Chương 3 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM 3 1 KHẢO SÁT HÀM Y = F(X) 118 3 2 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG THAM SỐ 125 3 3 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG TRONG HỆ TỌA DỘ CƯC 128 3 4 BẨITẬP 133 3 1 KHẢO SÁT HÀM Y = (X) 3 1 1 Tính đơn điệ.
Trang 1Chương 3
3.1 KHẢO SÁT HÀM Y = F(X) 118 3.2 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG THAM SỐ 125 3.3 KHẢO SÁT ĐƯỜNG CONG TRONG HỆ TỌA DỘ CƯC 128 3.4 BẨITẬP 133
3.1.1 Tính đơn điệu của hàm số
Định nghĩa 3.1. Cho hàm số f xác định trên \a; b]
• Hàm f được gọi là tăng trên [a; ờ] nếu
Vxi,X2 c [a;b],Xì < x2 ^>/(xi) < /(x2)
• Hàm f được gọi ỉà giảm trên [n; b] nếu
Vxlzx2 e [a;bị,Xf < x2 f(xỵ) > /(x2)
• Hàm f dược gọi là không giảm trên [a; b] nếu
Vxlzx2 € [a;b],Xị < x2 => /(Xi) < f(x2)
• Hàm f được gọi là không tăng trên [a; í?] nếu
Vxlzx2 e [«;fe],X! < x2 f(xẦ) >/(x2)
Trang 23.7 KHÁO SÁT HÀM Y - Ỉ'(X) 119
■ Diều kiện cần và dủ dê hàm không giảm
Định lý 3.1. Cho hàm f xác cỉịìihĩ trên ị«; bỊ và có đạo hàm trên (a;b) ! ỉàm f không giảm trên [a; b\ khí và chỉ khi f\x) > 0, Vx E (a;b).
Chứng minh Cho f tà hãm không giảm trên I íj ; b] Khi dó,
Vx c («;b),/'(x) f\.{x) = lim
Av >0'
/(-V i Ax)
Ax /(x)
Ngược lại, nến f'{x)
Lagrange, ta có
> (), V a ' (- (fl;b) thì với mọi Xj,x 2 t í'7;/’ ] và A'1 < x2 , do dịnh lý
/(x 2) /(X)) = /'(c) (-V2 Xj) >().
Vậy / là hàm không giảm trên
H Diều kiện cần và dỉi dê hàm tăng
DỊnh lý 3.2 Cho hàm f xác tỉịnh trên [fl;b| và khả vi trên (a;b) Hàm f lúng trên \íỉ; b\ khi và chỉ khi
t f'(x) > 0, ựx c (n; b}
2 và không tồn tại khoảng ( a ;/ ì ) c [íỉ;b| sao cho f'(x] — 0, Vx C (íx ;ỊT).
Chứng minh Cho flà hàm tăng trên [í7; b] Khi dó, theo dinh lý 3.1, ta có f'(x) > 0, Vx G (fi;/>) Nếu tốn tại khoảng (ft;/?) c [ít;/’ ] sao cho /''(x) (),V.v G (x;/3) thì sẽ có A|,A'2
(ft;/?) | u ; b] và X) < x 2 mà
f(x 2 }-f(xl ) -ft (c)(x 2 xj-o,
với c V ( a ' i ; x 2) G (ft;/3) Điều này vô lý vì f tăng trên [fỉ; bị.
Ngược lại, giả sừ 1 Vcà 2 dược thỏa mãn Khi ấy, với moi X], x2 e [n;b],X| < x 2, ta cần chứng minh f(x\) < /(x 2) Áp dung dịnh lý Lagrange, ta có
/(x 2) -/(X|) f'(c)(x2 - Xị) > 0,
với (- (a ' i ;.V2) c ” [ íí ; / ’ ], nghĩa là f(x\) < /(x2 ) Ăp dụng dính lý Lagrange cho hàm / trên
các đoạn | a ' i ; x ], ị.r;x 2J, ta thu dược
/(X)) < f(x) < f(x 2 }yx c (Xj;x2 ).
