Phát triển câu 40,41 đề minh hoạ 2021 CÂU 40 ĐTK2021 Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 10 số nguyên x thỏa mãn 12 2 2 0x x y. 1242409fsjfhnwerj2oi4j12iop4j 3413h19831u3981u33131
Trang 1CÂU 40_ĐTK2021 Có bao nhiêu số nguyên dương y sao cho ứng với mỗi y có không quá 10 số nguyên
x thỏa mãn 1
2x 2 2xy 0?
Lời giải Chọn A
1
1
1
x x
x x
I y
y
II y
2
1
x x
Trường hợp này loại vì không có số nguyên dương y thỏa mãn
1
2
x x
Để mỗi giá trị y, bất phương trình có không quá 10 nghiệm nguyên x thì
10 2
log y10 y 2 y 1024
Kết hợp điều kiện y nguyên dương, sury ra có 1024 số y thỏa mãn bài toán
Câu 1: Có bao nhiêu cặp số nguyên thoả mãn 0 y 2020 và 3x3x 6 9ylog3y3?
Câu 2: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thoả mãn 0 x 2020 và 3xx 1 27y y
Câu 3: Có bao nhiêu cặp số nguyên x y;
thỏa mãn 0 x 2020 và log22x2 x 3y8y
?
Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức 2 2
P x y x y Biết x , y thỏa mãn 2
2 2
2 2
1
A Pmax 12 B Pmax 13 C Pmax 14 D Pmax 10
Câu 5: Cho hai số thực x, y thỏa mãn:
3
5 4
3
Gọi S là tập các giá trị nguyên của tham số m để giá trị lớn nhất của biểu thức 2 2
P x y m
không vượt quá 10 Hỏi S có bao nhiêu tập con không phải là tập rỗng?
x y;
x y;
DẠNG TOÁN 40: TÌM SỐ ĐIỂM, CẶP ĐIỂM THOẢ MÃN BIỂU THỨC CHỨA MŨ –
LOGARIT – VD – VDC
Trang 2Câu 6: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực ythỏa mãn 2 2
log x y log x y ?
Câu 7: Cho 0 x 2020 và log (22 x 2) x 3y8y Có bao nhiêu cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn các
điều kiện trên?
Câu 8: Xét các số thực dương x y, thỏa mãn 3 1
3
y
Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin
của P x y
A min 4 3 4
3
B min 4 3 4
3
C min 4 3 4
9
D min 4 3 4
9
Câu 9: Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn 2 2
log x2y log x y ?
Câu 10: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của c để tồn tại các số thực a b, 1 thỏa mãn
5 log a log b log b a
c
Câu 11: Có bao nhiêu cặp số nguyên x y thỏa mãn ; 0 y 2020 và log3 2 1 1 2 ?
x
x
y y
Câu 12: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tồn tại cặp số x y thỏa mãn ;
3 5 3 1
e x yex y 1 2x2y, đồng thời thỏa mãn 2 2
log 3x2y 1 m6 log x m 9 0?
Câu 13: (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2-2020) Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn
2 2
Câu 14: Tìm tập S tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất cặp số x y; thỏa mãn
2 2
2 2
logx y 4x4y 6 m 1 và x2y22x4y 1 0
A S 5; 1;1;5 B S 1;1
C S 5;5 D S 7 5; 1;1;5; 7
Câu 15: Có bao nhiêu cặp số nguyên ;x y thỏa mãn 0 x 2020 và log4512x7682x 1 2y16y?
Câu 16: Có bao nhiêu cặp số nguyên x y; thỏa mãn: 2 2 2
2
2017 2016
2017
y x x
3log (x 2y 6) 2 log (x y 2) 1
Câu 17: Xét các số thực x , y x0 thỏa mãn
Trang 3
3
1
2018
x y
Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x 2y Mệnh đề nào sau đây đúng?
