Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số.. Nếu chuỗi số hội tụ, hãy xác định chuỗi số hội tụ tuyệt đối hay hội tụ có điều kiện... Chứng minh rằng chuỗi số +∞ X n=1 anbn hội tụ tuyệt đối... Ch
Trang 11 Chuỗi số 1
BÀI TẬP TOÁN CAO CẤP 2
1 CHUỖI SỐ
1.1 Tính tổng (nếu có) của các chuỗi số sau
(a)
+∞
X
n=1
1
+∞
X
n=1
2n + 1
n2(n + 1)2
(c)
+∞
X
n=1
3n2+ 3n + 1
+∞
X
n=1
n (2n − 1)2(2n + 1)2
(e)
+∞
X
n=1
1
+∞
X
n=1
1 n(n + 1)(n + 2)
(g)
+∞
X
n=1
ln 2n − 1
2n + 1
(h)
+∞
X
n=1
ln n2+ 2n + 1
n2+ 2n
(i)
+∞
X
n=2
n
+∞
X
n=1
(−1)n−1n(n + 1)2n + 1
(k)
+∞
X
n=1
2n+ n2+ n
+∞
X
n=1
n
2n
(m)
+∞
X
n=1
sinn!.π
+∞
X
n=1
sin 1
2n+1cos 3
2n+1
(o)
+∞
X
n=0
1
p2 n
− p− 2 n với 0 < p < 1 (p)
+∞
X
n=1
arctan 2
n2
Trang 21.2 Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số dương sau (sử dụng các định lý so sánh và tiêu chuẩn tích phân)
(a)
+∞
X
n=1
1 p
n +√
+∞
X
n=1
1
nln n
(c)
+∞
X
n=2
1
+∞
X
n=2
1
n − lnn + 1
n
(e)
+∞
X
n=1
1
+∞
X
n=1
1
√
narctan
1
n23
(g)
+∞
X
n=1
n
1 − cos 1
n
(h)
+∞
X
n=2
1 n.(ln n)p với p ∈ R
(i)
+∞
X
n=2
1
+∞
X
n=2
1
n ln n.[ln(ln n)]2
(k)
+∞
X
n=1
1
√
n ln(1 +
√
+∞
X
n=1
1
n1+1/n
(m)
+∞
X
n=1
e1/n
+∞
X
n=2
√
n + 1 −√n − 1
n45
(o)
+∞
X
n=1
(ln n)2
+∞
X
n=1
n ln n (n + 1)3
(q)
+∞
X
n=1
arctan n
n√
+∞
X
n=1
ln
cos 1 n
(s)
+∞
X
n=1
4n− 3n
+∞
X
n=0
3n+ 4n
4n+ 5n
(u)
+∞
X
n=1
(√n
+∞
X
n=1
1 − n sinn1
p
với p ∈ R
(w)
+∞
X
n=1
(n!)3
+∞
X
n=1
n + (−1)n.√
n
n2+ (−1)n.n + 1
Trang 31 Chuỗi số 3 1.3 Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số dương sau
(a)
+∞
X
n=0
n4 + n2+ 1
+∞
X
n=0
n ln n
2n
(c)
+∞
X
n=1
nn
+∞
X
n=1
(2n + 1)!
5n.(n!)2
(e)
+∞
X
n=1
+∞
X
n=1
(3n)!
n!.(n + 1)!.(n + 2)!
(g)
+∞
X
n=1
(√
+∞
X
n=1
1 −n1
n
(i)
+∞
X
n=0
n2+ 1
n2+ n + 1
n
(j)
+∞
X
n=1
2n + 1 2n + 3
3n 2
(k)
+∞
X
n=1
(n!)n
+∞
X
n=1
(n!)n
nn 2
(m)
+∞
X
n=1
nn
+∞
X
n=1
1.3.5 (2n − 1)
3n.n!
(o)
+∞
X
n=1
2n.n!
5.8.11 (3n + 2) (p)
+∞
X
n=1
12.32.52 (2n − 1)2
3n.(2n)!
(q)
+∞
X
n=1
n3[√
2 + (−1)n]n
+∞
X
n=1
4.7 (3n + 1) n!
