Đại số lớp 9 kỳ 2 hoàn chỉnh

Kiến thức cần nhớ Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế • Bước 1: Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thế vào phương trình còn

PHẦN ĐẠI SỐ Chương III

HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Chủ đề 1: Công thức nghiệm của phương trình ax+by=c.

I. Kiến thức cần nhớ

Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn

ax by c + =

luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm của phương

trình được biểu diễn bởi đường thẳng ( ) d : a x by c + =

a) Viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn tập nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.

b) Tìm nghiệm của phương trình

Giải

a) Ta có

3x 1 3x 2y 1 y

2

−

− = ⇔ =

hoặc2y 1

3 y

+ Thay x = -2; y = 0 vào phương trình ta có: -2a = c (2)

Thay (2) vào (1) ta được a 3b − = − ⇔ 2a 3a 3b = ⇒ = a b

Khi đó phương trình códạng ax + ay = -2a ⇔

Để phương trình có nghiệm nguyên thì

Chủ đề 2: Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

A. Kiến thức cần nhớ

1. Khái niệm về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng

( ) ( )



, trong đó a, b, c, a’, b’,c’ là các số cho trước, x và y gọi là ẩn số

Nếu hai phương trình (1) và (2) có nghiệm chung ( x ;y0 0)

thì ( x ;y0 0)

gọi là nghiệm của

hệ phương trình Hệ phương trình vô nghiệm nếu hai phương trình (1) và (2) không có nghiệmchung

Giải hệ phương trình là tìm tất cả các nghiệm của nó

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm (có thể cùng vônghiệm)

2. Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

3 y 1 4

b) Hệ có vô số nghiệm do

4 2 2 2

1 1 2

Vậy m=-3 thì hệ có vô số nghiệm.

Bài 4 Cho hai hệ phương trình

x 2y 2 0x 5y 10

Thay x=6; y=-2 vào hệ ta được: 6m-14=4⇔6m 18= ⇔ =m 3

Vậy m=3 thì hai hệ phương trình tương đương

Bài 5 Cho hệ phương trình

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( x ; y0 0)

và điểm biểu diễn I x ; y ( 0 0)

thuộctrục hoành

⇒ =Vậy với m=1/5 thì hệ có nghiệm duy nhất thuộc trục hoành

Bài 6 Cho phương trình: 3x – 4y = 5.

Hãy viết thêm một phương trình bậc nhất hai ẩn để có được một hệ phương trình:

Chủ đề 3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I. Kiến thức cần nhớ

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

• Bước 1: Từ một phương trình của hệ phương trình đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia

rồi thế vào phương trình còn lại để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn)

• Bước 2: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình đã cho Chú ý: + Để có lời giải đơn giản, ta thường chọn các phương trình có hệ số không quá

lớn (bằng 1 hoặc -1) và biểu diễn ẩn có hệ số nhỏ hơn qua ẩn còn lại

+ Thay một phương trình trong hệ bởi phương trình một ẩn vừa tìm ta được hệ

phương trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho

Hệ phương trình có vô số nghiệm (x; y) thỏa mãn

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (4; -1)

Bài 2 Cho hàm số y = ax + b Xác định a, b để đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(-1; 2) và

9 3 1

b a 2

2 9

a, Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y=ax+b

Vì đường thẳng đi qua A(-1; 1) nên ta có: 1=-a+b (1)

Vì đường thẳng đi qua B(2;4) nên ta có: 4=2a+b (2)

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là y=3x+4

b, Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y=ax+b

Vì đường thẳng đi qua A(0;-1) nên ta có: -1=0.a+b ⇔

b=-1

Vì đường thẳng đi qua B(1;0) nên ta có: 0=a+b (1)

Thay b=-1 vào (1) ta được a=1

Vậy đường thẳng cần tìm là y=x-1

Bài 4 Cho hệ phương trình:

a) Giải hệ phương trình với m = -2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nguyên

m 1

+

= +

Dạng 2: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

• Bước 1: Nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ

số của một ẩn số nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau

• Bước 2: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một

phương trình mới (chỉ còn một ẩn)

• Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ phương trình đã

cho

Chú ý: Thay một phương trình trong hệ bởi phương trình một ẩn vừa tìm ta được hệ phương

trình mới tương đương với hệ phương trình đã cho

a) Giải hệ phương trình với m = -3.

b) Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn 2x – 3y = 1

Giải

a) Với m = -3 hệ phương trình có dạng:

2x y 1 4x 2y 2 x 4 3x 2y 2 3x 2y 2 y 7

4x 2y 2 1 2x y 1

m 4

= + , thay vào (1) ta có

m 4 y

m 4

− +

= +

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

4 x

m 4

m 4 y

Trừ từng vế của (1) cho (2) ta có phương trình

Nhận xét: Có thể biến đổi về dạng

( ) ( )

2

19 1

y17

5m 217y 5m 2 y

Suy ra không tồn tại m

Vậy không có giá trị m nào để hệ có nghiệm x>0; y>0

Chủ đề 5 GIẢI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

A, Kiến thức cần nhớ

Trình tự các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

• Bước 1: Lập hệ phương trình.

+ Biểu diễn hai đại lượng phù hợp bằng ẩn số x và y Đặt đơn vị và điều kiện của ẩn.

+ Biểu thị các đại lượng chưa biết qua ẩn

+ Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng và thành lập hệ hai ẩn từcác phương trình vừa tìm

• Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.

• Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện của bài toán và nêu kết luận của

bài toán

B, Bài tập

Bài 1 Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34m Nếu tăng chiều dài thêm 3m và tăng

chiều rộng thêm 2m thì diện tích tăng thêm

2

45m Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnhvườn

Giải

Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn là x và y (m, x > 0, y > 0)

Theo đề bài ta có:

Chu vi hình chữ nhật là: 2(x + y) = 34 (1)

Hình chữ nhật mới có chiều dài (y + 3)m, chiều rộng (x +2)m nên có diện tích là (x + 2)(y +

3) Do hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm

2

45m nên ta có phương trình:

Bài 2 Tìm số có hai chữ số, biết rằng nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được một số lớn hơn

số đã cho là 72 và tổng của số mới và số đã cho là 110

Bài 3 Hai thị xã A và B cách nhau 90km Một chiếc ôtô khởi hành từ A và một xe máy khởi

hành từ B cùng mộ lúc ngược chiều nhau Sau khi gặp nhau ôtô chạy thêm 30 phút nữa thì đến

B, còn xe máy chạy thêm 2 giờ nữa mới đến A Tìm vận tốc của mỗi xe

Gọi vận tốc của ôtô và xe máy lần lượt là x và y (km/h, x > 0, y > 0)

Giả sử hai xe gặp nhau tại C Do ôtô đi hết quãng đường BC trong 30 phút (= 0,5h) và xemáy đi hết quãng đường CA trong 2 giờ nên ta có:

Quãng đường AC dài 2y (km), quãng đường BC dài 0,5x (km)

Thời gian ôtô đi hết quãng đường AC là

2y x (km/h)

Thời gian xe máy đi trên quãng đường BC là

0,5x y (km/h)

Do tổng quãng đường AB dài 90km và thời gian hai xe từ lúc xuất phát tới C bằng nhau nên

ta có hệ phương trình:

( ) ( )

0,5x 2y 90 0,5x 2y 90 1 0,5x 2y

Vận tốc của ôtô là 60km/h và vận tốc của xe máy là 30km/h

Bài 4 Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn nước thì sau 12 giờ bể đầy Nếu hai vòi cùng

chảy trong 8 giờ thì khóa vòi 1, vòi 2 tiếp tục chảy với năng suất gấp đôi thì sau đó 3 giờ 30 phútnữa mới đầy bể Hỏi nếu mỗi vòi chảy riêng với năng suất bình thường thì sau bao lâu bể đầy?

và

1 y (phần bể), năng suất của cả hai vòi là1

= giờ sau đó vòi 2 chảyriêng đầy bể với năng suất gấp đôi năng suất cũ nên ta có phương trình:

Vậy, vòi 1 và vòi 2 chảy riêng thì lần lượt đầy bể trong 28h và 21h.

