ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
2.6 Độ co giãn của cầu theo giá
Các nhà bán lẻ và nhà sản xuất thường cần phải biết mức độ thay đổi nhỏ trong giá sẽ ảnh hưởng đến cầu về một loại hàng hóa như thế nào.
Nếu một sự tăng giá nhỏ không tạo ra sự thay đổi về cầu, sự tăng giá có thể có ý nghĩa; nếu một mức tăng nhỏ của giá tạo ra một sự sụt giảm lớn của cầu, sự gia tăng này có lẽ là không nên. Để đo mức độ nhạy cảm của cầu đối với việc tăng một phần nhỏ của giá, các nhà kinh tế tính độ co giãn của cầu theo giá.
Gọi Q là lượng hàng hóa đã mua và p là giá mỗi đơn vị hànghoá. Giữa Q và p có liên quan với nhau bởi hàm cầu
Q = D(P).
Giả sử giá mỗi đơn vị hàng hóa thay đổi một lượng nhỏ AP. Phần trăm thay đổi về giá được cho bởi
= p"'100%.
Sự thay đổi về giá làm cho số lượng hàng hóa bán ra thay đổi một lượng là AQ — D(p + AP) — D(p). Phần trăm thaỳ đổi về lượng hàng hóa bán ra được cho bởi
—s = ^S.100%.
94 ĐẠO HÀM VÀ Vỉ PHÂN Độ co dân của cầu theo giá là phần trăm thay đổi về lượng cầu chia cho phần trăm thay đổi về giá, là
_ p AQ _ p DỤP + AP) - D(P)
- Õ'ÃP - ã' ÃP ’
suy ra
TỈ p D(P + âP)-D(P) p „ D'(p)
--- — = d-D'(P) = p.-^ddr-
AP->0 d apAo Q' Q D(P) ■
Từ kết quả này, ta có
Định nghĩa 2.12. Độ co giãn của cầu về một loại hàng hóa tại mức giá p là hàm số E theo p, được xác định bởi
E(p) = -P^ỊPỊ. { } D(P) ■
Ví dụ 2.31. Một cửa hàng cho thuê đĩa DVD đã thấy rằng cầu thuê đĩa DVD của cửa hàng được cho bởi
Q = D(P) = 120 - 20P,
trong đó, Q là số đĩa DVD cho thuê mỗi ngày với giá p (USD) cho mỗỉ lần thuê. Tìm:
a) Lượng cầu khi p — 2.
b) Độ co giãn của cầu theo p.
c) Độ co giãn của cầu tại p = 2 và tại p = 4. Giải thích ý nghĩa của các giá trị này của độ co giãn.
d) Giá trị của p khi E(p) = 1.
e) Hàm tổng doanhthu theo gỉá R(p).
f) Giá p mà tại đó tổngdoanh thu đạt giá trị lớn nhất.
Giải. a) Q = D(2) = 80.
b) Độ co giãn của cầu theo p. Theo định nghĩa Độ co giãn, ta có
E(P) = — -P-.__—p ■
k J ' D(JP) '120-20P 6 —p’
2.6 Độ cogiãn của cầu theo giá 95 c) o E(2) = ị. Khi p — 2 và AP bé, ta có
AP 2 p
Do đó, nếu tăng nhẹ giá cho thuê đĩa, nghĩa là >0, thì ~
—2■ < 0, phần trăm lượng cầu thuê đĩa sẽ giảm xấp xỉ 2 lần so với phần trăm tăng giá.
o E(4) = 2. Khi p = 4 và AP bé, ta có
p
Do đú, nếu tăng nhẹ giỏ cho thuờ đĩa, nghĩa là >0, thỡ ô
—2.^ < 0, phần trăm lượngcầu thuê đĩa sẽ giảm xấp xi 2 lần so với phần trăm tăng giá.
d) Ta có
E(p) = 1 o = 1 ằ/> = 3.
O — p
e) Hàm tổng doanh thu
K(P) = P.D(P) = P(120 - 20P) = 120P - 20P2. f) Do R'(P) = 120 - 40P nên
R'(P) = 0 <=> p = 3.
Mà R"(p) — —40 < 0 nên R"(3) < 0. Vậy, hàm tổng doanh thu đạt giá trị lớn nhất khi p = 3.
