Ôn Giải tích Trang 14 Ôn Giải tích (Các bài toán kinh tế) Câu 1 Cho hàm chi phí , 2 2 1 2 1 1 2 2 2C Q Q Q QQ Q với , 1 2 Q Q lần lượt là sản lượng của sản phẩm 1 và 2 Khi đó, chi phí biên theo 1 Q t.
Trang 1Ôn Giải tích (Các bài toán kinh tế)
C Q Q Q QQ Q với Q Q lần lượt là sản lượng của sản phẩm 1 và 1, 2
2 Khi đó, chi phí biên theo Q tại 1 Q Q1, 2 10 20, là
Câu 2: Cho hàm sản lượng ,
6
Q L K L K với L là lượng lao động, K là lượng tiền vốn Khi đó, sản
A 3
1
Câu 3: Cho hàm ,
3
Q L K L K Khi đó, độ co dãn của Q theo L tại L K; 5 20000; là
A 1
1
1
1 36 Câu 4: Cho hàm cung của một loại hàng Q P S( ) 5 2P 0 5, ,P : đơn giá Khi đó, độ co dãn của Q tại S
5
S
Q là
A 2
5
1
Câu 5: Cho hàm nhu cầu của một loại hàng là Q P D( ) 100 2P 0 5, ,P : đơn giá Khi đó, độ co dãn của
D
Q tại P 10 là
8 Câu 6: Cho ,
5
Q L K L K Độ co giãn của Q theo L tại L 4 là
A
/
1 2
2
L
B
/
1 2
2
L
C / 1 2 D Cả ba câu trên đều sai Câu 7: Cho hảm nhu cầu của một loại hàng là Q P D( ) 100 2P P, : đơn giá Khi đó, tại P 10
A Nếu giá tăng 1% thì hàm cầu tăng 4% B Nếu giá giảm 2% thì hàm cầu tăng 4 %
C Nếu giá giảm 4% thì hàm cầu tăng 2% D Nếu giá tăng 4% thì hàm cầu giảm 1%
Câu 8: Cho hàm nhu cầu của một loại hàng A phụ thuộc vào giá của loại hàng A và B là P P như sau: 1, 2
,
A
D
Q P P P P Khi P1 25,P2 20, ta có
A Nếu P thay đổi 11%,1 P cố định thì 2
A
D
Q tăng 25% B Nếu P tăng 11%, 1 P cố định thì 2
A
D
Q giảm 25%
C Nếu P giảm 25%, 1 P cố định thì 2
A
D
Q tăng 11% D Nếu P tăng 25%, 1 P cố định thì 2
A
D
Q giảm 11%
Câu 9: Cho hàm cung của một loại hàng A phụ thuộc vào giá của loại hàng A và B là P P như sau: 1, 2
,
A
S
Q P P P P Khi P1 100,P2 50, ta có
A Nếu P thay đổi 3%, 1 P cố định thì 2
A
S
A
S
C Nếu
A
S
A
S
Q tăng 6%, P cố định thì 2 P giảm 2% 2
Câu 10: Hàm số f(x,y) = – 2x2 – 2y3 + 12xy có hai điểm dừng là A(0,0) và B(18,6) Chọn kết luận đúng
A f không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực đại địa phương tại B
B f đạt cực tiểu địa phương tại A, đạt cực đại địa phương tại B
C f không đạt cực trị địa phương tại A, đạt cực tiểu địa phương tại B
D f đạt cực đại địa phương tại A, đạt cực tiểu địa phương tại B
Trang 2Câu 11: Câu 13: Cho hàm chi phí C x y( , ) 6x 18y với ,x y là sản lượng của loại hàng 1 và 2 ( , ) C x y nhỏ
nhất tại x y o, o với điều kiện 3xy 10 thì
A x o 3y o B x y o o 3 C y o 3x o D Cả 3 câu trên dều sai
Câu 12: Cho hàm lợi ích của hai loại sản phẩm A và B là U x y với , x y, là lượng sản phẩm của A và B Biết
phẩm nầy Để lợi ích đạt lớn nhất thì
A U x 2U y B U y 2U x C U U x y 2 D U x 4U y
Câu 13: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm và đơn giá của sản phẩm 1 và 2 lần lượt là 400 , 500 Biết hàm
C Q Q Q QQ Q với Q Q lần lượt là sản lượng của sản phẩm 1 và 2 Để lợi nhuận 1, 2 của xí nghiệp đạt lớn nhất thì
A 1
2
150
100
Q
1 2
200 100
Q
1 2
100 200
Q
1 2
100 150
Q Q
Câu 14: Một xí nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm nhưng tiêu thụ trên hai thỉ trường tách biệt Biết
1 1 300 1
D
2 2 400 2
D
,
để xí nghiệp có lợi nhuận tối đa thì lượng hàng phân phối trên thị trường 1 và 2 là Q Q sẽ là 1, 2
A 1
2
150
100
Q
1 2
100 150
Q
1 2
100 200
Q
1 2
200 100
Q Q
Câu 15: Cho hàm lợi nhuận ( , ) ,
L K L K L K Trong đó, L là lượng lao động, K là lượng vốn
Để lợi nhuận lớn nhất thì
100
L
100 1000
L
100 10000
L
200 10000
L K
Câu 16: Gọi C và 1 C lần lượt là số tiền tiêu dùng tại cuối thời kỳ thứ nhất và thứ hai Giả sử tổng thu nhập tại 2