Bài 5 Một xe máy đi từ A đến B trong một thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm

14km/h thì đến B sớn hơn dự định 2 giờ Nếu giảm vận tốc đi 4km/h thì đến B muộn hơn 1 giờ.Tính vận tốc và thời gian dự định của người đó

Giải:

Gọi vận tốc dự định là x(km/h)(x>0)

Thời gian dự định là y (km/h) (y>0)

Khi đó quãng đường là xy( km/h)

Nếu vận tốc tăng thêm 14km/h thì đến B sớm hơn dự định 2giờ nên ta có phương trình(x+14)(y-2)=xy (1)

Nếu vận tốc giảm đi 4km/h thì đến B muộn hơn 1 giờ nên ta có phương trình (x-4)(y+1)=xy(2)

Từ (1) và (2) ta có hệ

(x 14)(y 2) xy xy 2x 14y 28 xy(x 4)(y 1) xy xy x 4y 4 xy

Bài tập tương tự:

Bài 1 Một ca-nô chạy trên một khúc sông gồm đoạn xuôi dòng 108km và đoạn ngược dòng

63km trong thời gian 7 giờ Một ca-nô khác cùng chạy trên quãng sông đó gồm đoạn xuôi dòng81km và ngược dòng 84km trong cùng thời gian Biết rằng vận tốc riêng của hai ca-nô như nhau

và vận tốc của dòng nước trong mọi thời điểm như nhau Tính vận tôc của dòng nước và vận tốcriêng của ca-nô

Hướng dẫn giải:

Gọi vận tốc riêng của hai ca-nô và vận tốc dòng nước lần lượt là x và y (km/h ; x > y > 0).Khi đó vận tốc của ca-nô khi xuôi dòng là x + y, khi ngược dòng là x – y (km/h)

Ca-nô 1 xuôi dòng 108km, ngược dòng 62km trong 7 giờ

 (thỏa mãn điều kiện)

Bài 2 Từ hai địa điểm A và B cách nhau 650km, hai ôtô đi ngược chiều để gặp nhau Nếu

cùng khởi hành thì hai xe gặp nhau sau 10 giờ Trong thực tế, ôtô thứ hai khởi hành sớm hơn ôtôthứ nhất 4 giờ 20 phút nên hai xe gặp nhau sau khi ôtô thứ nhất khởi hành được 8 giờ Tính vậntốc của mỗi ôtô

Hướng dẫn giải:

Gọi vận tốc của hai ôtô lần lượt là x và y (km/h; x, y > 0)

Sao 10 giờ hai xe gặp nhau ⇒ 10x + 10y = 650.

Trong thực tế, ôtô thứ hai đi sớm hơn ôtô thứ nhất

1 4h20 4 (h)

3

Giải hệ

10x 10y 650

1 8x 12 y 650

 (thỏa mãn điều kiện).

Bài 3 Mỗi lớp học sinh tham gia lao động công ích Nếu chia 9 học sinh 1 tổ thì thừa 1 học

sinh, nếu chia 10 học sinh một tổ thì thiếu 7 học sinh Hỏi số học sinh của lớp và số tổ lao động

Hướng dẫn giải:

Gọi số tổ lao động là x; số học sinh tham gia lao động là y ( x ∈ ¥ ;x y < ) .

Theo đề bài ta có hệ phương trình

 (thỏa mãn điều kiện).

Bài 4 Một vòi nước A chảy vào bể và vòi nước B tháo nước trong bể Nếu bể cạn và cùng

lúc mở cả hai vòi thì trong 5 giờ chảy được

2 7

bể Nếu mở vòi A trong 3 giờ, sau đó vòi A dừng

hoạt động, vòi B chảy trong 2 giờ thì lượng nước trong bể còn lại

11 35 phần bể Hỏi nếu mỗi vòichảy riêng thì vòi A chảy đầy bể (đang cạn) và vòi B chảy cạn bể (đang đầy) trong bao lâu?