A m 0;1 B m 1; 2 C m 2;3 D m 1; 0
Câu 18: Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực ythỏa mãn 2 2 2
2 xy 3x y ?
Câu 19: Có bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn 2 2
log x2y log x y ?
Câu 20: Có bao nhiêu cặp số nguyên x y, thỏa mãn log 3 2 2 3 3
2
Câu 21: Cho 0 x 2020 và log (22 x 2) x 3y8y.Có bao nhiêu cặp số ( ; )x y nguyên thỏa mãn các
điều kiện trên?
Câu 22: Có bao nhiêu cặp số nguyên x y; thỏa mãn 3 27
3
x
và 0 y 101
Trang 4CÂU 41_ĐTK2021 Cho hàm số 22 1 khi 2
f x
0
2sin 1 cos d
A 23
23
17
17
3
Lời giải Chọn B
0
2 sin 1 cos d
Đặt 2sinx 1 t 2cos dx xdt cos d 1d
2
x x t
Với x 0 t1
2
x
3
t
3
Câu 1: Cho số thực a và hàm số 2
2 khi 0
khi 0
f x
1
1
ln d
e
e
x
A 1
6
a
3
a
6
a
3
a
Câu 2: Cho số thực m và hàm số e2 21 khi 0
x
x
f x
0 sin cos d
A 1 12
2 2e
2 2e
2 2e
2 2e
Câu 3: Cho hàm số
2
3 ( ) 4
x
y f x
x
khi khi
x x
Tính tích phân
ln 2
0 (2 2) d
A 1
7
3
5 4
Câu 4: Cho hàm số
4 1
4
f x
6
2 2
2
6
ln
e
e
x
A I 3e1 B I 3e1 C 1280
371
450
I
DẠNG TOÁN 41: TÍCH PHÂN HÀM CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC – TÍCH PHÂN HÀM ẨN
– TÍCH PHÂN VD – VDC
Trang 5Câu 5: Cho hàm số 4 , 1
là hàm số liên tục trên Tìm số các ước số nguyên
2 2
1
cos
x
2 2
( )
1
1 ( ) 1
A a3 B a 4 C a5 D a 6
Câu 7: Cho hàm số 2 2 3 1
6 1
y f x
víi víi
2
4
4
xf x
x
A 47
11
Câu 8: Cho hàm số 2 2 1
2 1
y f x
víi víi
log
x
A 4;5 B 5; 6 C 7;8 D 6; 7
Câu 9: Cho hàm số 2 khi 1
3 khi 1
y f x
ln
e
x
A 167
20
91
53
6
Câu 10: Cho hàm số khi 1
ln khi 1
x
y f x
1
e
x
A
2
2e e 2
e
. B 2
2 2
e
2
e
. D 2
2
e
khi 0
y f x
1 2
1 3
2
x
x
A 23
20 2
2
23
20
Câu 12: Cho hàm số 22 1, khi 2
1, khi 2
f x
bằng
Trang 6A 31
3
2
3
2
I
Câu 13: Cho hàm số
2
, khi 3 4
4 7, khi 3
x
Giá trị của tích phân e ln 4
d
x
bằng
A 3 3ln3
Câu 14: Cho hàm số 2 1 khi 1
f x
, f x liên tục tại x1 Tính tổng m I biết
6
0
3
A 55
47
37
53
6
Câu 15: Cho hàm số
2
4 khi 2 ( )
y f x
1 2
A 10
7
11
3
Câu 16: Cho hàm số sin 0
nÕu
0 6
bằng
nÕu nÕu Khi đó 2
1
ln
e
dx x
A 3
Câu 18: Cho hàm số f x liên tục trên xác định bởi 2 1, 1
f x
, biết rằng tích phân
2
0
9 2
f x dx
Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A m 1; 0 B m 0;1 C m 1; 2 D m 2;3
f x
2 0
( ) ( 2 ) sin
Trang 7A 3 2
4
I
I
4
I
Câu 20: Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên (1;7) cho bởi
2
2
1 '( )
3
7
x
x
f x
x
biết ( 2) 0f Tính tích phân
2
2 1