(s)
+∞
X
n=1
pn + 1
pn
n 2
+∞
X
n=1
nn+1/n
(n + 1/n)n
1.4 Khảo sát sự hội tụ của các chuỗi số Nếu chuỗi số hội tụ, hãy xác định chuỗi số hội tụ tuyệt đối hay hội tụ có điều kiện
(a)
+∞
X
n=1
(−2)n
+∞
X
n=0
3 − n
4 + n
n 2
(c)
+∞
X
n=1
(−1)ntan 1
+∞
X
n=1
(−1)n n
n2+ 1
Trang 4+∞
X
n=2
(−1)n+1
+∞
X
n=1
(−1)n+1
(arctan n)n
(g)
+∞
X
n=2
+∞
X
n=2
(−1)n ln n
n − ln n
(i)
+∞
X
n=1
(−1)n(
q
n +√
+∞
X
n=1
(−1)n(n−1)/2.n
2015
6n
(k)
+∞
X
n=2
(−1)n
[n + (−1)n]p, với p ∈ R (l)
+∞
X
n=0
(−1)n
ln(en+ e− n)
(m)
+∞
X
n=1
(−1)n
n(1 + 1/2 + 1/3 + · · · + 1/n) (n)
+∞
X
n=1
(−1)n
n1+n p, với p ∈ R
1.5 Cho dãy số {an} sao cho chuỗi số
+∞
X
n=1
a2n hội tụ Chứng minh rằng chuỗi số
+∞
X
n=1
an
n hội tụ tuyệt đối
1.6 Cho hai chuỗi số X+∞
n=1
a2n và
+∞
X
n=1
b2n cùng hội tụ Chứng minh rằng chuỗi số
+∞
X
n=1
anbn hội tụ tuyệt đối
1.7 Cho hai chuỗi số dương
+∞
X
n=1
anvà
+∞
X
n=1
bncùng hội tụ Chứng minh rằng chuỗi số
+∞
X
n=1
pa2
n+ b2 n
cũng hội tụ
1.8 Cho chuỗi số
+∞
X
n=1
pa2
n+ b2
n hội tụ Chứng minh rằng các chuỗi số
+∞
X
n=1
an và
+∞
X
n=1
bn hội tụ tuyệt đối
1.9 Cho hai chuỗi
+∞
X
n=1
a2n và
+∞
X
n=1
b2n cùng hội tụ Chứng minh rằng chuỗi số
+∞
X
n=1
(an− bn)k, với
số tự nhiên k ≥ 2, cũng hội tụ
Trang 52 Chuỗi hàm số 5
2 CHUỖI HÀM SỐ
2.1 Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau
(a)
+∞
X
n=1
2nxn
+∞
X
n=0
(−1)nn!(x − 1)n
(c)
+∞
X
n=0
(x + 1)n
+∞
X
n=1
(x − 2)n
n4n
(e)
+∞
X
n=1
(−1)n−1(x + 2)n
+∞
X
n=1
(x − 3)n
n2
(g)
+∞
X
n=1
(4x − 1)n
+∞
X
n=2
(−1)n(x − 3)2n
√
n − 1
(i)
+∞
X
n=1
(−1)n
1 − n1
1
+∞
X
n=1
1 − x
1 + x
3n+2
(k)
+∞
X
n=1
(−1)n.3n+1
4n+2√3
n + 1(x + 1)
+∞
X
n=0
(x + 3)n
4n+2√4
n3+ 1
(m)
+∞
X
n=1
(−1)n+12n+1(x − 5)n
+∞
X
n=1
(−1)n(x − 2)n
3n+1√3
n4+ n2+ 1
(o)
+∞
X
n=0
n + 1
4n
x
1 − x
n
(p)
+∞
X
n=1
n + 1 3n + 2
n
(x − 5)2n
(q)
+∞
X
n=1
1 (n + 1) ln(n + 1)
x + 1 2
n
(r)
+∞
X
n=1
xn(n−1)2 n!
(s)
+∞
X
n=2
(−1)n(x + 2)n
3
√
+∞
X
n=1
n(n + 1)
2n− 1 (x + 1)
2n−1
(u)
+∞
X
n=1
(−1)n−14n
(2n − 1)√5n
x + 1
3 − x
2n−1
(v)
+∞
X
n=0
(−1)nx2n+1
(2n + 1).(2n + 1)!
