toán cao cấp a2 GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP A2 HUFI

Giải các hệ phương trình tuyến tính sau đây:... Tính theo ma trân như sau: 620610570 trong đó thành phần thứ k cho số đơn vị Rk cần thiết cho việc sản xuất sản phẩm trung gian.. Tiếp the

HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP A2

CHƯƠNG 1

MA TRẬN – ĐỊNH THỨC

Có thể nhân 2 ma trận theo định nghĩa sau

Định nghĩa 1.1.8 Cho A ( )a ij m n và B ( )b ij n p. Tích của hai ma trậnA và B

là một ma trận C ( )c ij m p, kí hiệu AB, được xác định bởi

j j

nj

b b

1 2 3 4

05

1.5 Cho A là ma trận vuông cấp 100 mà phần tử ở dòng thứ i là Tìm phần tử ở dòng 5 cột 3 của ma trận A2.

1.6 Cho A là ma trận vuông cấp 10, trong đó phần tử ở dòng thứ i là 2 i 1 Tìm phần

Chú ý : Để tính định thức cấp 3 ta có thể dùng quy tắc Sarrus như sau:

Viết cột 1 và cột 2 vào tiếp sau cột 3 của định thức Khi đó, A bằng tổng các tích trên các đường chéo chính trừ đi tổng các tích trên các đường chéo phụ

Suy ra ma trận khả nghịch khi

1, 2

m 

CHƯƠNG 2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 2.1 Giải các hệ phương trình tuyến tính sau đây:

1 1

1 2

4 11

3

, 5

BÀI TẬP CHƯƠNG 3 KHÔNG GIAN VEC TƠ 3.1 Trong tập V {( , , )x y z 3:x y z 0} Xét phép cộng và nhân như sau:

a) Chứng minh B, E là các cơ sở của 3.

b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E. Cho u (1, 2, 3, ) tìm [ ] ,u [ ] u E

c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang B. Cho

3[ ] 2

a) Chứng minh E { ,v v v1 2, 3} là cơ sở của 3

b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang B.

3.11 Cho V P x2[ ] là không gian vectơ trên . Chứng minh rằng

c) Cho

1[ ( )] 3

4 2

c) W1 W2 có phải là không gian con của 4 không?

d) Tìm một cơ sở và số chiều của W W W1, 2, 1 W2.

3.14 Trực chuẩn hóa Gram – Schmidt hệ các vectơ sau trong 3

a) u1 (1, 0, 1),u2 (1, 1, 0),u3 (1,1,1)

b) u1 (1, 0,1),u2 (1, 1, 0),u3 (1,1,1)

c) u1 (1, 0, 2),u2 (0,1;1),u3 (1,1, 1)

BÀI TẬP CHƯƠNG 4 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

4.1 Các ánh xạ nào sau đây từ 2 là ánh xạ tuyến tính? ( 2, là các không gian vectơ trên ).

b) Tìm ma trận của f trong cơ sở {1, , ,x x x2 3}.

4.9 Trong không gian P x3[ ], cho ánh xạ f xác định bởi f p x[ ( )] p x( ).

a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính

b) Tìm ma trận của f trong cơ sở {1, , ,x x x2 3}.

4.10 Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 3 xác định bởi

f x y z x y z x y z x y z

a) Tìm cơ sở và số chiều của ker f

b) Tìm cơ sở và số chiều của Im f

4.11 Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 3 xác định bởi

(1;1;1) (1;2;1),

f f(1;1;2) (2;1; 1), f(1;2;1) (5;4; 1).

a) Xác định ánh xạ tuyến tính

b) Tìm cơ sở và số chiều của ker f

c) Tìm cơ sở và số chiều của Im f

4.12 Cho V không gian vectơ với hai cơ sở E { , },e e1 2 E { ,e e1 2 }, trong đó

b) Ánh xạ f : 3 3, xác định bởi f x y z( , , ) (y z x, z x, y) là một đẳng cấu

-

HƯỚNG DẪN ĐAP SỐ CHƯƠNG 1

1.9 a) 3 b) 3 c) 4 d) 5

e) m 1 hạng ma trận bằng 1, m 1 hạng ma trận bằng 2, m 1 hạng ma trận bằng 3

f) m 3 hạng ma trận bằng 2, m 3 hạng ma trận bằng 3

1.10 a) m 1 hạng ma trận bằng 1, m 1 hạng ma trận bằng 2, m 1 hạng ma trận bằng 3

Tương tự, chúng ta cần:

3 · 80 + 2 · 60 + 1 · 100 + 3 · 50 = 610 (đơn vị nguyên liệu thô R2)

và

1 + 80 + 4 · 60 + 0 · 100 + 5 · 50 = 570 (đơn vị nguyên liệu thô R3)

Tính theo ma trân như sau:

620610570

trong đó thành phần thứ k cho số đơn vị Rk cần thiết cho việc sản xuất sản phẩm trung gian

