Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

® Như vậy định nghĩa của giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số có hai phần, không được xem nhẹ phần nào vi học sinh hay quên về thứ hai trong các định nghĩa này... Cách giải trên là sai,

_ § 3 GIA TRI LON NHAT VA NHO NHAT CUA HAM SỐ

A TRONG TAM KIEN THU'C _ Định nghĩa

Giả sử hàm số ƒ xác định trên tập hợp Ð (D C R)

a) Nếu tồn tại một điểm zạ€ D sao cho f(x) < f(z,) vai moi x, € D thì số

M = ƒ(w,) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số ƒ trên D, kí hiệu là

b) Nếu tồn tại một điểm z„ € D sao cho ƒ(z) > f(a,) với mọi z¿ € D thì số

n= ƒ() được gọi là giá frị nhỏ nhát của hàm số ƒ trên D, kí hiệu là

m= min f(z)

Như vậy, muốn chứng tỏ rằng số M (hoặc mm) là giá trị lớn nhất (hoặc giá trị

nhỏ nhất) của hàm số ƒ trên tập hợp D cần chỉ rõ :

© f(z) <M (hoặc ƒ(z) > m) với mọi z € D

© Ton tai it nhất một điểm #ạ € D sao cho ƒ(z;) = M (hoặc đu )=m}

Chip:

_ © Ta quy ước rằng khi nói gid trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm số ƒ (mà không nói “trên tập 7”) thì ta hiểu đó là giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của ƒ trên tập xác định của nó

® Như vậy định nghĩa của giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số có hai phần,

không được xem nhẹ phần nào (vi học sinh hay quên về thứ hai trong các định nghĩa này) Ví dụ sau minh họa điều này :

yt+2 z†+z z++rụ xz y z

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P "

Xét cách giải sau đây :

25

Cách giải trên là sai, vì người giải thiếu một phần quan trọng trong định nghĩa

của giá trị nhỏ nhất của hàm số là phải chỉ ra được dầu “=” có thể xảy ra

Thật vậy dấu bằng trong (1) xảy ra khi : ,

(7) không thể có vì z >0, >0, z >0 Do đó trong (*) không có dấu bằng

xây ra Vì thế mỉn P = 6 là đáp số sai!

Nhận xới

Người ta đã chứng minh được rằng hàm số liên tục trên một đoạn thì đạt được

giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó

Trong nhiều trường hợp, có thể tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm

số trên một đoạn mà không cần lập bảng biến thiên của nó

Giả sử hàm số ƒ liên tục trên đoạn [a;b| va cé đạo hàm trên khoảng (a;b), có

thể trừ một số hữu hạn điểm Nếu ƒf(z) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc

khoảng (a ; b} thì ta có quy tắc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm ƒ trên

đoạn [ø;b| như sau :-

Quy tắc

1 Tìm các điểm z,, z,, , z„ thuộc (a;ð) tại đó hàm số ƒ có đạo hàm bằng

0 hoặc không có đạo hàm

2 Tính ƒ(œ,), ƒ(œ,), ƒ(œ„), ƒ(a) và fe )

3 So sanh cac gia tri tìm được

Số lớn nhất trong các giá trị đó là giá trị lớn nhất của ƒ trên đoạn |a;b], số nhỏ

nhất trong các giá trị đó là giá trị nhỏ nhất của ƒ trên đoạn [a ; b|

B CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN

Dạng 1 DUNG BAT DANG THUC TÌM GIÁ TRỊ LON] NHAT VÀ NHỎ

NHAT CUA HAM 80

26

Bước 1 Chứng minh một bất đăng thức ;

Bước 2 Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ây, bât đăng thức vừa

Ví dụ 5 Cho0<y<z<1 và P= zjy — + Tìm giá trị lớn nhất của P

Giải _

Ta có: 0<ø <1 Ve >o° vithé wr +2 > yo? +2 (1)

Theo bat đẳng thức Cô-si, thì yz” +2 > 2 le? 7 = ayy (2)

Thay (2) vào (1), ta được :

với (4), suy ra min P = =

Chú ý : Đây là ví dụ ta lấy trong phần định nghĩa của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Qua đó các bạn hiệu vì sao cách giải xét trong phân ây là sai !