Do dó, nếu A( a '2) f(xj) thì /(x) = /( A-ị), Vx c (xi;x2),suy ra/'(.v) (),Vx ọ (X!;x2) Diều này mâu thuần vời diều kiện thứ 2 Vậy /(A )) < /(x2) □
Chú thích 3.1. Định lý 3.1 và 3.2 dược phát biểu tương tự cho hàm không tàng và hàm giảm
Ví dụ 3.1 Chứng minh rằng với mọi X > 0 ta có < ln(x 4- 1)
Trang 3120 ỨNG DỰNG DẠO HÀM
Giải Với X > 0, xót hàm /(í) — ln(/ -1-1) - trên [0;x], ta có
/Z(0 = Ị T 7 7~'/ -ì = /, ■■■ n > 0, Vt G (0;x)
J v 1 t + 1 (t -I- 1)2 (f +1)2 v ! Suy ra, /(0) < fix'), nghĩa là, 0 < ln(x -| 1) - —Ị- Vậy với mọi X > 0 ta có
< ln(* -I
!)-A I -L
3.1.2 Cực trị
■ Điều kiện cần của cực trị
Định lý 3.3. Cho f xác định trẽn D Nếu f có đạo hàm tại Xo c- D và đạt cực trị
tại Xo thì /'(xo) = 0
■ Diều kiện đủ thứ nhất của cực trị
Định lý 3.4. Cho hàm f xác định tại c và khả vi trẽn {a; b) 5 c, có thê’không khả
vi tại c.
T Nếu f'(x) < 0 trên (a; c) và f'(x) > 0 trên (c; b) thì f đạt cực tiểu lại c.
2 Nếu f'[x) > 0 trên (a; c) và f'(x) < 0 trên (c; b) thì f đạt cực đại tại c.
3. Nếu f'(x) không đổi dấu trên (a; b) \ {c} thì f không dạt cực trị tại c.
Chứng minh Ta chứng minh trường hợp thứ nhất, hai trường hựp còn lại lập luận tương
tự.
Với X G (í?;c), ta có/'(/) < 0, Vt e (x;c), dơ dó, theo dịnh lý 3.2, f giâm trên [x; c], suy
ra, f(x) > f(c). Tương tự, với X E (c; b), ta cũng có f(x) > /(c) Vậy f(x) > f(c),với mọi
X c (íj; b)\ {c}, nghĩa là,fdạt cực tiểu tại c □
■ Diều kiện đủ thứ hai của cực trị
Định lý 3.5 Cho hàm f có đạo hàm đến cấp 2 trên (a; b) 9 Xo và f'(xo) — 0.
1 Nếu /"(xo) < 0 thì f đạt cực đại tại XQ
2 Nếu /"(xo) > 0 thì f đạt cực tiểu tại
Xo-Chứng minh Công thức Taylor cấp hai véri phần dư Pcano tại điểm Xo là
/(x) /(Xo) + ^^(x - xo) 1- ^^(x - xo) 2 T 0((x - ^) 2 ).
Và dơ / z(xo) 0 nên suy ra
f (-^7 f (^o) •*•(}) f \2
L 2Ĩ \x ~ J
Trang 43.1 KHẢO SÁT HÀM Y f-(X) 121
Vì -•> 0 khi X —> *0 nên khi X gầnX(( thì f(x) — /(*(}) cùng dần với ["( xq ),từ đó, suy ra diều phâi chứng mình □
3.1.3 Tính lồi, lõm và điểm uốn.
■ Khái niệm hàm lồi, hàm lõm
Định nghĩa 3.2. Cho hàm f xác định và liên tục trôn (a;b) Hàm f dưực
gọi là hàm lõm trên (a;b) nếu VX],X2 (fl;b),Vt G [0;'l] ta có
f(tx-i + (1 f)x2) < t/(xi) + (1 - /)/(x2) (3.1)
Ý nghĩa hình học. Xét phần dồ thị của hàm f lồi trôn (rt;b) Với mọi X1,X2 c- (íỉ;b), giả sử Xì < x2/hai diem A1 (Xi;/(X])), A2(x2;/(x2)) thuộc
về phần dồ thị đang xét Khi ấy, với mọi X E (xi;x2), có i 6 Ị0;l] sao
cho X — tXì + (1 - t)x2 và điểm M(x; f(x^ỵ nằm trên phần dồ thị giới
hạn bởi A ỉ và Ai mà tẻì ký hiệu là cung A|Â2; còn điểm N(x, ;t/(xi) I (1_^ í)/(x2)) thì nằm trên đoạn thẳng Aj A2 mà ta gọi là dây trương cung
AjA?. Bất đẳng thức (3.1) cho thấy M nằm dưới N Vậy, cung A ị /12 nằm
dưới A-ị A2 (Hình 3.1).
