ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN- CÓ GIẢI CHI TIẾT

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN- CÓ GIẢI CHI TIẾT A.. Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay a Thể tích vật thể: Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các đ

Trang 1

ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN- CÓ GIẢI CHI TIẾT

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Diện tích hình phẳng

a) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x liên tục trên đoạn ( ) a b; , trục hoành và

hai đường thẳng x a, x b được xác định: ( )

b

a

b) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , ( ) y g x liên tục trên đoạn ( ) a b; và hai

đường thẳng x a, x b được xác định: ( ) ( )

b

a

Chú ý:

- Nếu trên đoạn [ ; ]a b , hàm số ( ) f x không đổi dấu thì: ( ) ( )

f x dx f x dx

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

- Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x g y , ( ) x h y và hai đường thẳng ( ) y c,

d

c

2 Thể tích vật thể và thể tích khối tròn xoay

a) Thể tích vật thể:

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; ( ) S x là

diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a x b Giả )

sử ( )S x là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ] a b









 



( ) : ( ) ( ) : ( ) ( )

H

x a

x b

1 ( )C

2 ( )C

1 ( ) 2 ( )

b

a

S  f x  f x dx

a c 1

y

 

 



 



( ) ( )

y f x

y 0 H

x a

x b

a c 1 c2

y f x y

( )

b

a

Trang 2

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định: ( )

b

a

b) Thể tích khối tròn xoay:

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , trục ( )

hoành và hai đường thẳng x a, x b quanh trục Ox:

Chú ý:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x g y , trục ( )

hoành và hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y f x , ( )

( )

y g x và hai đường thẳng x a, x b quanh trục Ox:

( ) ( )

b

a

I- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

c

y

O

d

x

( ) : ( ) ( ) :



 



 



C x g y

Oy x 0

y c

y d

 2 ( )

d y c

( ) : ( ) ( ) :









 



C y f x

Ox y 0

x a

x b

 2 ( )

b x a

a

 ( )

y f x y

( )

b

a

S x dx

V 

x

( )

S(x)

x

Trang 3

Những điểm cần lưu ý:

Trường hợp 1 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường y f x( ), y g x( ), x a x, b là ( ) ( )

b

a

S f x g x dx

Phương pháp giải toán

+) Giải phương trình f x( ) g x( ) (1)

+) Nếu (1) vô nghiệm thì ( ) ( )

b

a

S f x g x dx

+) Nếu (1) có nghiệm thuộc a b; giả sử thì

( ) ( ) ( ) ( )

b

a

Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f x( ) g x trên đoạn ( ) a; b rồi dựa vào bảng xét dấu để tính tích

phân

Trường hợp 2 Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường y f x( ), y g x là ( ) S f x( ) g x dx Trong đó , là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của ( )

phương trình ( )f x g x ( ) a b

Phương pháp giải toán

Bước 1 Giải phương trình ( ) f x g x tìm các giá trị ,( )

Bước 2 Tính S f x( ) g x dx như trường hợp 1 ( )

Câu 1 Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y f x ,( ) y g x liên tục ( )

trên [ ; ]a b và hai đường thẳng x a, x b ( a b là: )

A b ( ) ( )

a

( ( ) ( ))

b a

a

Câu 2 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , liên tục trên [ ; ]a b trục hoành và

hai đường thẳng x a x, b a b cho bởi công thức:

b

a

b

a

b

a

b

a

Câu 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 11x 6, y 6x , 2 x 0, x 2 (Đơn vị diện

tích)

A 4

5

8

18 23

Trang 4

Câu 4 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x3, y 4x là:

Câu 5 Cho hàm số y f x liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [ ; ]( ) a b Diện tích hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị củay f x , trục hoành và hai đường thẳng ( ) x a, x b được tính theo

công thức

b

a

b

a

b

a

b

a

S f x dx

Câu 6 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x liên tục trên đoạn [ ; ]( ) a b , trục

hoành và hai đường thẳng x a, x b được tính theo công thức

b

a

b

a

b

a

b

a

Câu 7 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f x , ( ) y g x liên tục trên đoạn ( )

[ ; ]a b , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b được tính theo công thức

A ( ) ( )2

b

a

b

a

b

a

b

a

Câu 8 Cho đồ thị hàm số y f x Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là ( )

A

( ) ( )

1

2 ( )

S f x dx

C

( ) ( )

S f x dx f x dx

Câu 9 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục hoành và hai đường thẳng 3

1

x , x 3 là

Câu 10 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục hoành và hai đường thẳng