Trang 62.2 Khai triển Maclaurin của
(a) f (x) = cos2x (b) f (x) = √3
8 + x (c) f (x) = x2
2009 + x 2.3 Khai triển Taylor của các hàm sau tại c
(a) f (x) = 1
x2+ 3x + 2, c = 2
(c) f (x) = 1
1 − x2, c = 3
Từ đó tính f(2010)(c)
(d) f (x) = x + 1
x2− 5x + 6, c = 5 Tính f
(2012)(5)
(e) f (x) = √4
16 + x2, c = 0 Tính f(2020)(0)
(f) f (x) = 3x − 5
x2− 4x + 3, c = 0 Tính f
(2015)(0)
2.4 Chứng minh các chuỗi sau hội tụ đều trên B
(a)
+∞
X
n=1
xn
+∞
X
n=1
1
en(x2+ 1), B = R
(c)
+∞
X
n=1
1
2n−1
2x + 1
x + 2
n
, B = [−1, 1]
2.5 Cho chuỗi
+∞
X
n=1
(xn− xn−1); Tìm miền hội tụ A của chuỗi Chứng minh chuỗi trên không hội tụ đều trên A
2.6 Cho chuỗi
+∞
X
n=1
1
√
n(x
2n
− x2n−1); Tìm miền hội tụ A của chuỗi Chứng minh chuỗi trên hội
tụ đều trên A
2.7 Xét sự hội tụ của các chuỗi sau trên B
(a)
+∞
X
n=1
(−1)n
+∞
X
n=1
(−1)nxn
3
√ 8n3− 12, B = [0, 1]
2.8 Tính các chuỗi hàm sau trên miền (c − r, c + r), với c là tâm và r là bán kính
(a)
+∞
X
n=1
(−x)n
+∞
X
n=1
1 + 2
3n
xn
(c)
+∞
X
n=1
x2n+2
(2n + 1)(2n + 2)
Trang 73 Phương trình vi phân cấp một 7
3 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP MỘT
3.1 Giải các phương trình vi phân có biến phân ly
(a) y′
cos x = y
ln y (b) y′
+ sin(x + y) = sin(x − y)
(c) 5ex
tan ydx + (1 − ex)(tan2y + 1)dy = 0
(d) (x − 1)e1+x2tan ydx − e2xdy = 0; y(1) = π
2 (e) y′
+ cos(x + 2y) = cos(x − 2y); y(0) = π4
(f) y′
=p2x + y − 3
(g) y′
= 3
p(4x − y + 1)2
(h) y′
= x − y − 1
x − y − 2.
(i) y′
= sin(y − x − 1)
(j) x2(y3+ 5)dx + (y3+ 5)y2dy = 0; y(0) = 1
(k) (1 + e2x)y2dy = exdx; y(0) = 0
(l) xydx + (1 + y2)√
1 + x2dy = 0; y(√
8) = 1
(m) y′
= −3x + 3y − 12(x + y) ; y(0) = 2
(n) y =
ˆ x
0
ydx + 1
(o) y = x2+
ˆ x 1
y
xdx
(p) y = 2
ˆ x
0
√ydx.
3.2 Giải các phương trình vi phân đẳng cấp
(a) xy′
lny
x = x + y ln
y
x
Trang 8(b) y′
= 2xy
x2− y2
(c) x siny
x.y
′
+ x = y siny
x (d) y′
= eyx + y
x + 1.
(e) xy′
= x siny
x+ y.
(f) xy′
+ x tany
x − y = 0
(g) x2y′
+ y2+ xy + x2 = 0
(h) xydy − y2dx = (x + y)2e− y
xdx
(i) (x2+ xy)y′
= xpx2− y2+ xy + y2 (j) xy′
= y lny
x; y(1) = 1.
(k) (√xy − x)dy + ydx = 0; y(1) = 1
(l) (y +px2+ y2)dx − xdy = 0; y(1) = 0
(m) (x − 2y + 3)dy + (2x + y − 1)dx = 0
(n) y′
= x + y − 3
1 − x + y.
(o) (x + y − 1)2dy = 2(y + 2)2dx
3.3 Giải các phương trình tuyến tính cấp một
(a) y′
−1 + x2x 2y = 0
(b) y′
+ y = 4x
(c) y′
+ 2xy = xe− x 2
(d) y′
+ xy
1 − x2 = arcsin x + x
(e) y′
−x ln xy = x ln x; y(e) = 1
2e
2 (f) y′
− 2xy = 3x2− 2x4
(g) y′
+ y cos x = e− sin x
Trang 93 Phương trình vi phân cấp một 9
(h) y′
+ y tan x = sin 2x; y(0) = 1
(i) y′
− y
x = x
2 (j) y′
cos2x + y = tan x; y(0) = 0
Giải các phương trình tuyến tính cấp một khi xem x là hàm theo y
(k) y′
(x + y2) = y
(l) (2xy + 3)dy − y2dx = 0
(m) 2ydx = (2y2
− x)dy
(n) ydx − (x + y2sin y)dy = 0
(o) (1 + y2
)dx = (arctan y − x)dy
(p) y′√
1 − x2+ y = (arctan y − x)dy
(q) y′
2y ln y + y − x; y(1) = 1.
3.4 Giải các phương trình Bernoulli sau
(a) y′
+ y
x = x
2y4 (b) y′
+ y = e12 x√y.
