ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN
2.5 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và ứng dụng trong kinh tế
Định nghĩa 2.11. Cho hàm số f có miền xác định là tập D và c E D.
• Nếu f(c) > /(x) với mọi X 6 D thì f(c) được gọi là giá trị lớn nhất của f, dược ký hiệu là maxxGj)f (x).
• Nếu f(c) < f(x) với mọi X G D thì được gọi la giá trị nhỏ nhất củaf, được ký hiệu là mĩnveữ/(x).
Khi miền xác định của hàm số f là đoạn [a;b], Định lý 1.20 kết luận rằng: Nếu hàm số /(x) liên tục trên [a; b] thì /(x) đạt giá trị nhỏ nhất và lớn nhất trên [a; b], nghĩa là, tồn tại X(), X1 trong đoạn [a; b] sao cho
f(xo) < f(x) < f(xì)' vói mọi X e [a;b].
Cách tìm Xo và X1. Nếu Xo G (rt;b) thì theo Định lý Fermat y'(*o) = 0;
tưưng tự, nếu X1 G (ô;b) thỡ /'(xi) = 0. Vậy, hàm số f (x) chỉcú thế đạt giỏ trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các điểm nghi ngờ trong (n;b) hoặc tại a, b.
Nếu hàm số /(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng I (hữu hạn hoặc vô hạn) ta có kết quả thường dùng như sau:
Định lý 2.16. Cho hàm số f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng I và c là điểm nghi ngờ duy nhất củaf(x) trong I.
ĩ. Nếu /"{c) < 0 thĩ f(c} là giá trị lớn nhất cùa f(x) trên 1.
2. Nếu fH(è) > 0 thì f(c) là giá trị nhỏ nhất của f(x} trên I.
Ví dụ 2.29 (Bài toán cực đại hóa doanh thu, lợi nhuận). Một công ty cung cấp văn phòng phẩm bán Q cây bút lông bảng trong một năm với giá p (1000VND) trên một cây, có hàm giá - cầu và hàm tổng ch> phí là P = 10 - 0,001Q và C(Q) = 5000 + 2Q (1000VND).
1. Hãy tìm Q đểdoanh thu đạt giá trị lớn nhất. Khi đó, tìm giá trị doanh thu, và giá mỗi cây bút.
2. Hãy tìm mức sản lượng Q để lợi nhuận lớn nhất; khi đó, tính giá trị lợi nhuận và giá p.
3. Giả sử công ty phải đóng thuế 2000VND mỗi cây bút mà công ty sân xuất. Háy tìm mức sản lượng Q để lợi nhuận lớn nhất; khi đó, tínly giá trị lợi nhuận và giá p.
90 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÁN Giải. 1. Doanh thu hàng năm của công ty là
R(Q) = <2 p = <2(10 - 0,001.<2) = 10<2 - 0,001.Q2. Giá và lượng cầu phải không âm, do đó Q > 0 và
10 - 0, 001.Q > 0 <=> Q < 10000.
Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số R(Q) trên đoạn [0; 10000]. Ta có R'(Q) = 10 - 0,002.Q
R'(Q) = 0 10 - 0,002.Q = 0
Q = 5000.
Hàm doanh thu có duy nhất một điểm nghi ngờ Q = 5000 trong đoạn [0; 10000] và do
R"(Q) = -0,002 < 0 với mọi Q, nên giá trị lớn nhất của R(Q) là
R(5000) = 25.000 (1000VND).
Khi đó, từ hàm giá - cầu, giá một cây bút là
p = 10 - 0,001.5000 = 5 (1000VND).
Vậy, công ty sẽ có doanh thu lớn nhất là 25.000.000VND khi bán được 5000 cây bút với giá 5000VND một cây.
2. Lợi nhuận hàng năm của công ty là
II(Q) = R(Q)-C(Q) = 8Q-0,001.Q2 -5000.
Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số I I(<2) trên doạn [0; 10000]. Ta cỏ II'ô2) = 8-0,002.(2
n'(Q) = 0 8 - 0,002.Q = 0
Q = 4000.
Hàm lợi nhuận có duy nhất một điểm nghi ngờ Q = 4000 trong đoạn [0; 10000], và do
n"(Q) = -0,002 < 0 với mọi Q,
2.5 Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất và ứng dụng trong kinh tế 91 nên giá trị lớn nhất của 1 Í(Q) là
ỉ 1(4000) = 11000 (1000VND).
Khi đó, từhàm giá - cầu, giá một cây bút là
p = 10 - 0,001.4000 = 6 (1000VND).