rương tự, ta có
Định nghĩa 3.3 Hàm f, xác dịnh và liên tục trên (íỉ; ờ), được gọi là hàm
lồi trên (rt;b) nếu Vxi,x2 G («;&), Ví e [();!] ta có
/(ÍX1 + (1 - f)x2) > 1/(X1) + (1 - f)/(x2) (3.2)
Nhận xét 3.1 Trên («; b), hàm f lồi khi và chỉ khi f lõm
■ Điều kiện cần và đủ đê hàm lõm
Định lý 3.6. Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp 2 trên (a; b) Khi đó, hàm f lõm trên (a; ỉ?) khi và chỉ khi f"(x} > 0, Vx G (a; b).
Trang 5122 ỨNG DỤNG ĐẠO l ỈÀM
Chứng minh Với X],X2 G (í?;/ ’),X; < x 2, đặtX — ÌX ị + (1 t)x2,0 < t < 1 Khi ấy, ta có
A' — x 2 , A'1 — X
I - t — - —
X| - x2 X] - x2
l >o dó
(3.1) <> f(x) < 2 —ZL/-(y ,) (
X| x 2’ \| x 2 ’
<>/(x)(X| - x 2) < (x ■ X 2 )/(X|) I (x, - x)/(x 2)
<> (x - x2 )[/(x) /( a '| )] < (X1 x)[f(x2 ) /(x)|
f(D f(HÌ < /U) /(x 2 )
<-> A'ỉ 1 SX] -A' „ -x2 (3.3) Giả si ’r (3.3) diíng Ta chứng minh f''{x) > {}, Vx c {a;bỴ Trong (3.3), cho X - > X| ta thu
d ươc
X[ - x2
và cho X > x2 trong (3.3) ta cũng thu dược
< /'(*2) (3.5) 3’ 2 X|
Kết hợp (3.4) và (3.5) ta sê có / / (X|) < y'(x 2 ) Vậy hàmf' không giảm trên (íì;b) nên, theo
dinh lý 3.1, /‘ "(x) > 0, Vx €- (ti;b).
Ngược lại, già sử f"{x) > 0, Vx 6 (a;b) Với X C (xỏx 2 ), theo dinh lý Lagrange, ta có
/(v) /(V]) , /(x) y(x2) ,
■ ■' - f (< 1) và f (q )
X XI X A 2
vói A"1 < C| < X < C2 < x 2 Vì f"(x) > 0, Vx (?■ (ii;b) nên f' không giảm trên («;( ’ ), do dó
f'Oi) < / z(í' 2) v«ậy (3.3) dũng, nghĩa là (3.1) dúng n
Nhận xét 3.2 Do nhận xót 3.1, suy ra hàm f lồi trôn (đ;D) khi và chỉ khi
f'(x) < 0,Vx G (í?;b).
Dịnh nghĩa 3.4. Diem A4(-Vo;/(*(})) phân cách cung lõm và cung lồi của
dồ thị hàm f dược gọi la điểm Itốn của dồ thị.
Từ định lý 3.6, tít có
Định lý 3.7 Hàm f có đạo hàm đếtĩ cấp 2 trong lân cận X'() Khi ấ\Ị, nếu khi qua
3'0, f" itch dấu thì điểm (3'o;/(3-o)) là điểm uốn.