Tiếp theo, chúng ta tính toán cần bao nhiêu đơn vị của mỗi nguyên liệu để sản xuất các sản phẩm cuối cùng Kể từ khi các sản phẩm trung gian được sử dụng để sản xuất cuối cùng sản phẩm (xem Bảng 2), chúng tôi thấy rằng để sản xuất một đơn vị sản phẩm cuối cùng F1, khối lượng yêu cầu của nguyên liệu R1 là:

R3 33 8

Do đó, để sản xuất các sản phẩm cuối cùng, có

12 · 70 + 22 · 120 = 3480 (đơn vị nguyên liệu thô R1),

24 · 70 + 16 · 120 = 3 600 (đơn vị nguyên liệu thô R2)

CHƯƠNG 2 HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ 2.1

c) m 1: hệ VN; m 1: hệ có VSN

d) m 10 : hệ có một nghiệm duy nhất 1

0;0;

2 ; m 10 : VSN e) m 0 và m 5: hệ có một nghiệm duy nhất;

m 0 hoặc m 5: hệ VN

f) Hệ luôn có một nghiệm duy nhất với mọi m

2.5 Không tồn tại m để hệ vô nghiệm

2.6 Với m 1 thì hệ có VSN

2.7 m 5 và m 2 thì hệ có nghiệm duy nhất

2.8 Với m 1 thì hệ có nghiệm

CHƯƠNG 3 KHÔNG GIAN VECTƠ

3.1

a) Tập V với phép cộng và phép nhân như trên là một không gian vectơ trên

b) Tập V là không gian con của 3vì V 3 và là một không gian vectơ (theo câu a)

3.4 Vectơ u thuộc W có nghĩa u là tổ hợp tuyến tính của u u u1, 2, 3 Yêu cầu của bài

toán tương đương với hỏi u có phải là tổ hợp tuyến tính của u u u1, 2, 3 hay không ?

Vì x, y, z độc lập tuyến tính nên ta được

b) r (1, 2, 6),(6, 3, 0) 2 số vectơ trong hệ nên M độc lập tuyến tính

c) M phụ thuộc tuyến tính vì số vectơ của M là 4 trong khi đó hạng của M không quá

nên W3 là tập tất cả các nghiệm của hệ Vậy W3 4 Để tìm cơ sở của W3 ta giải hệ này và tìm cơ sở của không gian nghiệm

a) Chứng minh B, E là các cơ sở của 3

b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang E. Cho u (1, 2, 3, ) tìm [ ] ,u [ ] u E

c) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ E sang B. Cho

3[ ] 2

1

v Tìm [ ] v E

c) Từ

321

3(1, 0,1) 2(1, 2, 2) (0, 1, 1) (1, 5, 2)

v

a) Vì không gian vec tơ 3, có số chiều bằng 3 và hệ vec tơ B, E có 3 vec tơ nên để chứng minh các hệ vec tơ này là cơ sở của R3 ta chứng minh chúng là hệ độc lập tuyến tính

nên hệ E độc lập tuyến tính nên nó là cơ sở của R3

b) Ma trrnạ chuyển từ B sang E: Ta phải tìm tọa độ cột của các vec tơ của hệ E đối với cơ sở B?

c) W1 W2 không phải là không gian con của 4 vì lấy

a) Tập V với phép cộng và phép nhân như trên là một không gian vectơ trên

b) Tập V là không gian con của 3vì V 3 và là một không gian vectơ (theo câu a)

3.4 Vectơ u thuộc W có nghĩa u là tổ hợp tuyến tính của u u u1, 2, 3 Yêu cầu của bài

toán tương đương với hỏi u có phải là tổ hợp tuyến tính của u u u1, 2, 3 hay không ?

b) r (1, 2, 6),(6, 3, 0) 2 số vectơ trong hệ nên M độc lập tuyến tính

c) M phụ thuộc tuyến tính vì số vectơ của M là 4 trong khi đó hạng của M không quá

3

3.9 c) Từ

321

3(1, 0,1) 2(1, 2, 2) (0, 1, 1) (1, 5, 2)

v

3.10 a) Ta có v1 u1 u2 u v3; 2 u1 3 ;u v3 3 u1 2u2 u3 Vì E v v v1, ,2 3độc lập tuyến tính (xem 3.5) nên là cơ sở của 3

4.1 Các ánh xạ nào sau đây từ 2 là ánh xạ tuyến tính? ( 2, là các không

gian vectơ trên ).

Cách giải: Để chứng minh một quy tắc f nào đó là ánh xạ tuyến tính từ không gian

vec tơ U vào không gian vec tơ V, ta phâỉ chứng minh:

i) Quy tắc f đó là một ánh xạ từ U sang V, tức là phải chứng minh mỗi x U có

1) Tìm nhân ker f : Giải hệ phương trình tuyến tinh f(x) = 0

2) Tìm ảnh Im f : Lấy 1 cơ sở của không gian vectơ U, nếu U  n , ta lấy cơ sở chính tắc  1, , ,2 n, i (0, ,1,0, 0),i 1,