Vậy, công ty sẽ có lợi nhuận lớn nhất là 11.000.000VND khi sản xuất 4000 cây bút và bán với giá 6000VND mỗi cây.
3. Gọi T(Q) là tiền thuế hàng năm của công ty khi sản xuất Q cây bút, ta có T = 2.Q. Do đó, lợi nhuận hàng năm của công ty là
n(Q) = R(Q) - C(Q) - T(Q) = 6Q - 0,001.Q2 - 5000.
Ta tìm giá trị lớn nhất của hàm số II(Q) trên đoạn [0; 10000]. Ta có H'(Q) = 6 —0,002.Q
n'(Q) =0 6 - 0, 002.Q = 0
Q = 3000.
Hàm lợinhuận có duy nhấtmột điểm nghingờ Q = 3000 trong đoạn [0; 10000], và do
n"(Q) = -0,002 < 0 với mọi Q, nên giá trị lớn nhất của n(Q) là
I I(Q) = 11(3000) = 4000 (1000VND).
Khi đó, từ hàm giá - cầu, giá mộtcây bút là
p = 10 - 0,001.3000 = 7 (1000VND).
Vậy, công ty sẽ có lợi nhuận lớn nhất là 4.000.000VND khi sản xuất 3000 cây bút và bán với giá 7000VND mỗi cây.
Ví dụ 2.30 (Bài toán xác định mức thuế để thu được tổng thuế cực đại).
Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm có hàm cầu và hàm tổng chi phí là:
Qd = 800 - p và C(Q) = Q2 + 200Q + 100.
Biết doanh nghiệp đang theo đuổi mục đích lợi nhuận tối đa.
92 DẠO HÀM VÀ Vỉ PHÂN 1. Nếu doanh nghiệp cho rằng mức thuế định trên một don vị sản phẩm là t (giá trị của t chưa biết) thì doanh nghiệp sẽ ân định mức sản lượng như thế nào để lợi nhuận lớn nhất theo t?
2. Tim t để thuế thu dược từ doanh nghiệp này là lớn nhat.
3. Nếu thị trường cần có tối thiểu 125 don vị sản phẩm của doanh nghiệp này thì mức thuế trên một don vị sản phẩm tối đa là bao nhiêu?
Giải.
1. Tìm mức sản lượng theo đem vị thuế t để lợi nhuận lớn nhất.
• Để doanh nghiệp tiêu thụ hết hàng thì
Q = Qd^Q = 800 p = 800 - Q.
• Doanh thu của doanh nghiệp
R(Q) = P-Q = (800 - Q)Q = 800Q - Q2.
• Tổng thuế doanh nghiệp phải nộp T — Q.t.
• Lợi nhuận sau thuế của doanh nghiệp H(Q) = R(fQ)-c(Q)-T
= 800Q - Q2 — (Q2 T 200Q 4- 100) - Q.t
= -2Q2 + (600 - t)Q - 100.
• Tìm Q theo t đê lợi nhuận ĨI(Q) điỊt giá trị lớn nhất. Bởi vì n'(Q) = -4Q + (600 - 0 nên
I l'ô2) = 0 -4Q + (600 - t) = 0 <=> Q = 6()(LzJ.
Ta lại có 1 I"(Q) = —4 < 0 với mọi Q nên hàm lợi nhuận 11 dạt cực đại tại Q = bOl’t Mà ứng với mỗi giá trị của t, hàm lợi nhuận n chí có một điểm dừng Q = 60^~z nên II đạt giá trị lớn nhất tại điểm dừng này.
2. Khi doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất, tong thuế T = Ot = 600 ~ 1 t = 6Q0f ~ f2
4 4
2.6 Độ co gian của cầu theo giá có đạo hàm
600 - 2t 4 Ta có
T' = 0 <=> t = 300,
và do T" = —1 <0 với mọi t nên hàm tổng thuế đạt cực đại tại t = 300. Mà t = 300 là điểm dừng duy nhất của T nên T đạt giá trị lớn nhất tại đây. Vậy, mức thuế định trên một đơn vị sản phẩm là t — 300 thì thuế thu được từ doanh nghiệp này là lớn nhất.
3. Doanh nghiệp có lợi nhuận lớn nhất thì Q = -°4 t. Đê cung cấp đủ nhu cầu tối thiểu 125 sản phẩm cho thị trường thì
Q > 125 600 - t
" 4 t < 100.
Tóm lại, đê’ doanh nghiệp cung cấp đủ nhu cầu tối thiểu của thị trường thì mức thuế trên một đơn vị sản phẩm tối đa là 100.