Hướng dẫn giải:

Gọi năng suất của vòi A là x và của vòi B là y (phần bể/h;x 0, y 0) > >

Vòi A và vòi B cùng chảy trong 5 giờ được

2

5 phần bể ⇒

2 5x 5y

7

− =

.Vòi A chảy trong 3 giờ được 3x phần bể, vòi B tháo nước trong 2 giờ hết 2x phần bể ⇒

Ta có hệ phương trình

2 5x 5y

7 11 3x 2y

Vậy, vòi A chảy riêng đầy bể trong 5 giờ, vòi B tháo cạn nước trong bể đang đầy hết 7 giờ

Bài 5 Một chiếc thuyền xuôi, ngược trên khúc sông dài 40km hết 4 giờ 30 phút Cho biết

thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km Hãy tính vận tốc củadòng nước

Hướng dẫn giải:

Gọi vận tốc riêng của thuyền là x, vận tốc dòng nước là y (km/h; 0 y x) < <

Khi xuôi dòng 40km thuyền có vận tốc là x + y (km/h) và thời gian 40 ( ) h

Bài 6 Một phòng họp 360 ghế ngồi được xếp thành từng hàng và số ghế ở mỗi hàng đều

bằng nhau Nếu số hàng tăng thêm 1 và số ở mỗi hàng ghế cũng tăng thêm 1 thì trong phòng có

400 ghế Hỏi ban đầu có bao nhiêu hàng, mỗi hàng có bao nhiêu ghế?

Hướng dẫn giải:

Gọi số hàng ghế và số ghế mỗi hàng ban đầu lần lượt là x và y (x, y∈¥*)

Bài 1 Xác định các hệ số của a, b, c của phương trình ax + by = c biết rằng đường thẳng

biểu diễn nghiệm của nó là đường phân giác của góc phần tư thứ nhất

a) a = -1; b = -1và c = 1 c) a = 1; b = 0 và c = -1

b) a = 1; b = -1 và c = 0 d) a = 0; b = -1 và c = 1

Đáp án: B

Bài 2 Cho hệ phương trình sau

x 4y 6 3x 12y 18





Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hệ phương trình vô nghiệm

b) Hệ phương trình vô số nghiệm

c) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

d) Hệ phương trình có nghiệm nguyên

Đáp án: A

Bài 3 Tìm câu trả lời đúng trong các câu trả lời sau đây:

a) Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì tương đương với nhau

b) Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm thì tương đương với nhau

Bài 4 Xét tính đúng, sai của các khẳng định sau:

a, Cặp số (1; 1) là nghiệm của hệ phương trình

x y 2 2x 3y 5

1

; 2 2

a) Nhân hai vế của phương trình (1) với 2 rồi cộng với phương trình (2)

b) Nhân hai vế của phương trình (2) với -3 rồi cộng với phương trình (1)

14 x

−

=

−(a>0) Khi đó

14 x 12x 1 a− =

−

Khi đó phương trình

2

1(2) a 2 a 2a 1 0

2x 1 1 2x 1 1 2x 1 14 x x 5

14 x 14 x

− = ⇔ − = ⇒ − = − ⇔ =

Thay x=5 vào y=12-x ta được y=12-5=7

Thử x=5; y=7 vào hệ đã cho ta thấy thỏa mãn

Vậy nghiệm của hệ (x;y)=(5;7)

x y

1 1 b

a) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm với mọi a.

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x > 0; y > 0

2 2

2 2

2 2

Bài 3 Giải các bài toán sau bằng cách lập hệ phương trình:

a) Ba ca-nô cùng dời bến sông A một lúc để đến B Ca-nô thứ hai mỗi giờ đi kém ca-nô thứ nhất là3km nhưng hơn ca-nô thứ ba là 3km nên đến B sau ca-nô thứ nhất 2 giờ và trước ca-nô thứ ba là

3 giờ Tính chiều dài quãng sông AB

Hướng dẫn giải:

a) Gọi vận tốc và thời gian của ca-nô 2 lần lượt là x (km/h) và y (h) (x, y 0) > .

Khi đó, trên quãng đường AB:

Ca-nô 1 có vận tốc x + 3 (km/h) và thời gian đi là y – 2 (h)

Ca-nô 3 có vận tốc x – 3 (km/h) và thời gian đi là y + 3 (h)

Ta có hệ phương trình:

( ) ( ) ( ) ( )

Chiều dài quãng sông AB là 180 km

b) Nếu hai tổ học sinh cùng làm vệ sinh một sân trường thì sau 1 giờ 30 phút thì xong Nếu để tổthứ nhất làm trong 20 phút và tổ thứ hai làm trong 15 phút thì được 1/5 sân trường Hỏi nếu mỗi

tổ làm riêng thì phải bao lâu mới xong?