1

x , x 4 là

13

14 3

Trang 5

Câu 11 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số 3

1

x , x 8 là

A 45

45

45 8

Câu 12 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y sinx , trục hoành và hai đường thẳng

2

x là

3 2

Câu 13 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y tanx , trục hoành và hai đường thẳng

6

4

x là

A ln 3

6 ln

3 ln

6 ln

3

Câu 14 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y e , trục hoành và hai đường thẳng 2 x

0

x , x 3 là

A

6 1

2 2

e

B

6 1

2 2

e

6 1

3 3

e

D

6 1

3 3

e

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG

Câu 15 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 3x , trục hoành và hai đường 2

thẳng x 1, x 4 là

A 53

51

49

25 2

Câu 16 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x4 3x2 4, trục hoành và hai đường

A 142

143

144

141 5

2

x y

x , trục hoành và đường thẳng

2

A 3 2ln 2 B 3 ln 2 C 3 2 ln 2 D 3 ln 2

Câu 18 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi parabol y 2 x và đường thẳng 2 y x là

A 7

9

9 2

Câu 19 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y cos 2x , trục hoành và hai đường thẳng

0, 2

x x là

Trang 6

Câu 20 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x4 3x2 4 , trục hoành và hai đường

A 71

73

72

2

x y

x , trục hoành và đường thẳng x 2

là

A 3 2ln 2 B 3 ln 2 C 3 2ln 2 D 3 ln 2

A 9

9

7 2

0, 2

Câu 24 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y x và 3

A 1

1

1 15

Câu 25 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y 2x3 3x2 1 và

A 37

37

Câu 26 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 4, đường thẳng x 3, trục tung và trục

hoành là

A 22

32

25

23 3

Câu 27 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và hai đường thẳng

là

201 4

Câu 28 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y xlnx , trục hoành và đường thẳng x e

là

A

2 1 2

e

B

2 1 2

e

C

2 1 4

e

D

2 1 4

e

Câu 29 Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x2 x 2, y x 2và hai đường thẳng

2; 3

x x Diện tích của (H) bằng

A 87

87

87 5

3 4

yx  x

3, 4

202 3

203 4

Trang 7

Câu 30 Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y 1 e x x y, 1 e x Diện tích

của (H) bằng

A 1

2

e

B 2 2

e

C 2 2

e

D 1 2

e

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1 Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y f x ,( ) y g x liên tục ( )

trên [ ; ]a b và hai đường thẳng x a, x b ( a b là: )

A b ( ) ( )

a

C b( ( ) ( )) 2

a

Câu 2 Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x , liên tục trên [ ; ]a b trục hoành và

hai đường thẳng x a x, b a b cho bởi công thức:

b

a

b

a

b

a

b

a

Câu 3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x3 11x 6, y 6x , 2 x 0, x 2 (Đơn vị diện

tích)

A 4

5

8

18 23

Hướng dẫn giải:

Bảng xét dấu

+

2 1

0

h(x) x

Trang 8

Câu 4 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi y x3, y 4x là:

Hướng dẫn giải:

Ta có x3 4x x 2 x 0 x 2

Vậy S 8 (đvdt)

Chú ý:Nếu trong đoạn ; phương trình ( )f x g x không còn nghiệm nào nữa thì ta có thể ( )

dùng công thức f x( ) g x dx( ) f x( ) g x dx( )

Câu 5 Cho hàm số y f x liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [ ; ]( ) a b Diện tích hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị củay f x , trục hoành và hai đường thẳng ( ) x a, x b được tính theo

công thức

A ( )

b

a

b

a

( )

b

a

( )

b

a

S f x dx

Hướng dẫn giải Theo công thức (SGK cơ bản) ta có ( )

b

a

S f x dx

Câu 6 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x liên tục trên đoạn [ ; ]( ) a b , trục

hoành và hai đường thẳng x a, x b được tính theo công thức

A ( )

b

a

b

a

b

a

b

a

Hướng dẫn giải Theo công thức (SGK cơ bản) ta có ( )

b

a

S f x dx

Câu 7 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị các hàm số y f x , ( ) y g x liên tục trên đoạn ( )

[ ; ]a b , trục hoành và hai đường thẳng x a, x b được tính theo công thức

A ( ) ( )2

b

a

b

a

C ( ) ( )

b

a

b

a

Hướng dẫn giải Theo công thức (SGK cơ bản) ta có ( ) ( )

b

a

Trang 9

Câu 8 Cho đồ thị hàm số y f x Diện tích hình phẳng (phần tô đậm trong hình) là ( )

A

( ) ( )

1

2 ( )

S f x dx

C

( ) ( )