Cho hàm f : D -> R, có đồ thị là (C) Khoảng cách từ điểm
M(x; f(x)) ẽ (C) đến gốc tọa dộ O(();0) là \/x2 + [/(x)]2 Ta nói (C) có nhánh vô cực nếu córt (F R sao cho
lim ỵ/X2 -I- [/( t )]2 = I oo
X >í\- V
Trang 63.1 KĨĨÂO SÁT HĂM Y - 7-(X) 123
Giả sử (C) có nhánh vô cực Ta có
Định nghĩa 3.5 Dường thẳng A dược gọi là tiệm cận của (C) nếu khoảng
cách từ điếm M G (C) den A tiến tới 0 khi M di ra vô cực dọc theo dường
cong
Ta có một số kết quả sau:
1 Nốu lim/(x) — ±oo, hoặc lim /(x) — Leo, hoặc lim /(x) I oo, rt
X' >« X—XI 1 X Xì 1
hữu hạn, thì X = a là đường tiệm cận song song với trục tung, dược
gọi là tiệm cận dứng
2 Nếu lim fix') ~ a hoặc lim /(x) a, a hữu hạn, thì y a là
X > I co X > co
dường tiệm cận song song với trục hoành, được gọi là tiệm cận ngang
3 Nếu lim f(x) 4:00 thì điều kiện cần và dủ để dưừng thẳng A, có
X >J oo
phương trình y — ax + b, là một tiệm cận của (C) là
lim l/(x) (ax 4- b)] — 0 hoặc lim Ị/(x) - (ax 4- — 0
X > I co X > co
Khi ấy các hệ số a, b được xác dịnh như sau:
a— lim f b — lirp (fix) ítxị (3-6)
X—>J:CO X X H co ■
Ngược lại, nếu hai giới hạn trong (3.6) cùng tồn tạj hữu hạn thì y -
(IX 4- b là tiệm cận xiên của (C).
Chú ý 3.1 Nếu thay X —> ±oo bởi X —> 4-00( oo) thì dường thẳng
y — ax 4- b được gọi là tiệm cận xiên bên phải (bên trái).
Trang 7124 L/X'G DUNG DAO IỈĂM
Ví dụ 3.2 Tim các đường tiệm cận của đường cong 1/ — ^x(x - 1 )2
Giải Hàm xác định với mọi X nên dồ thị không có tiệm cận dứng Vì
Jim I/ ±co nôn dồ thị không có tiệm cận ngang, có thể có tiệm cận
y \/x(x - l)2 lim — — lim ——— -— - 1
X—>J.CƠ X X > I oo X
lim (i/ — x) lim I \ x(x — l)2 - X
X-Hoov ' x-ữcoự 7
" ’ X-’>Too (_ 1)2)2 ,f xsỵx(x._ 1)2 4 X2 3■
Vậy, dường cong có tiệm cận xiên hai bân là V — X —
Ví dụ 3.3 Khảo Séìt sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = ỵ/ÃỴx '1 )2
Giải 'ĩầ thực hiện như sau:
1 Miền xác dịnh D — R.
2 Sự biến thiên và cực trị Ta có
Ụ x2(x — 1) Tại X — 0 thì
lim ygl2_y(°)
X >0 X 0
và tại X = 1 thì
V( A ) - I)
x->14 X — 1
Ta có v' — 0 <=> X = i
_ vM* - l)2 _
= lim - v -— = 4 oo
X >0 X
</x(x - l)2 _ lim - - -—— =
L >1 ± X - 1
3 Tính lồi, lõm và diêm uốn Dạo hàm cấp 2:
ý'
2
9
Ta có
> 0 < ■> 0 < X ■/- 1
Do đó, khi X < 0 đồ thị lõm; khi 0 < X 7^ 1 dồ thị lồi Vậy điểm 0(0; 0) là điểm uốn của đồ thị
Trang 83.2 KHÁO SÁT ĐƯỜNG CONG THAM số 125
, 2
4 Giới hạn và tiệm cận Dô thị có một tiệm cận xiên là ỵ X —
5 Bảng biến thiên và đồ thị Mình 3.2
Hình 3.2: Dồ thị hàm I/ \/x(x - 1 )2
3.2.1 Phương trình tham số của đường cong
Ta xét hệ
I ?/ - ự-ơ).