+ Kerf là không gian con của R4 gồm các vectơ x = (x1, x2, x3, x4) là nghiệm của

Định lí 4.1.3 (xác định ánh xạ tuyến tính) Cho U là không gian vectơ n chiều trên

và { , , ,x x1 2 x n} là cơ sở tùy ý của nó, V là không gian vectơ bất kì nào đó và

Có thể giải bằng cách khác gọn hơn như sau: f : n  m

- Từ (*) ta tìm ảnh f e( )i  vi m,i1, ,n với ei là cơ sở chính tắc của n,

Cách 2: Có thể tìm ánh xạ tuyến tính f : n  m biến 1 cơ sở vec tơ

 1, 2, , n

B  u u u của n thành các vec tơ vi  f u ( ),i i  1, n trong m như sau:

Bước 1: Tìm ma trận A Giả sử u i (u u i1, i2, ,u in),i1,n là tọa độ của u đối i

với cơ sở chính tắc e i i, 1, ,n trong n Khi đó, A(u ij n)

Bước 2: Tìm ma trận B Giả sử vi  (v , v , , v ),i1 i2 in i  1, n là tọa độ của v đối i

với cơ sở chính tắc fj, j 1, ,m  trong m Khi đó, B  (v )ij n m

Ta có định thức của hệ vectơ u1= (1,2,3), u2 = (1,0,10), u3 =(2,3,5) khác 0 nên hệ vec

tơ B này là 1 cơ sơ của R3 Cơ sở này không là cơ sở chính tắc nên muốn biểu diễn 1 vectơ x =(x1, x2, x3) 3 là tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc cơ sở này theo cơ

sở, ta phải giải hệ phương trình tuyến tính

HD: Làm tương tự bài 4.5 hoặc câu a

4.7 Trong 3 cho 2 cơ sở

( ) : u1 (1, 0, 0), u2 (0,1,1), u3 (1, 0,1);

( ) : v1 (1, 1, 0), v2 (0,1, 1), u3 (1, 0,1)

và ánh xạ tuyến tính f : 3 3, với f u( )i v i, i 1, 3

a) Tìm công thức của .

Giải: B1: Ta có hệ vectơ u11,0,0 , u2 0,1,1 , u3 (1,01) là 1 cơ sở của 3 nên

Định nghĩa 4.1.2 Cho U và V là các không gian vectơ trên , B { , ,u1 u n} là

cơ sở của U, B { , ,v1 v m} là cơ sở của V và f U: V là ánh xạ tuyến tính Giả

sử f u( )i biểu thị tuyến tính được qua cơ sở { , ,v1 v m} như sau:

được gọi là ma trận của f đối với cặp cơ sở B B, và kí hiệu là [ ]f B B, .

Đặc biệt, khi f là phép biến đổi tuyến tính của V thì ma trận của f trong cặp cơ

sở B B, được gọi là ma trận của f trong cơ sở B. Lúc này [ ]f B B, được viết gọn là [ ] f B

Nếu f là phép biến đổi tuyến tính của n, ma trận của f với cặp cơ sở chính tắc

Với cách xây dựng ma trận [ ]f B B, như trên, ta có thể thiết lập mối quan hệ giữa tọa

độ [ ]x B và tọa độ [ ( )]f x B như sau

Tìm ma trận của f trong cặp cơ sở chính tắc của 2 và 3

Giải : Kí hiệu E2 {(1, 0), (0,1)}, E3 {(1, 0, 0), (0,1, 0), (0, 0,1)} lần lượt là cơ sở chính tắc của 2 và 3 Khi đó

Với nhận xét này ta có thể viết nhanh ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp

cơ sở chính tắc của n mà không nhất thiết phải tính toán theo định nghĩa

0 0 1 / 2

f

+ [ ]f , và [ ]f , : Là tương tự như câu trên

4.8 Trong không gian P x3[ ], cho ánh xạ f xác định bởi

[ ( )] ( ),

a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính

b) Tìm ma trận của f trong cơ sở {1, , ,x x x2 3}

4.9 Trong không gian P x3[ ], cho ánh xạ f xác định bởi f p x[ ( )] p x( ).

a) Chứng minh f là ánh xạ tuyến tính

b) Tìm ma trận của f trong cơ sở {1, , ,x x x2 3}

4.10 Cho ánh xạ tuyến tính f : 3 3 xác định bởi

f x y z x y z x y z x y z

a) Tìm cơ sở và số chiều của ker f

b) Tìm cơ sở và số chiều của Im f

b) Tìm cơ sở và số chiều của ker f

c) Tìm cơ sở và số chiều của Im f

Câu a, b, c: Làm tương tự như bài 4.3

4.12 Cho V không gian vectơ với hai cơ sở E { , },e e1 2 E { ,e e1 2 }, trong đó

e e e e e e và f là ánh xạ tuyến tính có 3 8

[ ]f Tìm [ ] f E

b) không tồn tại ánh xạ tuyến tính thỏa yêu cầu đề bài

c) không tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính thỏa mãn yêu cầu đề bài

4.7

a) f x y z( , , ) ( , x x z   , 2y z)

4.12 3 4

8 5[ ]f E  

  

8 10[ ]g   

  

-HẾT………