cuối thời kỳ thứ nhất là I 1000 (đơn vị tiền); lãi suất tại cuối thời kỳ thứ nhất là r 0 01, Tìm C C sao 1, 2
C
A C1 = 500, C2 = 505 B C1 = 505, C2 = 500 C C1 = 1000, C2 = 1020 D C1 = 1020, C2 = 1000
Câu 17: Cho hàm lợi ích U x y( , ) (x 1)(y 2) 2 với x y, là sản lượng của sản phẩm 1 và 2 Biết đơn giá
Để lợi ích đạt lớn nhất thì
A 10
20
x
20 10
x
30 20
x
20 40
x y
Câu 18: Cho hàm chi phí C L K( , ) L 0 01, K và hàm sản xuất Q L K, LK Trong đó, L là lượng lao
động, K là lượng vốn Để chi phí nhỏ nhất khi xí nghiệp làm ra 1000 đơn vị sản phẩm thì
A L 100K B K 100L C L 10K D K 10L
Câu 19: Cho hàm f(x,y) = x.y và hàm g(x,y) = x3 + y3 2 Chọn phát biểu đúng
A Hàm phụ Lagrange L(x,y, ) = f(x,y) + g(x,y) có 2 điểm dừng
B Hàm phụ Lagrange L(x,y, ) = f(x,y) + g(x,y) có 3 điểm dừng
C Hàm phụ Lagrange L(x,y, ) = f(x,y) + g(x,y) có 4 điểm dừng
D Hàm phụ Lagrange L(x,y, ) = f(x,y) + g(x,y) có 1 điểm dừng
Câu 20: Cho ( , )f x y x4 9y4 2x2 2y2 (x 0,y 0) thì
Trang 3A f không có điểm dừng B f có điểm dừng nhưng không đạt cực trị
C f đạt cực tiểu D f đạt cực đại
Câu 21: Cho hàm lợi ích U x y( , ) có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục trên R2 Giả sử ta có điều kiện :
2x + 3y = T (1) với T là các hằng số dương cho trước Điều kiện cần để U đạt cực đại tại (x, y) là
Bài 22 Một xí nghiệp sử dụng hai loại nguyên liệu đầu vào A và B để sản xuất một loại hàng hóa Giả sử sản
Q(x, y) = 2xy + x Chi phí
C(x,y) thấp nhất thì ta có
Bài 23 Một loại sản phẩm được tạo ra từ 2 loại nguyên liệu A và B Giá thành của 2 loại nguyên liệu này là
, P
1
Q MP
x , 2
Q MP
y
Khi sản lượng của loại sản phẩm này đạt cực đại thì :
C MP1 0 003 ; MP2 0 002 D Cả 3 câu trên đều sai
Bài 24 Một xí nghiệp sản xuất 2 loại sản phẩm và bán trên thị trường với giá P1 170,P2 160 Hàm chi phí của xí nghiệp là :
C Q QQ Q
Khi lợi nhuận của xí nghiệp đạt cực đại thì :
A
1
17
16
1
100 91
2
80 91
2
17 16
CQ
Trong đó,
1
CQ và
2
Tự luận
Câu 25: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm và đơn giá của sản phẩm 1 và 2 lần lượt là 400 , 500 Biết hàm
C Q Q Q QQ Q với Q Q lần lượt là sản lượng của sản phẩm 1 và 2 Tìm mức sản 1, 2 lượng của hai loại sản phẩm để xí nghiệp đạt lợi nhuận tối đa
Câu 26: Cho hàm lợi ích đối với hai loại sản phẩm U x y( , ) lnx lny, trong đó x y, lần lượt là lượng hàng
Câu 27: Gọi C và 1 C lần lượt là số tiền tiêu dùng tại cuối thời kỳ thứ nhất và thứ hai Giả sử tổng thu nhập tại 2
cuối thời kỳ thứ nhất là I 2000 (đơn vị tiền); lãi suất tại cuối thời kỳ thứ nhất là r 0 02, Tìm C C sao 1, 2
C
Câu 28: Cho hàm lợi nhuận ( , ) ,
L K L K L K Trong đó, L là lượng lao động, K là lượng vốn
Tìm L, K để lợi nhuận lớn nhất
Câu 29: Cho hàm chi phí C L K( , ) 400L 0 01, K và hàm sản xuất ,
Q L K L K Trong đó, L là lượng
Câu 30 : Cho hàm lợi nhuận PQ C tQ, trong đó Q là sản lượng và
- Đơn giá P = 3000 - Q
Trang 4- t là mức thuế trên một đơn vị sản phẩm
Giả sử lớn nhất tại Q(t) Định t để T = t.Q(t) đạt giá trị lớn nhất
-1) Cực trị không điều kiện :
Cách tìm cực trị của z f x y( , )
Bước 1: Tìm điểm dừng (điều kiện cần)
0 0
x
o o o y
f
x x y
Bước 2: Lập ma trận Hesse (điều kiện đủ)
xx xy
yx yy
f f H
( )
1 2
0 0
o o
H x
( )
1 2
0 0
o o
H x
2) Cực trị có điều kiện :
Cách tìm cực trị của z f x y với điều kiện ( , )( , ) g x y 0
Bước 1: Lập hàm Lagrange
Bước 2: Tìm điểm dừng (điều kiện cần)
0 0 0
x
L
L
: điểm dừng (không duy nhất)
Bước 2: Lập ma trận Hesse biên (bao) (điều kiện đủ)
xx xy x
yx yy y
x y
x
L L H
L L và H2 H
1 2
0 0
o o
H M
1 2
0 0
o o
H M