với t c [ít; p] Khi t thay đổi trong [a; Ị3], diem ự>(/)) vẽ nên dường cong (C) trong mặt phẳng tọa độ Hệ (3.7) dược gọi là phương trình tham
số của dường cong (C)
Y2 1,-2
Ví dụ 3.4 Ellipse I ~ — 1 có phương trình tham số là
/c[0;27r)
I/ osin/, L
Trang 9126 ỨNG DỤNG DẠO ỈỈĂM
Ví dụ 3.5 Xét diêm M nằm trên dường tròn bán kính a > 0 lăn không trượt trên một dường thímg Tim quỹ dạo của M
Giảỉ Giả sử đường tròn lăn trên trục Ox, theo hướng dương, và vị trí ban dầu của M trùng với gốc G
'lại vị trí mới cúa dường tròn, điểm tiồp xúc giữa dường tròn và Ox là
N và M có tọa dộ như hình vẽ Vì lăn không trượt nên dộ dài cung
MN băng ON Gọi / là tâm của dường tròn, dặt i — NỈM Tọa dộ của M
dược xác dinh như sau:
r X OF - ON - FN -.-MN -MG - at - fl sin /,
ị 1/ FM ■ ■ NG - ỈN — ỈG a a cost.
Vậy quỹ dạo của M có phương trình tham số là
( X — a(t sin l), [ y — a( 1 — cos t).
Quỹ dạo của M dược gọi là cycloide Khi dường tròn lăn dúng một vòng thì phần quỹ đạo của M dược gọi là một nhịp của cycloidc
Tương tự khi khảo sát dường cong cho dưới dạng y /(*), ta có thổ khảo sát dường cong cho dưới dạng tham số theo trình tự sau dây:
Bước 1: lìm miền xác dịnh, các diểm gián doạn của hai hàm <p(t), Ipựy
Nhận xét tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn (nếu có)
Bước 2: Xét chiều biến thiên của X, 1/ theo t bằng cách xét dấu <p'(ỉ),
Chú ý *7'7-V•
7 ! 1/7' (í)
Trang 103.3 KHÁO SÁT DƯỜNG CONG TRONG HỆ TỌA DỘ cực 127
Bước 3: lìm các dường tiệm cận của dường cong
• Nếu lim </>(/) a, lim ự>(/) — Too thì dường cong có tiệm cận
í >/(1 í dứng là X a
• Nếu lim ÍỊ>(J} — ±oo, lim ự>(/) b thì dường cong có tiệm cận
t >lị> t
ngang là 1/ b.
• Nốu lim <p(ỉ) 4:00 1. lim ựí(f)z và
í->í0 t ■tíị’,
lim -^-777 — «, lim |ự>(/) — 'b
ĩ >1(, cp{t) ĩ >íA
thì dường cong có tiệm cận xiên 1/ ax -p b
Bước 4: Căn cứ vào các kết quả trên ta võ dường cong Dể vĩ' dường cong
dược chính xác, ta cần tìm các diêm dặc biệt và tiếp tuyến vời dường cong tại các diểm dặc biệt này Chú ý hệ số góc của tiếp tuyến tại một diểm của đường cong chính là i/(x) Nếu cần biết tính lồi, lõm
ta tính đạo hàm cấp hai của ly theo X
Ví dụ 3.6 Khảo sát và vẽ dồ thị cùa hàm số cho bởi phương trình tham số
ẹ>(0.
Giải Ta thực hiện theo các bước sau
Bước I: Miền xác định D — R \ { 1}.
Bước 2: Ta có
1 - - 2í3 1(2 -■ í3) ự>zơ)
í/(Ọ
/(2 /3)
Bước 3: Ta có lìm (p(f) — 4-00, limji/j(/) ] ro và
t linTi ÍÉm Ji11}/ " lG l jrr ỉ< ( ìMOI 1
M ll t- > - P t > 1 1
nên đường cong có tiệm cận xiên Ị/ - X 1
Bước 4: Từ các bước trên, ta có bảng biến thiên:
Đồ thị (xem hình 3.4)
Trang 11128 ỨNG DỰNG DẠO HĂM
3.3.1 Hệ tọa độ cực
ĩ rong mặt phang, chọn một diểm o cố dịnh, dược gọi là cực, và tia Ox vói vectơ dơn vị otf dược gọi là trục cực Hệ tọa dộ được xác định bởi cực
và trục cực gọi là hệ tọa độ cực
Vị trí một diem M trong mặt phẳng được xác định bời OM, nghĩa là được xác dịnh bởi
ự> = (Ox, Of) và r = ỊOA4Ị,
trong dó, Ot là tia cùng hướng với OM Ta gọi (p là góc cực và r là bán kính cực Chó ý rằng (p là một góc lượng giác, có vô số số do, các số đo sai khác
nhau k.2ĩĩ, k C: 2^ Cặp số (r, (p) dược gọi là tọa dộ cực của M.