A I 3ln 2 9 B I ln 2 3 C I 24ln 2 9 D I 8ln 2 3
Câu 21: Cho hàm số 2, khi 1
f x
2
2 2
1
x
A 2 3ln 2
4
e
4
e
4ln 2
4ln 2
Câu 22: Cho hàm số f x liên tục trên thỏa mãn
2
0 2
0 1
x
f
khi x k
x
hi x x
( m là hằng số) Biết
ln 2
2
ln
e
x
e
x
Câu 23: Cho hàm số
4 1
2 0
4
f x
6
2 2
2
6
ln
e
e
x
A I 3e1 B I 3e1 C 1280
371
450
I
Trang 8Câu 24: Cho hàm số y f x Đồ thị y f ' x trên 3; 0 như hình vẽ ( phần cong của đồ thị là một
phần của parabol 2
yax bxc)
3
1
dx 3
e
x
Tính giá trị f 0
7 9
Câu 25: Cho hàm số y f x xác định và liên tục trên 0; thỏa mãn f 1 1 và
2 2
2 x f x x f x 3x 1 Tính f 2
A 3
2 4
2 4
2 4
Câu 26: Cho hàm số y f x thỏa mãn 1
2 4
2
f x x f x với f x 0, x , tính
1
A 1
2
1 7
Câu 27: Cho hàm số f x xác định và liên tục trên 0; thỏa mãn f 1 4 và
f x x f x x x Tính f 2
Câu 28: Cho hàm số y f x thỏa mãn 3
f x f x x x Biết f 0 2.Tính 2
2
A 2
2 16
2 14
2 20
Câu 29: Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn 9
1
x
π 2
0
sin cos d 2
tích phân 3
0 d
f x x
Câu 30: Cho hàm số f x liên tục trên và thoả mãn f x f x 2 2cos 2 x, x Tính
3 2
3 2
d
Trang 9A I 6 B I 6 C I 2 D I 0
Câu 31: Cho hàm số f x liên tục trên và các tích phân 4
0
2 0
1
x f x
x
tích phân 1
0 d
I f x x
Câu 32: Cho f x là hàm liên tục và a0 Giả sử rằng với mọi x 0;a , ta có f x 0 và
1
0
1 d 1
a
f x
A
3
a
2
a
Câu 33: Cho f x là hàm liên tục trên 0;1 Giả sử rằng với mọi x 0;1 , ta có f x 0và
1 4
f x f x Tính
1
0 2
dx
f x
1
4
Câu 34: Cho hàm số f x liên tục trên và 2
3f x 2f x tan x Tính 4
4
d
f x x
A 1
2
2
4
2
Câu 35: Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn f x 2018f x xsin x Tính 2
2
A 2
1
1
1
2018
Câu 36: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn 0;1 thỏa mãn điều kiện
f x f x x x x Tính 1
2 0
1
15
15
15
I
Câu 37: Cho hàm số y f x liên tục với mọi x0thỏa mãn 1
x
2
1 2
f x
x
A 3
2
2
2
3
I
Trang 10Câu 38: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên và thỏa mãn f 1 3 và 2
2
x
Tính f 2
e
e
Câu 39: Cho hàm số y f x có đạo hàm và liên tục trên thỏa mãn 2 2
f x xf x x e và
0 0
f Tính tích phân 1
0 d
I f x x
A I 1 2
e
e
e
e
Câu 40: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 2; 3 thoả mãn ' 2
2
1
2f x f x e xln
2; 3
x
Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 41: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 , thỏa mãn 2 12
2
1
x
với mọi
0;1
x Khẳng định nào sau đây đúng?
