Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể

Một trong những bài toán thực tế đó là về tính diện tích hình phẳng hoặc thể tích của một vật thể dựa vào tích phân.. Vấn đề tính diện tích của các hình quen thuộc như tam giác, tứ giác,

MỤC LỤC

Trang

1. Lời giới thiệu………  2 

2.Tên sáng kiến……….  3 

3.Tác giả sáng kiến………   3 

4.Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến………   3 

5. Lĩnh vực áp dụng sáng kiến………   3 

6. Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu………   3 

7. Mô tả bản chất của sáng kiến ………  

      NỘI DUNG Phần 1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng ………  

Dạng 1  

Dạng 2…………  

Phần 2. Ứng dụng tích phân tính thể tích vật thể  

Dạng 1  

Dạng 2  

      Loại 1  

      Loại 2  

      Loại 3  

      Loại 4……  

  3  5  5  5  6  10  10  11  11  13  15  17  8. Những thông tin cần được bảo mật………   21 

9. Những điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến……….  21 

10. Đánh giá lợi ích thu được………   21 

11. Danh sách những tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng thử……….  21 

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu

Bắt đầu từ năm học 2016 – 2017 đến nay Bộ Giáo Dục và Đào Tạo đã thực hiện 

đổi mới trong thi cử, trong đó môn Toán cùng với các bộ môn khác chuyển từ hình thức thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm. Trong đề thi minh họa của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo và trong các đề thi chính thức của Bộ Giáo Dục luôn có những bài toán thực tế. Những bài toán thực tế đó thường gây ra cho học sinh lúng túng và nhiều khi các em học sinh thường bỏ qua những bài toán thực tế đó. Một trong những bài toán thực tế đó là về tính diện tích hình phẳng hoặc thể tích của một vật thể dựa vào tích phân. Vấn đề tính diện tích của các hình quen thuộc như tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác,… gọi chung 

là đa giác học sinh đều đã biết công thức tính diện tích từ các lớp dưới. Cũng tương tự như vậy vấn đề thể tích các khối như (khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ, khối chóp, ….gọi chung là khối đa diện) học sinh đều được học công thức tính thể tích. Đây là một vấn đề rất thực tế nhưng để học tốt nó vốn không đơn giản đối với các học sinh có tư duy hình học yếu, đặc biệt là tư duy cụ thể hoá, trừu tượng hoá. Việc dạy và học các vấn đề này ở chương trình toán lớp dưới vốn đã gặp rất nhiều khó khăn bởi nhiều nguyên nhân, trong đó yếu tố “trực quan và thực tế” trong các sách giáo khoa đang còn thiếu. Do đó khi học về vấn đề tính diện tích của các hình phẳng, tính thể tích của các vật thể ở chương trình giải tích 12 học sinh gặp rất nhiều khó khăn. Đa số các em học sinh thường có cảm giác nhìn vào bài toán là đã không muốn đọc rồi bởi vì nó dài và còn khó nữa. Có chăng nếu em nào đó mà học khá hơn một chút thì khi học vấn đề này nhìn chung các em thường vận dụng công thức một cách máy móc chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan nên các em hay bị nhầm lẫn, hoặc không giải được, đặc biệt là những bài toán cần phải có hình vẽ để “chia nhỏ” diện tích mới tính được. Càng khó khăn hơn cho những học sinh có kỹ năng tính tích phân còn yếu và kỹ năng “đọc đồ thị” còn hạn chế. Trong sách giáo khoa bài tập về vấn đề đó còn ít, hoặc lượng bài tập rất hạn chế còn 

tôi viết đề tài  “ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VÀ TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ ” nhằm giúp cho các em học sinh lớp 12 có một tài liệu 

tham khảo cô đọng nhất, lượng bài tập từ dễ đến khó và đầy đủ các dạng. Từ đó giúp học sinh phát huy tốt kiến thức, kỹ năng tính diện tích, thể tích. Học sinh thấy được những ứng dụng của tích phân trong thực tiễn, khi đó học sinh sẽ cảm thấy hứng thú, thiết thực 

và học tốt vấn đề ứng dụng của tích phân, gặp bài toán thực tế các em sẽ không còn cảm giác không làm được nữa, mà sẽ giải quyết được bài toán đó rất nhanh gọn. 

- Giúp học sinh hiểu rõ bản chất của vấn đề, không nhớ công thức một cách máy móc, không còn cảm giác run sợ trước những bài toán thực tế này. 

x x

a b

dx x f dx

x f dx x f dx x f

2 1

1

.  

