +m) trong dé a, b là hai nghiệm của phương trình (2) | Tích các hệ số góc của các tiếp tuyến của (C) tại 4 và Ö là
trhrbm—
Theo Định lý Viết ta có “ m
ab =m +]
Phuong trinh
<> 2sin’ x.sinx +1-2cos’ x+cosx =0
<> 2(1—cos’ x).sinx + (1 —cos x)(1 + 2cos x) = 0 0,25
| Ta c6 (2) << sin? x -+cos’ x + 2sinxcosx + 2(sin x + eos x) = 0 <> (sinx + cos xy +2(sinx +cosx) = 0
Trang 4\2.sin(x + “)=0
Sinx,+cosx =0
<>
sin x +cosx+2=0 2 sin(x+—)=~2 ›, A
&> sin(x + 2 =2 (Loại) hoặc sin(x+ 2 =0Qx Ws k# Ox= a kn (ke 2) 0,25d Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x = 2kx hoặc x= a kn (k2)
Câu 3 Giải phương trình 2x°—9x+3+ 3x? +7x-l+vV3x-2=0 (xe)
Điều kiện x > 2- Phương trình đã cho trở thành:
c>202 ~3x+2)= EX 2x+l+N3x?+7x—l =@ =— , x =6x-2) x+AJ3x~2
2
xˆ—3x+2 xằ—3x+2
2x -+b4+V3x2 + 7x—1 x+V3x~2
x=]
x —~3x+2=0 x=2
= I + l =? <> {7 | ;
| Với x xế ta có
dx+1+V3247x—-1 xtvBx-2 42,, 2 7 2 7
Do đó phương trình (#) vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = l;x =2 0,25đ
Tacó 7=(x`-2x), nà Joe Ax) rp 21.In2—4.ln3+2 joe v2 — 0.25d 290 |
= 21.ln2— 4.ln3+ i _ :
| 5 x -Ì
Câu 5 Cho hình chóp S.4BCD có đáy ABCD là bình chữ nhật, 4B =&, SA =SB= SC= BC = 2a Tính | thé tich khéi chép S ABCD va tinh khoang cach gitta hai đường thing AC va SD theo a Ldiém
Hạ SỐ L.(4BCD).Vì S4= SB = $C nên ta có AS4O =ASBO=<ASCO=OA=OBR=OC ——<“—S SCS _ Vậy Ở là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC Tir dé suy ra Ở là trung điểm của AC 0,25đ
Ta có AC? = AB? + BC? =5a? = AC =aÍŠS => OA= =5 = SỐ =A|S4? T-OA? = oli
[tr do Ve ancy = ` 60, Sascn = al a.2a = aN 3 www 3 Mi ATHY §.com2 3 0,25đ
Trang 5
A
d( AC, SD) = d(SD,(ACM)) = d(D,(ACM)) = ¬
Gọi À⁄/ là trung điểm cua SB Ta cé OM song song véi SD, Do dé mat phing (ACM) song song voi SD Từ đó
Đặt ¿=x+p+z Vì x, y,z > Ø nên ta có
? =x? ty? 42? +2(xy + J2 + X2) > x) +? +22 + x) + J2 + xz = 6 => £ > A6,
www Mi ATHY §.com
ACM
Ta cO Vy ge = “aracn = 2 Peach = 515 sane = “1 0,200
nổ
Ta có tam Biác SBC đều, do đó CM = = 2” = a3
-‡ Trong tam giác SAB ta cô AM? = As’ =— 1 f= AM = os từ đó -
cosAMC = Ma" + MC” ~ AC" =~ => sinAMC = V1-cos’* AMC = KT 2.MAMC 12 12
> Sade ÝP „-MA MC.sin AMC 1a a3.~——~ TT
Sac ck avis _ I9 0,225đ
ICâu 6 Cho ba số đương x, ÿ, z thay đối nhưng luôn thỏa mãn điều kiện
Ap dụng bất đăng thức Cô-si ta có
ab ye yt yt >5.gÍ“y.y.y2.l = 5x => =~ 2Sx—3y-l
vo y y
Tương tự fa cd
Y >5y-32-1, Š>5z~3x—l
Từ đó suy ra
22
P>2(x+y+z)-12ln+y+zZ)- 4 6 = —
Trang 6
=-»Ƒ Mặt khác 1a có
| (x— y}! +Œ—z)? t(x¬z)°>0=—x) ty tzÏ>xvy+ 2+2
- |Suyra Qf? = 200" + yy? + 27) 4+ Aap + yz +-x2) 8 3(x?+y°+z?+x+z+txz) =18=>7 <3,
| Vay
P3/(0=3/-lain~22 6-3
- |Œ?) tiếp xúc với mặt câu (%) khi và chỉ khi
" '4Œ.(P)<R=1Aœ Pas —= 211 = (a
V2 42 4P
www Mi ATHY §.com
-43? +(5~3a— 2)? +(2a- 2)?