A 2 1
2
C 2
e f f D 2
Câu 42: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;1 , thỏa mãn 3
f x f x e , với mọi
0;1
x và f 0 1 Biết 1
0
b
f x dxa e c
Giá trị của a b c bằng
3
3
Câu 43: Cho hàm số f x có đạo hàm liên tục trên 0;3 thỏa mãn f 3 0, 3 2
0
7 6
f x dx
3
0
7 3 1
f x
dx
0
f x dx
A 7
3
30
7 6
Câu 44: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên Biết f 1 e và
3
x f x xf x x x Tính f 2
A 4e24e4 B 4e2 2e1 C 2e32e2 D 4e2 4e4
Trang 11Câu 45: Cho hàm số f x có đạo hfam và liên tục trên 0 ,1 thỏa mãn f 1 0,1 2
0
3
2
f x dx
và
1
2 0
3
2 ln 2
2 1
f x dx
0
f x dx
A 1 2 ln 2
2
B 3 2 ln 2
2
C 3 4 ln 2
2
D 1 ln 2
2
Câu 46: Cho hàm số y f x có đạo hàm dương trên 1; 2 thỏa mãn 1
1
f e
và
2
xf x x f x x e Tính f 2
A 2
1 2
f
e
2 2
f
e
4 2
f
e
8 2
f
e
Câu 47: Cho hàm số f x có đạo hàm xác định trên Biết f 1 2và
2
1 3
2
x
x
0 d
3
1
7
Câu 48: Cho hàm số f x( )liên tục trên đoạn 1; 2
2
và thỏa mãn
2
x
2
1 2
( )
d
f x
x
A 3
2
2
2
2
I
Câu 49: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục trên đoạn 1; 2 thỏa mãn f 1 2và
2
f x x f x xf x x Giá trị của 2
1
f x dx
A 1 ln 2 B 1 ln 2 C 1 ln 2
2
Câu 50: Cho hàm số f x liên tục trên khoảng 0;và thỏa mãn
2 4
x
x x
1
d ln 5 2 ln
2
a b cbằng
A 29
Câu 51: Cho hàm số f x liên tục trên và thỏa mãn
3
0
1
cos
x
e
ln d ln
Tính tích phân 2
1 2
d
f x x x
Trang 12A a b B a 2b C a 2b D a2b
Câu 52: Cho hàm số f x liên tục trên 1; 2
2
và thỏa mãn 1
x
Tính tích phân
2
1 2
d
f x
x
A 1
2
2
2
2
I
Câu 53: Cho hàm số f x( )có đạo hàm liên tục trên 1; 2 và thỏa mãn 2 2
1
1
2 ( )d
21
2
2 1
1 ( ) d
7
2
1 ( )d
xf x x
A 19
60
1 5
30
Trang 13KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1 Môđun của số phức:
z a bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Độ dài của véctơ OM được gọi
là môđun của số phức z Kí hiệu 2 2
z = a + bi = a + b
z a b zz OM z 0, z , z 0 z 0
'z z z z ' , ' 0
z
,
kz k z k
Chú ý: z2 a2b22abi (a2b2 2) 4a b2 2 a2 b2 z2 z2 z z
Lưu ý:
1 2 1 2
z z z z dấu bằng xảy ra z1kz2k0
1 2 1 2
z z z z dấu bằng xảy ra z1kz2k0
1 2 1 2
z z z z dấu bằng xảy ra z1kz2k0
1 2 1 2
z z z z dấu bằng xảy ra z1kz2k0
1 2 1 2 2 1 2
z z z z z z
2 2
z z z z z
2.Một số quỹ tích nên nhớ
Biểu thức liên hệ ,x y Quỹ tích điểm M
ax by c 0 (1)
z a bi z c di (2)
(1)Đường thẳng :ax by c 0 (2) Đường trung trực đoạn AB vớiA a b , ,B c d,
2 2 2
x a y b R hoặc
z a bi R
Đường tròn tâm I a b ; , bán kính R
2 2 2
x a y b R hoặc
z a bi R
Hình tròn tâm I a b ; , bán kính R
2 2
r x a y b R hoặc
r z a bi R
Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn tâm
;
I a b , bán kính lần lượt là ,r R
2
c
Parabol
2 2
z a b i z a b i a
1 Elip
2 Elip nếu 2aAB A a b, 1, 1 ,B a b2, 2 Đoạn AB nếu2a AB
DẠNG TOÁN 42: SỐ PHỨC VD – VDC
Trang 14 2 2
Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:
Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng
TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi z , tìm z Min Khi đó ta có