Dê biểu diễn được tất cả các điểm của mặt phang, rõ ràng ta chỉ cần
r > 0 và 0 < (p < 2tĩ Khi dó, ứng với mỗi diem M 7^ o có một và chỉ một cặp (r, (p), và ngược lại Riêng với diểm o thì r = 0 và (Ọ tùy ý
Trang 1233KHAO SÁT ĐƯỜNG CONG TRONG HỆ TỌA ĐỘ cực 129
Hình 3.5: Liên hệ giữa tọa độ Descartes và tọa độ cực
»Xét mặt phẳng với hệ tọa độ cực Ta đưa vào dây hệ tọa độ Descartes sao cho gốc tọa độ trùng với cực và phần dương của trục hoành trùng với trục cực Gọi (x;y) và (r; ẹ>) lần lượt là tọa độ Descartes và tọa độ cực của
điểm M, ta có
í X - r cos <p,
và ngược lại,
r
Trong (3.9), ta quy ước neu X — 0 thì (p — -ị hoặc (p — tùy vào dấu của t/
Ị 1 V3 \
Ví dụ 3.7 Diem M có tọa độ Descartes là I -7; —— Xác định tọa độ cực
cùa M
Giải Ta có r 1 và
tan (p — /- 7T, 47T
r V _ _ 71 7Ĩ X
ỉa chọn cp = ■— vì sin — cùng dâu với y =
là
3.3.2 Hệ tọa độ cực mở rộng
Khi điều kiện r > 0,0 < (p < 2 tt được bỏ qua, nghĩa là, r và (Ị) được lấy giá trị bất kỳ, ta có hệ tọa độ cực mờ rộng Khi dó, ựiột diểm trong mặt phẳng với hộ tọa độ cực mớ rộng có nhiều tọa độ cực khác nhau
Ta quy ước cách xác định điểm có tọa dộ cực (r, (p) như sau: Vẽ tia Of
tạo với tia Ox một góc q> Trên tia Ot kéo dài, ta lấy Ađ sao cho OM = r
Trang 13130 ỨNG DỤNG DAO HĂM
Ví dụ 3.8 Cho điểm M có tọa dộ cực là -1; 4zr \ - Vẽ M.
Giải Vẽ tia Oi tạo với tia Ox một góc Vì diem M cần vẽ thỏa OM 1 nên trên phần tia đối của Oi ta ấy một điểm cách o một khoảng có độ dài bằng 1, diem dó chính là M
3.3.3 Dường cong trong hệ tọa độ cực mở rộng
Xét dẳng thức
hoặc là
’lập hợp các điểm M(r; (?) thỏa (3.10) hoặc (3.11), nếu có, sẽ tạo nên một dường cong trong mặt phẳng với hệ tọa độ cực Ta gọi (3.10) và (3.11) là phương trình dường cong trong hệ tọa dộ cực mở rộng
Ví dụ 3.9 1 r 1 là dường tròn tâm o bcín kính bằng 1
2 (? Ý là đường thăng mang tia ot, tia Oi tạo với trục cực một góc dương bàng —
Ví dụ 3.10 Chuyển phương trình dường tròn trong hệ tọa độ Descartes thành phương trình dường tròn trong hệ tọa dộ cực
1 (x rt)2 H/2 — á2,a > 0
2 X 2 I- (i/ — b)2 - b2,b > 0
Giải 1 Thay X rcvs(?,y — r sin (p ta thu được r 2acos(p, là
phương trình đường tròn trong hệ tọa dộ cực có tâm (a;0) và biín kính bằng a.
2 Tương tự, r 2b sin (ị), b > 0 là phương trình dường tròn tâm ỉ^b; — J bán kính bằng b trong hệ tọa dộ cực
3.3.4 Khào sát dường cong trong hệ tọa dộ cực mở rộng
Cho dường cong r — /(<jơ) Để khảo sát đường cong này ta tiến hành theo các bước sau:
Bước 1: lìm miền xác định, tính tuần hoàn, tính đối xứng