VỚI /=xEy+zZ€ (6:3 ]
| _Fa có +
nộ _ f= 2-4 Tay? 7 l2 22 12 -6+1l-6 „(Œ-=ÙŒ-2/-3) _- 5 =2 ¬ <0 _v/e(6;3l
3
"Khi x=y=z=lthì P ==]2hẻ vay giá trị nhỏ nhất của P bằng _+]2mẻ 0,25đ |
“Câu 7, Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác 4C cân tại đỉnh 44 Gọi XN là trung điểm của 48 1 điểm Gọi Eva F lan lượt là chân đường cao hạ từ các đính B, C cia tam giác ABC Tim toa độ ‹ củn đỉnh 4 le
I biết rằng EN); 6 (2) y và phương trình đường thẳng CN là 2x+y-—l13= :0,
One Goi G là trọng tâm của tam giác 4BŒ Vì G CN => G(;13—2/) Do tam giae ABC can tai A nên ta có
op o) GE? =GF? o(t-TY +(13-26-ly =(@-—¥ + (13 - 2t -=Y St =5 => G(5;3) ye, 1 cố 13 | ,
| Taco AGLEF > wu, =(1;3) Phương trình đường thang AG là 333/ => A(S+a;3+34)
“7 CECN = C(e,13— 2c)
¬- mu tr đó suy ra Xụ =ẦXg — Xã — Xe = TỔ ga => B8(0—a—eđ;~?— 3a + 2c)
Doe Ue =3YG V4 ~ Ye BT 3a + 2e
Suy-ta 8qd5—2c;§8—e) Ta có EB = (8 - 20; 7—¢), EC =(c-7;12- 2e) Vì EB 1 EC nên ta có 0254:
> (8 -2c).(e~+ 7) 4 (7 —e)(12 — 2¢) =0 <> 28~— 4e =0 <đ®e=7,a=e@ =5 = 2,
: : | Câu 8 Trong không gian với hệ tọa độ Øxyz, cho ba điểm 4(4;2;0), BG: 3; 2), C(2;0;—2) và mặt 1 điểm _ - phẳng (P):2x 2y—z+11=0 Viết phương trình của mặt cầu (ŠS) đi qua ba điểm A, B, C va (S) tiếp "
| Gọi /{z,b,e) là tâm của mặt cầu (9) Ta có
2 pp? — _
/ Cộng (1) với (2)ta được 2a—ec=2<Ầ>c=2a—2=>b=3-a—c = 5 =3 => I(a;5 = 34:24 — 2) 0,254
Trang 7
a=
<> 10a° 38a+28=0< 14
Gam,
© V6l a =] ta có /(1;2;0), R= JA =3 Phuong trinh (S) la (x—1)? #(p 2) +27 = 9,
® Với a=Ê tạ có CC 12, Ss Re ~3, Phương trình (5) là (xy + (y+ sử +(Z——— 082 025đ
, cóc 2 Cm TÐ-4i „ ^ 1 , - 2
Câu 9 Cho sô phức z thỏa mãn điêu kiện z = ˆ, Tìm môđun của sô phức w=z'+z +] 1 diém
Điều kiện z#~-2 Goi z=a+bi (a,beR) Từ giả thiết ta có phương trình
Z.24+2.2=19~-4i <> a? +h? +2(a—bi) =19~-4i
: " 2 =
2 2 2 | a=3 r
a +2° +2a-19=0 a’ +2a—-15=0 z=3+2i
Trường hợp | 2=3+4 27 Taco
W = (342i)? 3-421) +1=94- 1479 |w] = VO +14? = 277 0,258:
W = (5 42197 + (54-21) +I =17-18i = |w|= iP +18) - JS15 0,254:
Trang 8
SO GD & DT HA NOI
TRUONG THPT LUONG THE VINH ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM MÔN TOÁN KHÓI Ð ĐÈ THỊ THỬ ĐẠI HỌC LAN 2 NAM 2014
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = TT
* Tap xac dinh: D=R\{-1}
* Chiéu bién thién: y’ = 2 5
Hàm sô đồng biển trên từng khoảng xác định của nó, do đó hàm sô không có cực trị ` |
*® Tiệm cận: lim y=+s, lim y=-o; lim y=1
=> Đô thị (C) có tiệm cận ding x = —~ Ï và tiệm cận ngang y = ]
* Bảng biên thiên
y` + +
b) Tìm để đường thang d: y=—x-+m cắt đỗ thị (C) tại hai điểm phân biệt 4l, 8 đồng thời | 1 điểm
‘ ` ns 2 x-] x#~I ˆ