(c) y′
+ 2xy = 2x3y2
(d) y′
+ 2y = exy2
(e) xy′
+ y = y2ln x
(f) xy′
− y(2y ln x − 1) = 0
(g) y′
− 2y tan x + y2sin2x = 0
(h) x2y2y′
+ xy3 = 1
Giải các phương trình Bernoulli khi xem x là hàm theo y
(i) ydx + (x + x2y2)dy = 0
(j) y′
x2cos y + sin 2y
(k) xy′
+ y = 2x2y ln y.y′
Trang 10
(l) y′
+ 3x
2y
x3+ 1 = y
2(x3+ 1) sin x; y(0) = 1
(m) 3dy + (1 + 3y3)y sin xdx = 0; yπ
2
= 1
(n) (y2+ 2y + x2)y′
+ 2x = 0; y(1) = 0
(o) ydx + (x −1
2x
3y)dy = 0; y 1
2
= 1
3.5 Giải các phương trình vi phân toàn phần
(a) (x2
+ y)dx + (x − 2y)dy = 0
(b) (ex+ y + sin y)dx + (ey+ x + x cos y)dy = 0
(c) (2x + ex
y)dx + (1 − xy)exydy = 0
(d) (2xy + x2y +y
3
3)dx + (x
2 + y2)dy = 0
(e) (x cos y − y sin y)dy + (x sin y + y cos y)dx = 0
(f) (ln y + 2x − 1)y′
= 2y
(g) Tìm thừa số tích phân có dạng µ = µ(x + y2) của phương trình
(3y2− x)dx + 2y(y2− 3x)dy = 0
(h) (2x3
− xy2)dx + (2y3− x2y)dy = 0; y(0) = 1
(i) eydx − (xey − 2y)dy = 0; y(1) = 0
(j) x2dy + xydx = dx; y(1) = 1
(k) y cos xdx + sin xdy = cos 2xdx; yπ
2
= 5
(l) Cho phương trình
(y2− x2− 2xy)dy + (y2− x2+ 2xy)dx = 0
Chứng minh phương trình này có thừa số tích phân là
µ(x, y) = 1
(x2 + y2)2
Giải phương trình vi phân trên
Trang 114 PTVP tuyến tính cấp hai và cấp cao 11
4 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP
HAI và CẤP CAO
4.1 Phương trình vi phân giảm cấp được
(a) y′′
= 2 sin x cos2x − sin3x
(b) (y′′
)2 = y′
(c) xy′′
= y′
ln y
′
x
(d) yy′′
− y′ 2 = 0 thỏa y(0) = 1, y′
(0) = 2
(e) yy′′
− y′ 2 = y2ln y
(f) y′′
= y − xy′
x2
(g) y
′′ 2− y′
y′′
y′ 2 = 1
x2 (h) y′ 2+ yy′′
− yy′
= 0
(i) (x2+ 1)(y′ 2
− yy′
) = xyy′
(j) xyy′
+ xy′ 2 = 2yy′
4.2 Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng
(a) y′′
− 2y′
− y = 0
(b) 4y′′
− 20y′
+ 25y = 0
(c) y′′
− 4y′
= −12x2− 6x − 4
(d) y′′
− 4y′
+ 3y = e5x, y(0) = 3, y′
(0) = 9
(e) y′′
− 3y′
+ 2y = xex
(f) y′′
+ 4y′
+ 3y = x
(g) y′′
− 7y′
+ 6y = (x − 2)ex
(h) y′′
+ 2y′
+ 5y = 2 cos x
(i) y′′
− 3y′
= 2 − 6x
Trang 12(j) y′′
+ y = −3 cos 2x + 94x sin x, y(0) + y′
(0) = 3
2, y(π
2) + y
′
(π
2) = 0.
(k) y′′
+ y = x cos x
(l) y′′
− 2y′
+ 2y = exsin x
(m) y′′
− 3y′
+ 2y = 3x + 5 sin 2x
(n) y′′
− 4y′
+ 4y = sin x cos 2x
(o) y′′
+ y = tan x
(p) y′′
− y′
= 1
x −x23 (q) y′′
− 2y′
+ y = e
x
x (r) y′′
+ 3y′
+ 2y = sin ex (s) y′′
+ y′
1 + ex 4.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp cao hệ số hằng
(a) y′′′
− 4y′′
+ 3y′
= 2x3− 30
(b) y(4)+ y = 4e3x
(c) y′′′
+ 3y′′
+ 3y′
= −3 cos 2x
(d) y(5)
− 4y(4)+ 4y′′′
= sin x
(e) y(4)
− 4y′′′
+ 5y′′
− 4y′
+ 4y = e2x(3x + 5)
(f) y(4)− 2y′′′
+ 3y′′
− 4y′
+ 2y = ex(2x + 3)