Thay (2), (3), (4) vào (1), ta có : A> 14542 hay A ¬ (5) Mặt khác khi z=y=2 (khi đó z+=4 thoả mãn z+ >4), thì

A=_ Đối chiếu với (5) ta được min 4 = ;

bằng I, hoặc có hai số bằng l, một số bằng 0 Như thế chẳng hạn khi z=t=z=]l,tacó P=à Vậy max? =3 ©

Dang2 DUNG MIEN GIA TRI HAM SO TIM GIA TRI LON NHAT VA

NHO NHAT CUA HAM SO

Phương pháp giải

Xét bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f(z) trên một miền

D cho trước Gọi y, là một giá trị tuỳ ý của ƒ(z) trên D, thì hệ sau đây (an

rED (2)

kiện có nghiệm tương ứng Trong nhiều trường hợp, điều kiện ấy (sau khi

biến đổi) đưa được về dạng : œ < 1ạ <6 @) Vì Y là một giá trị bất kì của

+): có nghiệm Tuỳ dạng của hệ (1), (2) mà ta có các điều

f(z), nén tir (3) ta CÓ : min f(z)=a; max f(z) =

Như vậy khi sử dụng phương pháp này để tìm giá trị lớn nhất \ và nhỏ nhất của

một hàm số, thực chất ta đã quy về việc tìm điều kiện để một phương trình

(thường là có thêm điều kiện phụ) có nghiệm

Dễ thấy, (1) © 2sin #+cosz+1= tạ Sinz — 2y, cosz + 3y,

= (2—y,)sinz +(1+2y,)cosz = 3y, —1 (2)

Chú ý: Nếu thay 1ạ = 2 vào (2) ta có : 5cos# = 5 cosz =l «@®zø= 2km

Vậy maxƒ(z) đạt được khi z2kx, k€Z (Xét tương tự với

mỉn ƒ(z))

Vidu2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :

f(a) = 2 TTT gi z€R

#ˆ.+ 2z +10

Giải Gọi „ là một giá trị tuỳ ý của hàm số, thì phương trinh sau (an x):

® Nếu 1ạ = 2 thì (2) —3z — 3ä = 0 : phương trình này có nghiệm

® Nếu Yy = 2, thì (2) có nghiệm khi :

Dạng 3 DUNG CHIEU BIEN THIEN HAM SO TIM GIA TRI LON |

NHAT VA NHO NHAT CUA HAM SO

Phurơng pháp giải

Phương pháp này kết hợp việc sử dụng đạo hàm để khảo sát tính đồng biến

và nghịch biến của hàm số, với việc so sánh các giá trị đặc biệt của hàm số

(như các điểm cực trị, các điểm tới hạn)

Người ta hay sử dụng phép đỗi biến để bài toán đơn giản hơn Cần chú ý rằng

khi đổi biến phải xác định lại miền xác định của hàm số mới mà ta sẽ sử dụng

sau khi đối biến

Vidul Tim gid tri Ion nhat va nho nhất của P = trén mién

D={(x;y)|2,y>0; at+y =I}

Giải

Đưa P vedang: P= 2 tate ty _ (ety) ~2y+( +9)

35

36

Tuy nhiên dấu bằng trong (I) xảy ra khi : z=y=z=1 Nhưng

z+u+z=3> ; Vậy không 6 ddu bang trong (1), do dé néu voi két

luận min P = 6 là đã phạm sai lầm

Ví dụ4 Cho f(z) = Ga với z €|—1;2] Tìm giá trị lớn và nhỏ nhất

Dang 4 CAC BAI TOAN GIA TRI LON NHAT VA NHO NHAT CUA

HAM SO CHUA THAM SO

Phương pháp giải

® Trong các bài toán này, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số ƒ(z)

trên một miền D sẽ phụ thuộc vào một tham số m Khi m biến thiên, nói chung các giá trị này sẽ thay đổi Cần nhắn mạnh rằng phương pháp dùng đạo hàm tỏ ra có hiệu lực rõ rệt đối với loại bài toán này

® Có hai loại bài toán chính thường gặp :

1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số ƒ(z) trên một miền 7 cho trước theo tham số m

2 Xét một bài toán khác sau khi đã tìm xong giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Vidul Cho ham sé y =sin'z+cos'z+msinzcosz, z€lR Biện luận

theo mm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

Giải

Ta có : = 1— 2 sin” 2ø + sin2ø, Đặt t=sin2z, -l<¿#<1 ,

Bài toán quy về : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số :

1 Néu m>2 (khidd ™>1).Ta06 | rn GA

Peds mart = 70 2 >We f= f(-)= a"

2 Nếu mm < —2 (khi đó = < —1) Ta có bảng xét dấu Do đó :

38

Ta có : ƒÍ(z) = 8z — 4a ; ƒ(z) = 0 khi z = 5 Xét các khả năng sau :

1 Nếu a > 0 (tức 5 > 0) Ta có bảng biến thiền sau :

Vi the : min f(z) = ƒ(0) = aˆ —2a + 9 0 ¢

bảng xét dấu Vì thế :