Đường thắng đ cắt đô thị (C) tai hai điểm phân biệt © phương trình (2) có 2 nghiém phan biét x #~-1
A>0 (2— m3? ~ 40m +1) >0 mm +8>0° |
| Goi A(a,~a +), B(b,—b +m) trong dé a, 6 la hai nghiém ctta phương trình (2)
Theo để bài ta có
#%œ)=/ƒ0)<> ‘aly (b+ly ——> © (2+1) =(+D © anes ~—~(b+1) > |a+b= 2 | 0,250." 1
Trường hop a = 6 không xảy ra Theo Định lý Viết ta có a+b=im—=2.Dođó m -2=~2 ©m =0, _
© I—cos2x +sinx + (l+-sỉn x).2sỉn xcos x =0 < 2sin” x +sinx +(I+sinx).2sin xcos x = 0 0,25đ
Ta có
(2) <> sin’ x +cos’ x + 2sin xcos x + 2(sin x + cos x) = 0 © (sin x + cos x)” + 2(sin x + cos x) = Ô
V2.sinGx +) =0 Sinx+-cosx= 0
sinx+cosx+2=0
L_
Trang 9
www IM ATHY §.com
<> sin(x + 2 = —/2 (Loại) hoặc sin(x+ 2) =0<>x a =ktQuxr= xỉ kn (k €5) 0
Vay phuong trinh da cho 6 cac nghiém la x= 2ka hoae x= 7 thr (keZ)
Câu 3 Giải phương trình = 2x’ 4x-9 +A\5x+6+A7x+l1=0 (x eR) 1 điểm ' Điều kiện x> _ Phương trình đã cho trở thành:
(x+2) -(5x + 6) & +3)? —(7x +11) 3 x? —-x-2 x?°—x—2
“4 x=-Ìl
Vol x2 : ta có
x4+24V5x46 x+34V7x411 61, _614
Do dé phuong trinh (*) v6 nghiém Vay phuong trinh da cho cé hai nghiệm là x = ¬l;x = Z 0,25đ-
tr x 42
Đặt /=x+l=>x=/—l >> dx=dứ và — voe-lel=e Có CỐ kẻ
Tinh f= 7 at = Infd(nf) =-—-—-] =—
Tinh J, = Thai Đặt ø = Ín/,w = at => du = a ,U=—— | Ta có
Ỉ ẽ f t
l =—LiInt ft Se-+-t = a2
3 2 _
Va J=l1+Ù=———
Cau 5, Cho hinh chép SABCD c6 day ABCD 1a hinh chit nhat, AB = a, SA = BC = 2a
Biét rang hai mat phẳng (S⁄4C) và (SBĐ) cùng vuông góc với mặt phang (ABCD) Tinh thé tich
của khối chóp S ABCD va tính khoảng cách giữa bai đường thắng 4C và ,ŠD theo ø 1điễm
Gọi Ó là tam cia hinh chit nhét ABCD, Vi hat mat phẳng (S4Œ) và (SBDĐ) cùng vuông góc với mặt - 0,254
Ta cé AC? = AB? + BC? =5a’ > AC =aV5 > OA a => $O=^(S⁄ -OA? = 2h
¬ l 1 g of
Từ đó Vs, ancy =— SO, Sync: MT MT a.2a= ụ vụ L
Trang 10
ˆ Trong tam giác %4 ta có AM? =
Gọi M {a tring diém ctia SB Ta c6 OM song song voi SD Do đó mặt phang (ACM) song song voi SD Do dé
3V, -
d(AC, SD) = d(SD, (ACM )) = d(D,(ACM)) = DACM
ACM
1 ] 1 Ves ac = 579 Sanco = _12—
Ta co Vyas = ¥aacp = 2
Ta cO OA = OB = oc = 23> = SB = SC = SA =2a Tam gidc SBC déu, do đó CM = = |
ASA SD 34? =4 =3, Từ đó
vua
cosAMC = MA’ + MC" ~ ACT = -= => sinAMC =V1~—cos 2 AMC = _2.MA4.MCG
=> Sue = 5 MA MAMC, sin AMC = = a3 a3.——— v9 ois
5
l6
025đ
0,25đ-
Câu 6 Cho ba số đương x, p, z thay đôi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện
x by +2? +xyt+yz+xz2 = 6 Tim giá trị nhỏ nhất của biển thức: : :
| | P=—>+ “+ +9ln(x+„+z)+———————— oy oy 2 54
yo 2 x? 6 + xy + yZz + xz
1 điểm
|; Ap dung bat đăng thức Cô-sI ta có
3 3 3
By Say che Si xaccay,
y MU MU
Tương tự ta có
Từ đó suy ra
s4
(x +y + z
P>x+y+z