S f x dx f x dx

Hướng dẫn giải

Theo định nghĩa ta có 0 1

( ) ( )

S f x dx f x dx

Câu 9 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục hoành và hai đường thẳng 3

1

x , x 3 là

Ta có x3 0trên đoạn [1;3] nên

3 4

20 4

x

Câu 10 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục hoành và hai đường thẳng

1

x , x 4 là

13

14 3

Ta có x 0trên đoạn [1;4] nên

4 3

2

1

x , x 8 là

A 45

45

45 8

Trang 10

Ta có 3 x 0trên đoạn [1;8] nên

8 4

Câu 12 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y sinx , trục hoành và hai đường thẳng

2

x là

A.1 B 1

3 2

Ta có sinx 0 trên đoạn ;3

2 nên

3

2

Câu 13 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y tanx , trục hoành và hai đường thẳng

6

4

x là

A ln 3

6 ln

3 ln

6 ln

3

Ta có tanx 0 trên đoạn ;

6 4 nên

4

6

3

Câu 14 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y e , trục hoành và hai đường thẳng 2 x

0

x , x 3 là

A

6 1

2 2

e

B

6 1

2 2

e

6 1

3 3

e

D

6 1

3 3

e

Ta có e2x 0 trên đoạn [0;3] nên

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VẬN DỤNG THẤP Câu 15 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 3x , trục hoành và hai đường 2

A 53

51

49

25 2

Ta có x3 3x2 0 x 3 [1; 4]

Khi đó diện tích hình phẳng là

Trang 11

3 4

27 51

Câu 16 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x4 3x2 4, trục hoành và hai đường

A 142

143

144

141 5

Ta có x4 3x2 4 0 x 2 [0;3]

48 96 144

2

x y

x , trục hoành và đường thẳng

2

A 3 2ln 2 B 3 ln 2 C 3 2ln 2 D 3 ln 2

Ta có x 1 0 x 1 nên

1

x

A 7

9

9 2

2

x

x và

2

2 x x, x [ 1; 2]

Nên

2

9

0, 2

x x là

Trang 12

Ta có cos 2 0 0;

Nên

4 4

Câu 20 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y x4 3x2 4 , trục hoành và hai đường

A 71

73

72

Ta có x4 3x2 4 0 x 2 [0;3]

48 96 144

2

x y

x , trục hoành và đường thẳng x 2

là

A 3 2ln 2 B 3 ln 2 C 3 2ln 2 D 3 ln 2

Ta có x 1 0 x 1 nên

1

x

A 9

9

7 2

2

x

x và

2

2 x x, x [ 1; 2]

Nên

2

9

Trang 13

0, 2

A.1 B 2 C 3 D 4

Ta có cos 2 0 [0; ]

Nên

4 4

Câu 24 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y x và 3

A 1

1

1 15

1

x

Nên

1

3

Câu 25 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị hàm số y 2x3 3x2 1 và

A 37

37

2

1

x

Nên

37

Câu 26 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 4, đường thẳng x 3, trục tung và trục

hoành là

Trang 14

A 22

32

25

23 3

Xét pt x2 4 0 trên đoạn 0;3 có nghiệm x 2

Suy ra

23

3

Câu 27 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong , trục hoành và hai đường thẳng

là

201 4

Xét pt x3 4x 0 trên đoạn 3; 4 có nghiệm x 2; x 0; x 2

Suy ra

201

4

Câu 28 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong y xlnx , trục hoành và đường thẳng x e

là

A

2 1 2

e

B

2 1 2

e

C

2 1 4

e

D

2 1 4

e

Xét pt xlnx 0 trên nữa khoảng 0; e có nghiệm x 1

Suy ra

2

1

1 ln

4

Câu 29 Hình phẳng (H) được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x2 x 2, y x 2và hai đường thẳng

2; 3

x x Diện tích của (H) bằng

A 87

87

87 5

(x x 2) (x 2) 0 x 4 0 x 2

Suy ra

87

3

Câu 30 Gọi (H) là hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y 1 e x x y, 1 e x Diện tích

của (H) bằng

A 1

2

e

B 2 2

e

C 2 2

e

D 1 2

e

3 4

yx  x

3, 4

202 3

203 4

Trang 15

Xét pt 1 e x x 1 e x 0 có nghiệm x 0, x 1

Suy ra

2 2

Tiêu đề	Ứng Dụng Tích Phân - Có Chi Tiết
Người hướng dẫn	Thầy Trần Xuân Trường
Trường học	Không rõ
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài viết hướng dẫn

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	1,27 MB