Bài 2 Cho hàm số yx 3 3x 2 2 có đồ thị (C ). Tính diện tích của hình phẳng giới 

4

0 16

4 3

0 4

) 1 4 3 4

1 ( 4

3

2 2

x

x x

x x

x x

x x x

x

(C) d

x y

-2 4

-3 -1

3 2 1

O 1

dx x

x dx

x x dx

x

x dx x

0

0

2

2 2

0

2

2

4 3 4

1   4 3 4

1 4

3 4 4

3

9

28 4 9

112 4

9

56 56 9

56 4

1 9

Bài 8 (Đề thi thử nghiệm – Bộ GD & ĐT năm 2016 – 2017)  Ông An có một mảnh 

vườn hình Elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10 m  Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết  kinh  phí  để  trồng  hoa  là 100.000  đồng/1m2.  Hỏi 

làm cổng đồng như vậy. (làm tròn đến hàng nghìn) 

Giải: 

8m

 Hình 7 

Ta có mô hình cổng đồng trong mặt phẳng tọa độ như hình vẽ trên. Diện tích cổng đồng gồm diện tích hình chữ nhật và diện tích phần giới hạn bởi parabol  P  và trục hoành. 

có một mảnh đất mang tên Bernoulli, nó được tạo thành 

từ đường Lemmiscate có phương trình trong hệ tọa độ 

Oxy  là 16y2 x2(25 x2)  như  hình  vẽ  bên.  Tính  diện 

tích S  của  mảnh  đất  Bernoulli  biết  rằng  mỗi  đơn  vị 

trong hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài 1 mét. 

Ta có:     

5

2 0

x a x b a  Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm b x a   x b

cắt C theo một thiết diện có diện tích S x Giả sử   S x là hàm liên tục trên đoạn    a b;

4m

3 3

1 ) 3

4 5

( )

4 4 ( )

2 (

3 4 5 1

0

2 3 4 1

1 ) 3

4 5

( ) 4 4 ( 2

3 4 5 1

0

2 3 4 1

0

2 2

dx x x du

e

xdx e

e dx x

e x x

e uv xdx

1

2 2

1 2 e

1 1

2

ln 2 1 ln ln

1 x2lnx  

  1 ln vdu       1

dx x du dx

) ( 1 ln ln 1

) ln (

ln

1 1

e e





1 2 1

2

ln )

x a x b (với f x g x    0,  x  a b; ) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay

D quanh trục Ox được tính bởi công thức:  2  2 

d

b

a

V  f x g x x.  

Bài 23 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y2xx2 và  y  khi quay quanh x

x x

V  x x dx. 

4 4 ( )

2 (

1

2

2 3 2

x dx x

x dx

8 16 ( )

4 (

2

1

4 2 2

1

2 2 2

15

53

1 2

Loại 3 Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các

đường x g y , trục tung và hai đường yc y,  quanh trục Oy được tính theo d công thức: 2 

10

12

y          4

2

1 4

4 4 4

11.4)

4(4)

42

1(

1

0

2 2

1

0

2 1

11 8

Loại 4 Một số bài toán khác

Bài 29. Trong hệ tọa độ Oxy cho nửa đường tròn có phương trình  (C):  x 2 y 2 16. với 

4

-1

2 -2 -1 O 1 3 r

Bài 31. Có một vật thể là hình tròn xoay có dạng giống 

như  một  cái  ly  như  hình  vẽ dưới  đây. Người ta  đo  được 

đường kính của miệng ly là 4cm và chiều cao là 6cm. Biết 

Bài 34 Một Bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay 

hình phẳng giới hạn bởi các đường y x1 (đồ thị như hình vẽ bên dưới) và trục Ox quay quanh trục Ox. Biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2 dm   và 4  dm. Tính thể tích V  của lọ

A.  V  8  dm3  

2

1 2 ,

O O  ta được một khối tròn xoay. Tính thể tích V  của khối tròn xoay được tạo thành ? 

a

a

8 Các thông tin cần được bảo mật (nếu có): Không 

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

- Với học sinh: Học sinh lớp 12 THPT Nguyễn Viết Xuân. 

- Với giáo viên: Giáo viên cần nắm chắc đối tượng học sinh để có phương pháp dạy học hữu hiệu nhất. 

- Người giáo viên cần phải biết vận dụng sáng tạo các phương pháp, luôn luôn không ngừng tìm tòi, tham khảo các tài liệu, tham khảo đồng nghiệp, xâu chuỗi chúng lại và xây dựng thêm những bài toán có nội dung thực tiễn phát triển năng lực thực tiễn cho học sinh. 

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu

- Qua quá trình giảng dạy trong thời gian vừa rồi, tài liệu “Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và tính thể tích vật thể” đã giúp học sinh khắc phục được những “sai 

lầm” và những khó khăn khi gặp bài toán tính diện tích của hình phẳng cũng như tính thể tích của vật thể tròn xoay ở chương trình giải tích 12.  

- Sau một thời gian áp dụng đề tài này trong giảng dạy tôi thấy số lượng giỏi, khá, đã có tăng lên mặc dù số lượng trung bình vẫn còn. Nhưng đối với tôi, điều quan trọng hơn cả 

là đã giúp các em thấy bớt khó khăn trong việc học tập bộ môn toán, tạo niềm vui và hưng phấn mỗi khi bước vào tiết học. 

- Bản thân giáo viên khi viết đề tài này cũng đã tự trau dồi cho mình về chuyên môn và cũng có được những kĩ năng phân tích tổng hợp tốt. 

- Sáng kiến kinh nghiệm này là một tài liệu hữu ích cho học sinh học tập và cho những giáo viên khác trau dồi thêm kinh nghiệm, làm tài liệu tham khảo. 

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến lần đầu: 

(Ký tên, đóng dấu) 

……….,ngày…tháng…năm…  Tác giả sáng kiến