Đề thi tuyển sinh toán 10 hà NAM

Biết rằng, giá mỗi hộp bánh là như nhau, giá mỗi túi kẹo là như nhau và giá một hộp bánh hơn giá một túi kẹo là 10 nghìn đồng.. Tính giá tiền để mua một hộp bánh và giá tiền để mua một t

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2022-2023 Môn: Toán

Thời gian làm bài:120 phút, không kể thời gian giao đề

Câu I (2,0 điểm).

1 Giải phương trình 2x24x  4 x 1

2 Giải hệ phương trình  2  1 4

x y





Câu II (1, 5 điểm) Cho biểu thức 6 9 9

P

  (vớia0;a9).

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của biểu thức P khi a 19 6 10

Câu III (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol  P có phương trình y x 2 và đường thẳng  d có phương trình y2mx 3 2m (m là tham số).

1 Tìm m để đường thẳng  d đi qua điểm A 2;1

2 Chứng minh đường thẳng  d luôn cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt A B, Gọi

1, 2

x x lần lượt là hoành độ của hai điểm A B, Tìm m để x x1, 2 là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 14

Câu IV (1,0 điểm).Lớp 9A giao cho An đi mua bánh và kẹo để tổ chức liên hoan An mua tất cả

15 hộp bánh và 5 túi kẹo với số tiền phải trả là 850 nghìn đồng Biết rằng, giá mỗi hộp bánh là như nhau, giá mỗi túi kẹo là như nhau và giá một hộp bánh hơn giá một túi kẹo là 10 nghìn đồng Tính giá tiền để mua một hộp bánh và giá tiền để mua một túi kẹo

Câu V (3,5 điểm) Cho đường tròn  O có đường kính AB2R Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng OA và E là điểm thuộc đường tròn tâm O ( E không trùng với A và B ) Gọi Ax và By

là các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn  O ( Ax By cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB,

có chứa điểm E ) Qua điểm E kẻ đường thẳng d vuông góc với EI cắt Ax và By lần lượt tại

M và N

1 Chứng minh tứ giác AMEI nội tiếp

2 Chứng minh ENI· EBI· và AE IN BE IM

3 Gọi P là giao điểm của AE và MI ; Q là giao điểm của BE và NI Chứng minh hai

đường thẳng PQ và BN vuông góc với nhau

4 Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm E của đường tròn  O Tính

diện tích tam giác OMN theo R khi ba điểm , , E I F thẳng hàng.

Câu VI (0,5 điểm) Cho hai số a b, thỏa mãn a b 1 và a0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 20 2 2

4 4

a b

a



-

HẾT -Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh:

Cán bộ coi thi thứ nhất………Cán bộ coi thi thứ hai……

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NAM

ĐÁP ÁN THAM KHẢO

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

Năm học 2022-2023 Môn: Toán

Thời gian làm bài:120 phút, không kể thời gian giao đề

Câu I (2,0 điểm).

1 Giải phương trình 2x24x  4 x 1

2 Giải hệ phương trình  2  1 4

x y





Lời giải

1 Ta có: 2x24x  4 x 12x25x 3 0 x1 2  x 3 0

1 3 2

x x









 

 Vậy 1;3

2

S    

2 Ta có:  2  1 4

x y





 



x y

x y

 



   



5 15

x

x y





   



3 2

x y





  

 Vậy hệ phương trình có nghiệm x y;    3; 2

Câu II (1,5 điểm) Cho biểu thức 6 9 9

P

  (vớia0;a9).

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tính giá trị của biểu thức P khi a 19 6 10

Lời giải

P

   a 3 a3

2 a 6

 

19 6 10 10 3

a    do đó: a  10 3  10 3

Thay vào biểu thức P , ta có: P2 10 3    6 2 10.

Câu III (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol  P có phương trình y x 2 và đường thẳng  d có phương trình y2mx 3 2m (m là tham số).

1 Tìm m để đường thẳng  d đi qua điểm A 2;1

2 Chứng minh đường thẳng  d luôn cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt A B, Gọi

1, 2

x x lần lượt là hoành độ của hai điểm A B, Tìm m để x x1, 2 là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 14

Lời giải

1 Vì đường thẳng  d đi qua điểm A 2;1 nên thay x2,y vào phương trình đường1 thẳng  d ta có: 1 2 2 3 2 m   m2m 2 0   m 1

Vậy m 1 thì đường thẳng  d đi qua điểm A 2;1 .

