tai lieu chu de gioi han day so

Dãy số có giới hạn hữu hạn a.. Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn Một cấp số nhân có công bội q với q 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn...

I KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

1 Dãy số có giới hạn hữu hạn

a Giới hạn hữu hạn

 limun  0 un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

 Dãy số  un có giới hạn là L nếu: limun  L limunL0

Chú ý: Ta có thể viết gọn: limun lim0, un  L

b Giới hạn đặc biệt

1lim 0

n  limC C , C  limqn   nếu q 11

 Định lí 1: Nếu hai dãy số  un và  vn cùng có giới hạn thì ta có:

+) limunvnlimunlimvn +) limu vn nlim limun vn

   (căn bậc lẻ) +) Nếu un và limvn vn  thì lim0 un  0

 Định lí 2: (Nguyên lí kẹp) Cho ba dãy số      un , vn , wn và L

Nếu unvnwn, và lim* unlimwn  thì L  vn có giới hạn và limvn L

 Định lí 3: Nếu limun và lima vn   thì lim n 0

n

u

v 

 Định lí 4: Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

Chú ý: lim 1 1 2,718281828459 ,

ne

n

    

d Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Một cấp số nhân có công bội q với q 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn

2 Dãy số có giới hạn vô cực

n n

uv+

 Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)

Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh, đánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên hợp của căn thức, …

Ví dụ 1 Chứng minh rằng các dãy sau có giới hạn 0

1 sin 2

n n

nu

a)

2 2

n n

Ví dụ 3 Tính giới hạn của các dãy số sau

  b) Tìm limun

n

n n

nu

un



5n n

uu

 

b) Ta sẽ chứng minh lim n 0, * *

    Thật vậy

 Với n hiển nhiên (*) đúng 1

 Giả sử (*) đúng với n k tức lim k 0

Khi đó ta viết: lim un 0 hoặc limun  hoặc 0 un 0

 Đối với dãy

Trang 6

0

0 lim n

khi m ka

bkhi m k

 Đối với biểu thức chứa căn bậc hai, bậc ba thì cũng đánh giá bậc tử và mẫu để đặt thừa số chung rồi đưa

ra ngoài căn thức, việc này cũng như chia tử và mẫu cho lũy thừa số lớn của n ở tử hoặc mẫu

 Đối với các biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu, việc này cũng như đặt thừa số chung cho tử và mẫu số hạng đó

Biến đổi rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn,… và sử dụng các kết quả đã biết

2 2

Trang 9

a)

1

23

43

 với a b,  và * a

b là phân số tối giản Tính P a 22 b

n

aa

bb

 với a b,  và * a

b là phân số tối giản

Trang 10

3 2

n

aa

bb

 với a b,  và * ab là phân số tối giản Giá trị P a 3b2 thuộc khoảng nào dưới đây?

55

n

aa

u

bb

4.3 10.2 4.3 10.24.9 5.2

n

nu

33

44

n

aau

bb

 (với ,a b ;a

b

 tối giản) Tính 2 2 2

abP

 (với ,a b ;a

b

 tối giản) Tính 2

3.6 3245

5.6 2

.4.6 3

5.6 156

n Khi đó: limun   nếu am 0 và limun   nếu am 0

 Đối với các biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về dạng:

11

2lim

2lim n n n

 Lời giải

a) lim 4n2 n 32n28n3 lim 4n2 n 2n lim 32n28n3 2n

2 2

1lim 0

1 2 2 2lim

1 3 3 3

n n

   Lời giải

n n

10 10 10  là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội 1

10 10 10  là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn công bội 1

10 nên

Lời giải

1 12 1 1

4

qq

n n

un





 và 2

1.2n

vn

2lim

2

n nn



 và

2.2n

vn

uan

Trang 23

Câu 23 Kết quả của giới hạn

3 2

n nn



 là

4Câu 25 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0?

A

3 2

nn



3 2

2

n

nu

2





Câu 28 Dãy số nào sau đây có giới hạn là  ?

A 1 2 2

n

nu

2 1.2n

un





Câu 29 Tính giới hạn Llim 3 n25n3 

u     Mệnh đề nào sau đây đúng?

B limun  D Không tồn tại lim un

Câu 32 Giá trị của giới hạn 2

Câu 34 Giá trị của giới hạn  

2

1 3 5 2 1lim

nn

Câu 39 Cho dãy số có giới hạn  u xác định bởi n

n n n

uu

A limun1 B limun0 C limun 2 D limun  

Câu 41 Kết quả của giới hạn

Trang 25

A 2

3

Câu 42 Kết quả của giới hạn

2 4

2 2

1

42

1.4Câu 65 Giá trị của giới hạn

1lim



Câu 69 Kết quả của giới hạn

1 1

3 2.5lim

Trang 28

4Câu 74 Kết quả của giới hạn lim 3 n 5 n

1 1lim 3

ann

n n

S     

Câu 86 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn   1

11

1, 1 1, , , ,

2 6 18 2.3

n n

n n



11

ab

A sin x 2 B cos x 2 C 1 2

2tan x

Câu 91 Thu gọn S  1 tantan2tan3 với 0

Câu 92 Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111 được biểu diễn bởi phân số tối giản a

A a b 215 B a b 214 C a b 213 D a b 212

Câu 96 Giá trị lim1 3 5 22 1

nn

lim

nn

lim

nn

 

2 2

Trang 31

C lim n22n n21  D

3 2

1 2

nn

un

1.3Câu 105 Tính giới hạn

un



A 2

5

2

3.2

Trang 32

Câu 112 Cho dãy số  un thỏa mãn 1

1

23

Câu 113 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Nếu limun  thì 0 limun 0 B Nếu limun   thì limun 

C Nếu limun   thì limun   D Nếu limun   thì a limun a

Câu 114 Cho dãy số  u xác định bởi n 1 *

Câu 127 Cho dãy số  un với

là trọng tâm các tam giác B C D C D A D A B A B C1 1 1, 1 1 1, 1 1 1, 1 1 1 và có thể tích là V2 cứ như vậy cho đến tứ diện A B C D có thể tích n n n n V nn,  Tính giá trị của * lim 1 2 n

V

D 8281V

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Vì  1 s in5n nên 1 limsin 5 0 lim sin 5 2 2.

3sinn4 cosn  3 4 sin ncos n 25

Do đó 5 3sin 4cos 5 lim3sin 4cos 0

aa

23

n n

Trang 40

12

Trang 42

Câu 69:

1 1

n n

nL

Do đó S là tổng CSN lùi vô hạn với u11;q tan

Trang 45

2

11

a

a bb

4097 2 4950

100 9900 4950

b

a ba

Trang 46

Câu 100:

2 2

1 1

11

33

13

v    Chọn B

11

Trang 48

Câu 111: Ta có: un22un1  un 5 un2un1  un1un 5

Đặt vn1un2un1 thì 1    

1 1

n n

10

10.5 2.55

n

v

vq





n

n n

2n

Trang 50

2

6 22

Với mỗi tam giác đề bài cho, độ dài cạnh của tam giác sau bằng 1

2 độ dài cạnh của tam giác trước nên diện tích đường tròn ngoại tiếp giảm đi 4 lần

12

33

n n

vv

S  Chọn A

Câu 128: Gọi M là trung điểm của AC và đặt độ dài AB x

Vì B D là trọng tâm của tam giác 1, 1 A