⁄2

- Theo bài ra, ta có phương trình :

a” —6a + 16 = 2 œ a?” — 6ø +14=0 Phuong trình này vô nghiệm do :

A'=9~14=—5 <0

3 Nếu —4 < ø < 0(tức -2<5<0) a |-2 2 0

Ta có bảng biến thiên bên cạnh Lúc | - ọ +

⁄

Theo bài ra, ta có phương trình :

—2a = 2 œ a = —1 (thoả mãn điều kiện —4 < ø < 0, nên chấp nhận)

Tóm lại các giá trị cần tìm của tham số a là ø = 1+ V3 và aư= —1

Dạng 5 BÀI TOÁN BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH VÀ BÁT PHƯƠNG

TRÌNH CÓ THAM SÓ

Phương pháp giải

s Để biện luận phương trình và bất phương trình có tham số người ta có thê |

sử dụng một trong những cách sau đây :

— Phương pháp tam thức bậc hai ;

— Phương pháp điều kiện cần và đủ ;

— Phương pháp chiều biến thiên hàm số ;

— Phương pháp đồ thị và hình học

e Chúng tôi cho rằng mặc dù mỗi phương pháp đều có những tính ưu việt riêng của nó, nhưng nhìn chung trong thực tế phương pháp sử dụng chiều biến thiên hàm số (mà một nhánh riêng của nó là sử dụng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số) thường được sử dụng vì các lí do sau :

— Lược đồ sử dụng chúng thường là một quy trình đơn giản, nhất quán trong các bài toán và dễ sử dụng ;

— Hiệu quả sử dụng cao (hiểu theo nghĩa số lượng bài toán có thể sử dụng |' phương pháp này một cách có hiệu quả chiếm đa phân các bài toán hay gặp)

© Để sử dụng tốt việc áp dụng phương pháp chiều biến thiên hàm số nói chung, và phương pháp tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất nói riêng để biện luận

phương trình và bất phương trình có tham số, chúng ta cần đến mệnh dé quan trọng và hay sử dụng sau đây :

Mệnh đè về mới liên quan giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số vớt tính tương thích của phương trình và bất phương trình

40

® Giả sử ƒ(z) là một hàm liên tục trên miền D, va gia thiết rằng tồn tại các

giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của ƒ(z) xét trên miền đó (các giá trị ấy tương ứng kí hiệu bởi max f(z) va min ƒ(z)) Khi đó :

nghiệm thuộc đoạn

Vi du 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

mit? —Vi-a? +2)<2v1—-a + Vide vie

Giải

Điều kiện để phương trình có nghĩa là : —1 < z < 1

Đặt : £ =v1+z? — V1— z° Bây giờ ta tìm miền xác định của biến mới ¿

Dễ thấy : Vz €|—1; 1] thì J1+z” >V1—zŸ” suyra £>0

Lại có : £? =1+z” +1—z?—2N1—

perc

at =2- Qv1l—2* <2

Vậy: 0<‡< V2 (1), chính là miền xác định của biến mới £

Cũng từ biến đổi trên, ta có : 2J1— z* = —#2 +2 Vì thế với biến mới £,

Đó chính là giá trị cần tim cla m

Ví dụ 3 Tìm a để phương trình sau có bốn nghiệm :

9|+? — 5z + 4| = xỀ — 5x + a (1)

42

Ta có ngay : ƒ( = ƒ(4) =4 ; (5) = = Từ bảng biến thiên trên suy ra

phương trình (1) có bốn nghiệm khi và chỉ khi 4 < a < = Đó chính là các giá trị

2.Néu a= TT phương trình có ba nghiệm

3 Nếu 4< ø< = phương trình có bốn nghiệm

4 Nếu ø = 4: phương trình có hai nghiệm

5 Nếu a < 4: phương trình vô nghiệm

Vĩ dụ 4 Tìm m để phương trình sau có nghiệm :

C BÀI TẬP ÔN LUYỆN

Tìm giá trị lớn nhất của biêu thức :

Cho z, , z>0 va =2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Tìm giá trị nhỏ nhật và lớn nhật của hàm sô :

ƒ(z) = 3sìin” œ — 5 cos” z + 6sin ø cos2z ~ 2, z €IR

bang cm m để he sau LÍ) TT nahi

Đưa vê dạng : tìm r đề hệ sau 1 # có nghiệm

lz>—2

2

Dùng phương pháp chiều biến thién ham sé, ta duge m 25

Tim m dé phuong trinh 3Vx—1+ mVx+1 = 24x? -1 6 nghiém