2 Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng  d và parabol  P là:

x  mx  m x22mx2m 3 0 1 



          ¡ nên phương trình  1 luôn có hai nghiệm

phân biệt với mọi m hay đường thẳng  d luôn cắt  P tại hai điểm phân biệt , A B

Áp dụng vi-et, ta có: 1 2

1 2

2

 





Để x x1, 2 là độ dài hai cạnh của một hình chữ nhật có độ dài đường chéo bằng 14

thì 12 2 2

0, 0 14

x x



  



1 2

1 2

2

0 0

2 14

x x

x x

  



 

2 0

2 3 0

4 2 2 3 14

m m

 



  

3 2

m

 



 

 3

2 1 2

m

m

m

 



   



 



2

m

Vậy m là giá trị cần tìm.2

Câu IV (1,0 điểm).Lớp 9A giao cho An đi mua bánh và kẹo để tổ chức liên hoan An mua tất cả

15 hộp bánh và 5 túi kẹo với số tiền phải trả là 850 nghìn đồng Biết rằng, giá mỗi hộp bánh là như nhau, giá mỗi túi kẹo là như nhau và giá một hộp bánh hơn giá một túi kẹo là 10 nghìn đồng Tính giá tiền để mua một hộp bánh và giá tiền để mua một túi kẹo

Lời giải

Gọi giá tiền một hộp bánh là: x nghìn đồng.

Gọi giá tiền một túi kẹo là: y nghìn đồng ( điều kiện: , x y )0

Theo bài ra ta có: 15 5 850

10

x y

x y

 



  



15 5 850

5 5 50

x y

x y

 



   



20 900

10

x

x y





   



45 35

x y





  

Vậy giá tiền để mua một hộp bánh là: 45 nghìn đồng

Giá tiền để mua một túi kẹo là 35 nghìn đồng

Câu V (3,5 điểm) Cho đường tròn  O có đường kính AB2R Gọi I là trung điểm của đoạn

thẳng OA và E là điểm thuộc đường tròn tâm O ( E không trùng với A và B ) Gọi Ax và By

là các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn  O ( Ax By cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB,

có chứa điểm E ) Qua điểm E kẻ đường thẳng d vuông góc với EI cắt Ax và By lần lượt tại

M và N

1 Chứng minh tứ giác AMEI nội tiếp

2 Chứng minh ENI· EBI· và AE IN BE IM

3 Gọi P là giao điểm của AE và MI ; Q là giao điểm của BE và NI Chứng minh hai đường thẳng PQ và BN vuông góc với nhau.

4 Gọi F là điểm chính giữa của cung AB không chứa điểm E của đường tròn  O Tính diện tích tam giác OMN theo R khi ba điểm , , E I F thẳng hàng.

Lời giải

a) Ta có: d EI MEI·   mà AM là tiếp tuyến của đường tròn 90  O tại A nên

· 90

MAI   Do đó: ·MEI MAI· 180 nên tứ giác AMEI là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh tương tự, ta có tứ giác BNEI cũng là tứ giác nội tiếp

b) Vì tứ giác BNEI nội tiếp nên ·ENI EBI· ( hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Vì tứ giác AMEI là tứ giác nội tiếp nên EMI· EAI· ( hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

Do đó EAB ∽ IMN g g  suy ra EA EB EA IN EB IM

IM  IN   (đpcm)

c) Vì EAB ∽ IMN c m t  nên ·AEB MIN· mà ·AEB  (góc nội tiếp chắn nửa đường90 tròn) nên ·AEB MIN·   suy ra ·90 PEQ PIQ· 180 do đó tứ giác EPIQ nội tiếp

· ·  1

EQP EIP

Mặt khác: tứ giác AMEI là tứ giác nội tiếp nên · EIM EAM·  2

Và ·EAM EBA·  3 ( góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp chắn cung)

Từ      1 , 2 , 3 ta có: ·EQP EBA· PQ AB ∥ mà ABBN nên PQBN (đpcm).

d)

Ta có: F là điểm chính giữa cung AB nên · 1.90 45

2

AEF    

Mà tứ giác AMEI nội tiếp nên · AMI ·AEI 45  AMI vuông cân tại A do đó:

2

R

AM AI 

Chứng minh tương tự: BNI vuông cân tại B nên 3

2

BN BI  R

OMN ABNM OMA ONB

Vậy S OMN R2

Câu VI (0,5 điểm) Cho hai số a b, thỏa mãn a b 1 và a0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2

2

20

4 4

a b

a



Lời giải Cách 1:

Ta có: 20 2 2

4 4

a b

a



4

a

  

4

a a a

 

1 11

4 4

a

a

   2 1 11 15

a a

Vậy min 15

4

T  Dấu bằng xảy ra khi 1

2

a b 

Cách 2:

Theo bài ra ta có: a b    1 b 1 a

TH1: 1    thì: a 0 a 1 2  

2

20

4 4

a

  

4 4

a a

b a

 

4

a a a

 



19 1 19

4 4a 4

TH2: 1  thì a 0 b 1 a 2  2

1

  

Do đó: 20 2 1  2

4 1 4

a

 

4 4

a

4 3

4 4

a

  2 2 12 15

2 1

a a

a



    154  T 154

So sánh cả hai trường hợp thì ta có Tmin  Dấu bằng xảy ra khi 6 1

2

a b 

Vậy Tmin  Dấu bằng xảy ra khi 6 1

2

a b 