ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
2.1 Đạo hàm và vi phân cấp một
2.1.3 Phân tích cận bién
Trong kinh tế học, việcsử dụng dạo hàm để ước lượng sự thay dổi của một đại lượng do tăng sản lượng lèn 1 đơn vị được gọi là phân tích cận biên. Giả sử một công ty đang dự định tăng sản lượng. Thông thường, công ty muốn có ít nhất một sự xấp xỉ của những thay dổi kết quả trong chi phí, doanh thu, và lợi nhuạn sẽ có dược.
Gọi C(Q) là tổngchi phí sản xuất Q đơn vị một loại sản phẩm. Nếu Qo là số đơn vị sản phẩm hiện đang dược sản xuất, thì dạo hàm
c'(Q„) = ,il£ia±4^(Q2)
được gọi là chi phi cận biên của việc sán xuat Qo đơn vị sản phẩm. Khi h = 1, ta có thê’ xem
C'(Qo) ô= SÍ.Q0 + 1) ~c(Qo) = C(Qo + 1) -C(Qo).
Như vậy, C(Qo + 1) — C(Qo) là chi phí để tàng mức sản xuất lên một đơn vị, từ Qo len Qo + 1, dược xấp xỉ bcfng C'(Qo)- Tóm lại, ta có
2.1 Đạo hàm và vi phân cấp một 75 Định nghĩa 2.6 (Chi phí cận biên). Nếu C(Q) là tổng chi phí sản xuất Q đơn vị một loại sản phàm thì chi phí cận biên của việc sản xuất Qo đơn vị sản phẩm là C'(Qo)z xấp xỉ chi phí cộng thêm do táng mức sản xuất lên một đơn vị sản phẩm, từ Qo lên Qo 4 1.
Tương tự, ta củng có
Định nghĩa 2.7 (Doanh thu cận biên và lợi nhuận cận biên). Giả sử R(Q) và I I(Q) tương ứng là doanh thu và lợi nhuận có được khi Q đơn vị một loại sản phẩm được sản xuất và bán ra. Khi Qo đơn vị dang được sản xuất và bán ra, thì:
• Doanh thu cận biên là R'(Qữ), xấp xỉ của R(Qo + 1) — K(Qo)/ doanh thu cộng thêm có được từ việc sản xuất thêm một dơn vị sản phẩm.
• Lợi nhuận cận biên là lỉ'(Qo), xấp xỉ của 1I(Q() T 1) - II(Qo), lợi nhuận cộng thêm co được từ việc sản xuất thêm một dơn vị sản phẩm.
Ví dụ 2.11. Một nhà sản xuất ước tính rang khi Q đơn vị sản phẩm dược sản xuất, tổng chi phớ sẽ là C(Q) = ôQ2 + 3Q 4- 98 đơn vị tiền tệ, và Q đơn vị này sẽ được bán với giá p = $(75 — Q) đơn vị tiền tệ trên một đơn vị sản phãm.
a) Tìm chi phí cận biên, doanh thu cận biên và lợi nhuận cận biên.
b) Sử dụng chi phí cận biên để ước tính chi phí sản xuất dơn vị sản phẩm thứ 9. Chi phí thực tế để sản xuát ra đơn vị sản phẩm thứ9 là bao nhiêu?
c) Sử dụng doanh thu cận bièn để ước tinh doanh thu có dược từ việc bán đơn vị sản phủm thứ 9. Doanh thu thực tế có dược từ việc bán đơn vị thứ 9 là bao nhiêu?
d) Sử dụng lợi nhuận cận biên dể ước tính lợi nhuận có được từ việc bán đơn vị sản phẩm thứ 9. Lợi nhuận thực tế có được từ việc bán đơn vị thứ9 là bao nhiêu?
Giải. a) Chi phí cận biên là C'(Q) = ịQ 4- 3. Doanh thu của nhà sản xuất khi bán Q đơn vị sản phẩm là
R(Q) = Q-P = Q. í|(75 - 0)1 = 25Q - |q2.
76 ĐẠO HĂM VÀ VI PHÂN Doanh thu cận biên là
R'(Q) =25-|q.
Lợi nhuận nhà sản xuất khi bán Q đơn vị sản phẩm là n(Q) = R(Q) -C(Q).
Do đó, lợi nhuận cận biên là
IT(Q) = R'(Q)-C'(Q) = 25-|q- (5Q + 3) = 22-^<2 b) Chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm thứ 9 là sự thay đoi trong chi phí
khi Q tăng từ8 lên 9 và có thể được ước lượng bằng chi phí cận biên tại Q = 8,
c'(8) = ^.8 + 3 = 5 (đơn vị tiền tệ).
Chi phí thực tế để sản xuất ra đơn vị sản phum thứ 9 là C(9) — c(8) = 5,13 (đơn vị tiền tệ), được ước lượng khá tốt bởi chi phi cận biên c'(8) = 5.
c) Doanh thu có được từ việc bán đơn vị sản phẩm thứ 9 được xấp xỉ bằng doanh thu cận biên tại Q = 8,
R'(8) = 25 — Ệ.8 = 19,67 (dơn vị tiền tệ).
Doanh thu thực tế có dược từ việc bán đơn vị thứ 9 là R(9) — R(8) = 19,33 (đơn vị tiền tệ).
d) Lợi nhuận có được từ việc sản xuất và bán đơn vị sản phẩm thứ 9 được xấp xỉ bằng lợi nhuận cận biên tại Q — 8,
n'(8) = R'(8) - c'(8) = 19,67 - 5 = 14,67 (dơn vị tiền tệ).
Lợi nhuận thực tế từ việc sản xuất và bán đơn vị sản phẩm thứ 9 n(9) - 11(8) = R(9) - C(9) - [R(8) - C(8)]
= R(9)-R(8)-[C(9)-C(8)]
= 19,33 — 5,13 — 14,2 (đơn vị tiền tệ).
2.2 Đạo hàm và vi phân cấp cao