;
M x y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A a b ;
2 2 0
2 2
Min
TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi z c di Tìm zmin Ta có
;
M x y biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn AB với A a b ; ,B c d;
2 2 2 2
,
2
Min
Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về
dạng cơ bản
Ví dụ 1:
z a bi z c di Khi đó ta biến đổi
z a bi z c di z a bi z c di
iz a bi z c di Khi đó ta biến đổi
Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn
TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R 0zz0 R Tìm z Max,z Min Ta có
;
M x y biểu diễn số phức z là đường tròn tâm I a b ; bán kính R
2 2
0
2 2
0
Max
Min
Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z a bi R
(Chia hai vế cho i
)
z b ai R
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z a bi R(Lấy liên hợp 2 vế)
Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện
Trang 15Hay viết gọn 1
0 1
0 0
(Chia cả hai vế cho z0 )
Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip
TQ1: (Elip chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c z c 2 ,a a c Khi đó ta có
;
M x y biểu diễn số phức z là Elip:
2 2 2 1
2 2
Max
Min
TQ2: (Elip không chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện zz1 z z2 2a
Thỏa mãn 2a z1z2
Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc
Ta có
Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z z1 z z2 2 ,a z1z2 2avà z z1, 2 c, ci ) Tìm Max, Min của P z z0
Đặt 1 2
2 2 2
2
2
Min
(dạng chính tắc)
Nếu
1 2 0
2
z z
1 2 0
1 2 0
2
2
Max
Min
Nếu
1 2 0
2
z z
1 2 0
2
Max
0 2
Min
CÂU 42_ĐTK2021 Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z 2 và z2i z2 là số thuần ảo?
Lời giải Chọn C
Giả sử z a bi a b; z a bi
Ta có: z2i z 2 a b 2 i a 2 bi a a 2 b b 2 ab a 2b2i
Do đó yêu cầu bài toán
2 2
2
2 2
2 2
2
Trang 16 2 2 2
1
2
1
a b
2
2
2
2
a
b
a b
Vậy có 2 số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 1: (Đề Tham Khảo 2017) Hỏi có bao nhiêu số phức z thỏa mãn đồng thời các điều kiện z i 5
và z2 là số thuần ảo?
Câu 2: (Mã 110 2017) Cho số phức z a bi a b , thoả mãn z 2 i z Tính S4a b
Câu 3: (Mã 110 2017) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn | z 2 i| 2 2 và 2
1
z là số thuần ảo?
Câu 4: (Đề Tham Khảo 2018) Cho số phức z a bi a b , thỏa mãn z 2 i z 1 i 0 và
1
z Tính P a b
Câu 5: (Mã 104 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z 5 i 2i 6i z ?
Câu 6: (Mã 103 2018) Có bao nhiêu số phức thỏa mãn z z 6 i 2i 7i z ?
Câu 7: (Mã 102 2018) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z z 3 i 2i 4i z ?
Câu 8: (Mã 105 2017) Cho số phức z thỏa mãn z 3 5 và z2i z 2 2i Tính z
Câu 9: (Mã 105 2017) Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn z3i 13 và
2
z
z là số thuần ảo?
Câu 10: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z z z 2 và z 2?
Câu 11: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện z i 5 z i 5 6, biết z có môđun bằng 5?