Lưu ý rằng, trong các phần d) và f) của Ví dụ 2.31, giá trị p làm cho E(p) = 1 và giá trị p mà tại đó tổng doanh thu lớn nhất là trùng.nhau.
Định lý sau đây khẳng định rằng điều này luôn luôn đúng.
Định lý 2.17. Giả sử hàm cầu Q = D(p) có đạo hàm liên tục trên miền (0; 4-oo). Khi đó, hàm tổngdoanh thu R(p)
• tăng trờn khoảng (a;b) nếu E(P) < 1 với mọi p e (ô;b).
• gỉảm trên khoảng (c;d) nếu E(p) > 1 với mọi p G (c;rf).
96 ĐẠO HÀM VÀ Vỉ PHÂN
• đạt giá trị cực đại tại p mà tại đó E(p) — 1.
Thật vậy, do R(p) = P.D(P) nên
R'(P) = D(p) 4- P.D'(P) = Dịp) = D(P) [l-E(P)].
Ap dụng kết quả quen thuộc sau đây ta có được kếtluận của Định lý.
Định lý 2.18. Cho hàm f xác định tại c và khả vi trên (a;b) 3 c, có thể không khả vỉ tại c.
ĩ. Nếu f'(x) < 0 trên (ữ’,c) và ff(x) > 0 trên (c; b) thì f đạt cực tiểu tại c.
2. Nếu f({x) > 0 trên (a;c) và f'(x) < 0 trên (c; b) thì f đạt cực đại tại c.
3. Nếu ff(x) không đổi dấu trên (a;b) \ {c} thì f không đạt cực trị tại c.
2.7 Bài tập
Trắc nghiệm tự luận
■ Đạo hàm
2.1. Tính đạo hàm các hàm số sau:
tan X
VX12
1. Dùng chi phí cận biên để ước tính chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm thứ tư.
4. V = arcsin 1—r;
|x|
7. y = 32';
10. y — Xx;
_ 2 / . x\
2. V = cos ( sin — ;
y \ 3/
5.y = 2^;
8. y = (In x) * ;
... -g -vX
11. y = Xx ;
6. y = 2>AI^7;
9. y = X2";
12. y = (lnx)x
Xlnx
2.2. Cho /(x) = |x — 1| 4- |x4- 1|. Tínhf'(Xq-), f (x0 ) tại Xo = ±1.
2.3. Cho/(x) — Vsin2 X. Tínhy'(0+),/'(0~).
■ Chí phí cận biên, doanh thu cận biên
2.4. Nhà sản xuất ước tính rằng khi Q đơn vị sản phẩm được sản xuất, tổng chi phí sẽ là C(Q) = 0,1Q3 — 0,5Q2 4- 500Q 4- 200 đơn vị tiền tệ. ‘
2.7 Bài tập 97 2. Tính chi phí thực tế để sản xuất ra đơn vị sản phẩm thứ tư.
2.5. Q đơn vị sản phẩm được sản xuất và bán trong tháng thì doanh thu của một nhà sản xuất là = 240Q — 0.05Q2 (đơn vị tính: USD). Hiện tại, nhà sản xuất đang sản xuất 80 đơnvị sản phẩm mỗi tháng và đang có kế hoạch tăng sản lượng hàng tháng lên 1 đơn vị.
1. Sử dụng doanh thu cận biên để ước tính doanh thu bổ sung sẽ được tạo ra bởi việc sản xuất và bán đơn vị sản phẩm thứ 81.
2. Tính doanh thu bổ sung thực tế sẽ được tạo ra bởi việc sản xuất và bán đơn vị sản phẩm thứ 81.
■ Vỉ phân
2.6. Tính vi phần các hàm số sau:
~ a. . X 1
1. y = —4- arctan —; 2. V — In X + V X2 + a ; 3. y = arccos T—T.
? X a V |x|
2.7. Cho/(x) = X3 — 2x4-1. Tính A/(l), đ/(l).
2.8. Cho y = . Tại X() = a — b, tìm Ax để Ay(xo) = 2.9. Tìm a,b sao cho hàm số
X < 0;
X > 0 khả vi tại mọi X € R.
2.10. Tìm a,b sao cho hàm số
khả vỉ tại mọi X e R.
2.11. Dùng vi phân cấp một tínhgần đúng các giá trị sau:
1. ẠĨ7; 2. tan 46°; 3. arctanO, 97;
</0,983'
98 ĐẠO HÀM VÀ VIPHẢN
■ Các định lýgiá trị trung bình
2.12. Chứng tỏ phương trình 16x2 — 64x 4- 31 = 0không thể cóhainghiệm phân biệtnằm trong khoảng (0; 1).
2.13. Cho/(x) = x(x 4-l)(x 4-2)(x4-3). Chứng tỏ phương trình/'(x) =0 có ba nghiệm thực phân biệt.
■ Đạo hàm và vi phân cấp cao
2.14. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
„ arcsin X 1. y = y
ựl — X2 3. y = ỷx(x- l)2.
2.15. Tính đạo hàm cấp cao của các hàm số sau bằng cách dùngcông thức Leibnitz:
1. y = (x2 4- 1) sinx, tính ì/10);
3. Ị/ = X2 eax, tính y(n) (0);
2. y = y, tínhy(w); 4.y = 1 ^x2, tínhy(”\
■ Tính giới hạn bằng quytắc L'Hopital 2.16. Khử các dạng vô định 22 :
1. lim X—>0
ex — e x —2x X — sinX
-. 7Ĩ — 2 arctan X lim —-———=—; X-++OO In (1 4- 1)
~ . In cos 2x 2. lim —4——;
X—>0 sinX
_ ... X62
5. lim •
X—>±oo X 4- ex
_ ln(ô72 4- 1 4-e ) 3. lim —-- ----—--- -
x—>+oo X
' .. Inx X-W+ 1 4- 2 In sinX 2.17. Khử các dạng vô định 0.OO, oo — oo :
1. lim x2lnx;
X-4-0+
3. lim X (e* —1) ;
2. lim Inxlnix — 1);
X->1+
4. lim(ex4-e x— 2)cotx;
X—>0'
6. lim { —,---; X->0 \ XsinX xz ) ì
_ ĩ 1 X \
8. lim ( -=- - ) . X->1+ \ In X InX /
2.7 Bài tập 99 2.18. Khử các dạng vô định 1°°, oo°, 0° :
1. lim (1 4-x)lnx;
x-+0+
4. lim (x + 2x)ỉ;
x^>±oo 7. lim Xsinx;
.w0' 8. lim (arcsinx)tanx;
x->0‘
/ 7TX \ tan V
3. lim (tan——) 2 6. lim (cotx)^;
x->0+
9. lim (zr —2x)cosx.
■ Cực trị trong kinh tế
2.19. Một doanh nghiệpsản xưất độcquyềnmộtloại sảnphẩm có hàm cầu và hàm tổng chi phí là: Q/J = 656 — ịp và c = Q3 — 77Q2 + 1000Q 4- 100.
Tìm mức sản lượng Q để doanh nghiệp có lợi nhuận cao nhất.
2.20. Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền mộtloại sản phẩm, đang theo đuổi mục đích lợi nhuận tối đa, có hàm cầu và hàm tổng chi phí là:
Qd = 2640 - p và C(Q) - Q2 + 1000Q + 100.
1. Nếu doanh nghiệp cho rằng mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm là t (giá trị của t chưa biết) thì doanh nghiệp sẽ ấn định mức sảnlượng như thế nào đểlợi nhuận lớn nhất theo t?
2. Tìm t để thuế thu được từdoanh nghiệp này là lớn nhất.
3. Nếu thị trường cần có tối thiểu 300 đơn vị sản phẩm của doanh nghiệp này thì mức thuế trên một đơn vị sản phẩm tối đa là bao nhiêu?
Trắc nghiệm khách quan
■ Đạo hàm cấp một
2.21. Tính đạo hàm của hàm f(x) — . sinx . 7 x ex(sinx — cosx)
y = — Hùr ---
/ sin X
ỵ ex(—sinx 4-cosx)
J J 2 * J J
sin X
2.22. Tính đạo hàm của hàm /(x) = (1 +x)x,x > —1.
ex(sin X 4- cosx)
„-2sin X ex
cos X
c.
100 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÁN
■ Đạo hàm cấp cao
2.23. Tính đạo hàm cấp n của hàm y — e 3x.
A. yW = (-3)” e~3x B. y(n> = (-3)"-1 e~3x c.y(n) = (—3)"+1e-3x D.yM = (-3)"e3x 2.24. Tính đạo hàm cấp n của hàm /(%) = In |x + 2|.’1
2.25. Tính đạo hàm cấp n của hàm f(x) = In |x2 — 3x + 2|.
Vi phân cap 1
2.26. Tính vi phân của hàm y = (3x)x.
A. dy — (3x)x(ln3x + l)dx c. dy = (3x)x(ln3x + 3)dx
2.27. Tính vi phân của hàm y = arctan (
4 ... 3
A. dy = —————T—-dx x(9 4- ln2 x) c. dy — —~—-dx
x(9+ In2 x)
B. dy = (ln3x + l)dx D. đy = (ln3x + 3)dx
2.7 Bài tập 101
■ Vỉ phân cấp 2
2.28. Tính vi phân cấp 2 của hàm y = ln(l + X2).
X j2,. _ 2 2x2 , 2 D j2„, _ 2 -j- 2x2 2
A- d v = (l+x2)2^ B dy = (l + x?)^*
ớ- ô2,, 2x2 — 2 2 J2,, 2 + 2x2 2
cđ y ~ (y + x2ydx D.dy- ~(1 + x2yđx
2.29. Tính vi phân cấp 2 của hàm y = arctan(x2).
A _ 2 — 6x4 -2 A- d V = (l + x^rf*
12.. _ 6x4 ~ 2 , 2 c. d y — ' .„dr
V (1 + X4)2
D ^2,, _ 2-4-óx4 2
B- d y = ri
<2 ___ 2 + 6x4 , 2 D. d ư y — — -. f 1 í . .„ Jx
-l-4 1 2.
■ Quy tắc L/Hôpital
2016/^ ___ 2 2.30. Tính giới & hạn* “4“ lim 2017^ _ Ị:
tục tại X = 0.
A 1 B 2017
A- 4 B- 2016 r 2016 n n
* 2017
2.31. Xác định m để hàm số /(x) -= /5^' xe [ liỄn
ì 3m — 1, X = 0
X = 0.
A. m — 1 B. m — 2 c. m = 3 D. m = 0
2.32. Xác định m đểhàm số/(x) = <íe 2xvỉx~22x ' ^^0-__ liên tục tại X = 0.
12m, X = 0
A. m = 1 B. m = 2 c. m — 3 D. m — 0
2.33. Xác định m để hàm số /(x) = í ln(lĩ;xĩ~x- -1 < X < 0; ... .
< sin * liên tục tại 1 m — J, X > 0
A. m = 0 B. m 2 c. m — 3 D. m — 1
102 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN / V*
2.34. Tính giới hạn lim í ——-
3 B. 2
A. 1
_ 1___ằ•___ x — 6 + 2 2.35. Tính giới han lim ---_ —.
& ■ /4-2 X3 + 8
c. 1 A. —144 B- - T77144 36
2.36. 1 u~ ^32 + 2x - 2 , T inh gĩớĩ han lim —--- . '
X—♦() ỳx + 16 - 2 '
ỉ -ì
5 5 c. 4
5
2.37. X2
Tính giớihạn lim e, =---. + 5x - 1 - X
A. ? B -2
5 ■ 5 c. 1
2 2.38. Tính giới hạn lim (cos2x + x2)cot x.
■ x^>0' v 7
A. 0 B. 1 c. 2
2.39. Tính giới hạn lim (cosX + sin2x)cot x.
A. e B. ỵ/ẽ c. ỵ/ẽ
■ Cực trị trong kỉnh tế
2.40. Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Biết hàm giá - cầu p = 12 — 0,4Q và hàm tổng chi phí C(Q) — 5 4- 4Q + 0,6Q2. Biết doanh nghiệp đang theo đuổi mục đích lợi nhuận tối đa. Khi bán được 3 đơn vị sản phẩm thì doanh thu của doanh nghiệp là bao nhiêu đơn vị tiền tệ?
A. 31,5 B. 31,4 c. 31,3 D. 31,2;