Hướng dẫn giải:

c) Một đoàn học sinh tổ chức đi tham quan bằng ôtô Nếu mỗi xe chở 11 học sinh thì còn thừa 1học sinh Nếu bớt đi 1 ôtô thì có thể phân phối đều học sinh trên các ôtô còn lại Hỏi lúc đầu cóbao nhiêu học sinh đi tham quan, biết mỗi ôtô chỉ chở không quá 32 học sinh

Hướng dẫn giải:

b) Gọi số học sinh đi tham quan ban đầu là x ( x ∈ ¥ * ) , số xe dự định ban đầu là y ( y ∈ ¥ * ).

Theo bài ta có hệ phương trình:

( ) ( ) ( )

+ y – 1 = -23 ⇒ y = -22 (loại do điều kiện y ∈ ¥ *).

ĐỀ KIỂM TRA ĐẠI SỐ CHƯƠNG III-LỚP 9

(Thời gian làm bài: 45 phút)

ĐỀ I

A. Trắc nghiệm khách quan

Hãy chọn đáp án đúng trong các đáp án ở mỗi bài toán sau

Bài 1 Phương trình bậc nhất hai ẩn: 3x – 2y = 4 có một nghiệm là:

A (0; -1) B (2; 1) C (2; -1)

Bài 2 Hệ phương trình

3x 2y 4 2x 3y 1

A Hai hệ phương trình tương đương

B Hai hệ phương trình không tương đương

4 y

C x + 0y = c D x + y = c

Bài 6 Cho hai đường thẳng (d): 3x – 2y = 26 và (d’): 2x + 6y + 1 =0 Hai đường thẳng (d)

và (d’) cắt nhau tại một điểm có:

a) Hoành độ nguyên

b) Tung độ nguyên

c) Cả hai câu trên đều đúng

d) Cả hai câu trên đề sai

Bài 2 Nếu hai tổ học sinh cùng làm vệ sinh một sân trường thì sau 1 giờ 30 phút thì xong.

Nếu để tổ thứ nhất làm trong 20 phút và tổ thứ hai làm trong 15 phút thì được 1/5 sân trường.Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì phải bao lâu mới xong?

Tự luận: Bài 1: 4 điểm Bài 2: 4 điểm

Đáp án đề 1 A.Bài tập trắc nghiệm

Gọi thời gian tổ 1 làm một mình xong công việc là x (giờ)(x>0)

Thời gian tổ 2 làm một mình xong công việc là y (giờ) (y>0)

Coi toàn bộ công việc như một đơn vị công việc

Trong một giờ tổ 1 làm được

1 x(phần công việc), tổ 2 làm được

1 y(phần công việc)

Vì cả hai tổ cùng làm vệ sinh thì sau 1 giờ 30 phút thì xong hay

3 2giờ nên trong 1 giờ cả

hai tổ làm được

2 3giờ nên ta có phương trình:

1 1 2

x + = y 3

(1)Nếu tổ 1 làm trong 20 phút và tổ thứ 2 làm trong 15 phút thì được 1/5 sân trường nên ta có

phương trình:

1 1 1 3x + 4y = 5

2 15 y

Tổ 2 làm một mình thì sau 15/4 giờ thì xong việc

ĐỀ II

A. Trắc nghiệm khách quan

Bài 1 Cho hệ phương trình

x y 1 2x 2y 5

Bài 3.

Hai hệ phương trình sau

( ) I 2x 3y 4 2x 3y 5

A. Hai hệ phương trình tương đương

B. Hai hệ phương trình không tương đương

Bài 4.

Cho hệ phương trình

( ) I x 1 y 1 2x y 2 3x 2y 1

A. (I) là hệ phương trình bâc nhất hai ẩn

B. (I) không phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 5 Cho hệ phương trình

x y 4 2x 2y m

+ =





Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) Hệ phương trình có nghiệm với mọi m

b) Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi m 8 ≠

c) Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi m > 4

d) Hệ phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m = 8

Bài 6 Biết hai đường thẳng 4x – 2y = m và x + 3y = m – 1 cắt nhau tại một điểm trên trục

tung Vậy điểm đó có tung độ bằng: