Bài tập toán cao cấp tập 3 part 3 pps

Ta chuyˆ e’n sang to.a dˆo... X´et thiˆe´t diˆe.n c´ach gˆo´c to.a dˆo... Chuyˆe’n gˆo´c to.a dˆo... du.`o.ng thuˆo.c g´oc I quay xung quanh tru.c Ox... Nˆe´u c´ac t´ıch phˆan suy rˆo.ng

Do d´o

I = x · 1

cos x

π

3 cosπ3

0+ 12

1 0

Nguyˆen h`am v`u.a thu du.o c c´o gi´o.i ha.n h˜u.u ha.n ta.i diˆe’m x = 0 do

d´o theo cˆong th´u.c (11.3) ta c´o

Gia’i Ta c´o cˆong th´u.c

2 π)T´ınh c´ac t´ıch phˆan sau dˆay b˘a`ng phu.o.ng ph´ap t´ıch phˆan t`u.ngphˆ` n (15-32).a

37 Ch´u.ng minh d˘a’ng th´u.c

v`a su.’ du.ng t´ınh ch˘a˜n le’ cu’a h`am f.

T´ınh c´ac t´ıch phˆan sau dˆay (40-65) b˘a`ng c´ach ´ap du.ng cˆong th´u.c

4)

6 −6415

1 Diˆ e.n t´ıch h`ınh ph˘a’ng

1+ Diˆe.n t´ıch h`ınh thang cong D gi´o.i ha.n bo.’i du.`o.ng cong L c´o

phu.o.ng tr`ınh y = f (x), f (x) > 0 ∀ x ∈ [a, b] v`a c´ac du.`o.ng th˘a’ng

x = a, x = b v` a tru.c Ox du.o c t´ınh theo cˆong th´u.c

2+Nˆe´u du.`o.ng cong L du.o..c cho bo.’i phu.o.ng tr`ınh tham sˆo´ x = ϕ(t),

3+ Diˆe.n t´ıch cu’a h`ınh qua.t gi´o.i ha.n bo.’i du.`o.ng cong cho du.´o.i da.ng

to.a dˆo cu c ρ = f(ϕ) v`a c´ac tia ϕ = ϕ0 v`a ϕ = ϕ1 du.o c t´ınh theo cˆong

th´u.c

SQ= 12

2 Thˆ e’ t´ıch vˆ a t thˆ e’

1+Nˆe´u biˆe´t du.o..c diˆe.n t´ıch S(x) cu’a thiˆe´t diˆe.n ta.o nˆen bo.’i vˆa.t thˆe’

v`a m˘a.t ph˘a’ng vuˆong g´oc v´o.i tru.c Ox ta.i diˆe’m c´o ho`anh dˆo x th`ı khi

x thay dˆo’i mˆo.t da.i lu.o ng b˘a`ng dx th`ı vi phˆan cu’a thˆe’ t´ıch b˘a`ng

trong d´o [a, b] l`a h`ınh chiˆe´u vuˆong g´oc cu’a vˆa.t thˆe’ lˆen tru.c Ox.

2+ Nˆe´u vˆa.t thˆe’ du.o c ta.o nˆen do ph´ep quay h`ınh thang cong gi´o.i

ha.n bo.’i du.`o.ng cong y = f(x), f(x) > 0 ∀x ∈ [a, b], tru.c Ox v`a c´ac

du.`o.ng th˘a’ng x = a, x = b xung quanh tru.c Ox th`ı diˆe.n t´ıch vˆa.t thˆe’ tr` on xoay d´o du.o c t´ınh theo cˆong th´u.c

Nˆe´u quay h`ınh thang cong xung quanh tru.c Oy th`ı vˆa.t tr`on xoay

thu du.o c c´o thˆe’ t´ıch

Vy = π

d

Z

c [x(y)]2dy, x = x(y); [c, d] = prOy V. (11.12)

3+ Nˆe´u h`am y = f (x) du.o c cho bo.’i c´ac phu.o.ng tr`ınh tham sˆo´

x = x(t)

y = y(t), t ∈ [α, β]

tho’a m˜an nh˜u.ng diˆ`u kiˆe.n n`ao d´o th`ı thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ ta.o nˆen bo.’ie

ph´ep quay h`ınh thang cong xung quanh tru.c Ox b˘a`ng

4+ Nˆe´u h`ınh thang cong du.o c gi´o.i ha.n bo.’i c´ac du.`o.ng cong 0 6

y1(x) 6 y2(x) ∀ x ∈ [a, b], trong d´ o y1(x) v` a y2(x) liˆ en tu.c trˆen [a, b]

th`ı thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ ta.o nˆen do ph´ep quay h`ınh thang d´o xung quanh

5+ Dˆo´i v´o.i vˆa.t thˆe’ thu du.o c bo.’i ph´ep quay h`ınh thang cong xung

quanh tru.c Oy v`a tho’a m˜an mˆo.t sˆo´ diˆe`u kiˆe.n tu.o.ng tu ta c´o

c´ac tru.c to.a dˆo (h˜ay v˜e h`ınh !) nˆen

V´ ı du 2 Trˆen hypecbon x2− y2 = a2 cho diˆe’m M (x0, y0) x0 > 0,

y0 > 0 T´ınh diˆe.n t´ıch h`ınh ph˘a’ng gi´o.i ha.n bo.’i tru.c Ox, hypecbˆon v`a tia OM

Gia’i Ta chuyˆ e’n sang to.a dˆo cu c theo cˆong th´u.c x = r cos ϕ,

y = r sin ϕ Khi d´o phu.o.ng tr`ınh hypecbˆon c´o da.ng

2

cos2ϕ − sin2ϕ =

a2cos 2ϕ ·

tg t2 +π

4

 + C N

V´ ı du 3 T´ınh diˆe.n t´ıch h`ınh ph˘a’ng gi´o.i ha.n bo.’i c´ac du.`o.ng c´o phu.o.ng

tr`ınh x2

+ y2 = 2y, x2+ y2 = 4y; y = x v` a y = −x.

Gia’i Du.a phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng tr`on vˆ` da.ng ch´ınh t˘a´c ta c´o:e

x2+ (y − 1)2 = 1 v`a x2+ (y − 2)2 = 4 D´o l`a hai du.`o.ng tr`on tiˆe´p x´uc

trong ta.i tiˆe´p diˆe’m O(0, 0) T`u d´o miˆe `n ph˘a’ng D gi´o.i ha.n bo.’i c´ac

du.`o.ng d˜a cho dˆo´i x´u.ng qua tru.c Oy L`o.i gia’i s˜e du.o c do.n gia’n ho.n

nˆe´u ta chuyˆe’n sang to.a dˆo cu c (v´o.i tru.c cu c tr`ung v´o.i hu.´o.ng du.o.ng

cu’a tru.c ho`anh):

+ y2 = 2y (t´u.c l`a r = 2 sin ϕ) v`ahai tia d˜a nˆeu Khi d´o

V´ ı du 4 T´ınh thˆe’ t´ıch vˆa.t tr`on xoay ta.o nˆen do ph´ep quay h`ınh

thang cong gi´o.i ha.n bo’ i c´. ac du.`o.ng y = ±b, x

2

a2 − y2

b2 = 1 xung quanh

tru.c Oy.

Gia’i Do t´ınh dˆo´i x´u.ng cu’a vˆa.t tr`on xoay dˆo´i v´o.i m˘a.t ph˘a’ng xOz

(ba.n do.c h˜ay tu v˜e h`ınh) ta chı’ cˆa` n t´ınh nu.’ a bˆen pha’i m˘a.t ph˘a’ng xOz

V´ ı du 5 T´ınh thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ lˆa.p nˆen do quay astroid x = a cos3t,

y = a sin3t, 0 6 t 6 2π xung quanh tru.c Ox.

Gia’i Du.`o.ng astroid dˆo´i x´u.ng dˆo´i v´o.i c´ac tru.c Ox v`a Oy Do d´o

v`a c´ac m˘a.t ph˘a’ng z = 0, z = h (h > 0).

Gia’i Ta s˜e ´ap du.ng cˆong th´u.c (11.10), trong d´o ta x´et c´ac thiˆe´t

diˆe.n ta.o nˆen bo.’i c´ac m˘a.t ph˘a’ng vuˆong g´oc v´o.i tru.c Oz Khi d´o (11.10)

trong d´o S(z) l`a diˆe.n t´ıch cu’a thiˆe´t diˆe.n phu thuˆo.c v`ao z Khi c˘a´t vˆa.t

thˆe’ bo.’ i m˘a.t ph˘a’ng z = const ta thu du.o c elip v´o.i phu.o.ng tr`ınh

V´ ı du 7 T´ınh thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ thu du.o c bo.’i ph´ep quay h`ınh ph˘a’ng

gi´o.i ha.n bo’ i du.`. o.ng y = 4 − x2 v`a y = 0 xung quanh du.`o.ng th˘a’ng

x = 3 (h˜ay v˜e h`ınh)

Gia’i Vˆa.t tr`on xoay thu du.o c c´o t´ınh chˆa´t l`a mo.i thiˆe´t diˆe.n ta.o

bo.’ i m˘a.t ph˘a’ng vuˆong g´oc v´o.i tru.c quay dˆe`u l`a v`anh tr`on gi´o.i ha.n bo.’ic´ac du.`o.ng tr`on dˆ` ng tˆam X´et thiˆe´t diˆe.n c´ach gˆo´c to.a dˆo khoa’ng b˘a`ngo

0 4

B ` AI T ˆ A P

Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay (1-17) t´ınh diˆe.n t´ıch c´ac h`ınh ph˘a’ng

gi´o.i ha.n bo’ i c´. ac du.`o.ng d˜a chı’ ra

12 x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t), t ∈ [0, 2π] (DS 3πa2)

Chı’ dˆ a ˜n Dˆay l`a phu.o.ng tr`ınh tham sˆo´ cu’a du.`o.ng xycloid.

13 x = a cos3t, y = a sin3t, t ∈ [0, 2π]. (DS 3πa

2

8 )

14 x = a cos t, y = b sin t, t ∈ [0, 2π]. (DS πab)

15 Du.`o.ng lemniscate Bernoulli ρ2 = a2cos 2ϕ (DS a2)

16 Du.`o.ng h`ınh tim (Cacdioid) ρ = a(1 + cos ϕ).

(DS 3πa

2

2 )

3 a

3)

Chı’ dˆ a ˜n Do t´ınh dˆo´i x´u.ng, chı’ cˆ` n t´ınh thˆe’ t´ıch mˆo.t phˆaa ` n t´am

vˆa.t thˆe’ v´o.i x > 0, y > 0, z > 0 l`a du’ C´o thˆe’ lˆa´y c´ac thiˆe´t diˆe.n song

song v´o.i m˘a.t ph˘a’ng xOz D´o l`a c´ac h`ınh vuˆong.

20 Thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ h`ınh n´on v´o.i b´an k´ınh d´ay R v`a chiˆe `u cao h.

(DS πR

2h

3 )

Chı’ dˆ a ˜n Di.ch chuyˆe’n h`ınh n´on vˆe` vi tr´ı v´o.i dı’nh ta.i gˆo´c to.a dˆo.

v`a tru.c dˆo´i x´u.ng l`a Ox Thiˆe´t diˆe.n cˆa`n t`ım l`a h`ınh tr`on v´o.i b´an k´ınh r(x) = R

3 )

22 Thˆe’ t´ıch vˆa.t thˆe’ gi´o.i ha.n bo.’i m˘a.t tru partabolic z = 4 − y2, c´acm˘a.t ph˘a’ng to.a dˆo v`a m˘a.t ph˘a’ng x = a. (DS 16a

3 )Trong c´ac b`ai to´an sau dˆay (23-34) h˜ay t´ınh thˆe’ t´ıch cu’a vˆa.t tr`onxoay thu du.o..c bo.’i ph´ep quay h`ınh ph˘a’ng D gi´o.i ha.n bo.’i du.`o.ng (c´ac

du.`o.ng) cho tru.´o.c xung quanh tru.c cho tru.´o.c

23 D : y2

= 2px, x = a; xung quanh tru.c Ox (DS πpa2)

32 D : xy = 4, y = 0, x = 1, x = 4 xung quanh tru.c Ox (DS 12π)

33 D : x2+ (y − b)2 6 R2 (0 < R 6 b) xung quanh tru.c Ox.

Chı’ dˆ a ˜n Chuyˆe’n gˆo´c to.a dˆo vˆe` diˆe’m (0, R).

11.3.2 T´ınh dˆ o d`ai cung v`a diˆe.n t´ıch m˘a.t tr` on

xoay

1+ Nˆe´u du.`o.ng cong L(A, B) du.o .c cho bo.’i phu.o.ng tr`ınh y = y(x),

x ∈ [a, b] (hay x = g(y)) ho˘ a.c bo.’i c´ac phu.o.ng tr`ınh tham sˆo´ x = ϕ(t),

y = ψ(t) th`ı vi phˆan dˆo d`ai cung du.o c biˆe’u diˆe˜n bo.’i cˆong th´u.c

2+ Nˆe´u m˘a.t σ thu du.o c do quay du.`o.ng cong cho trˆen [a, b] bo.’i

h`am khˆong ˆam y = f (x) > 0 xung quanh tru.c Ox th`ı vi phˆan diˆe.n

t´ıch m˘a.t

ds = 2π · y + (y + dy)

2 d` = π(2y + dy)d` ≈ 2πyd`

v`a diˆe.n t´ıch m˘a.t tr`on xoay du.o c t´ınh theo cˆong th´u.c

Nˆe´u quay du.`o.ng cong L(A, B) xung quanh tru.c Oy th`ı ds ≈ 2πx(y)d`

q

ϕ02+ ψ02dt, ϕ(t) > 0. (11.23)

C ´ AC V´ I DU . V´ ı du 1 T´ınh dˆo d`ai du.`o.ng tr`on b´an k´ınh R.

Gia’i Ta c´o thˆe’ xem du.`o.ng tr`on d˜a cho c´o tˆam ta.i gˆo´c to.a dˆo

Phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng tr`on du.´o.i da.ng tham sˆo´ c´o da.ng x = R cos t,

y = R sin t, t ∈ [0, 2π] Ta chı’ cˆ` n t´ınh dˆo d`ai cu’a mˆo.t phˆaa ` n tu du.`o.ng

0 = 2πR. N

V´ ı du 2. T´ınh dˆo d`ai cu’a v`ong th´u nhˆa´t cu’a du.`o.ng xo˘a´n ˆo´c

Archimedes ρ = aϕ.

Gia’i Theo di.nh ngh˜ıa, du.`o.ng xo˘a´n ˆo´c Archimedes l`a du.`o.ng cong

ph˘a’ng va.ch nˆen bo.’i mˆo.t diˆe’m chuyˆe’n dˆo.ng dˆe`u theo mˆo.t tia xuˆa´t ph´at

t`u gˆo´c-cu c m`a tia n`ay la.i quay xung quanh gˆo´c cu c v´o.i vˆa.n tˆo´c g´oc

cˆo´ di.nh V`ong th´u nhˆa´t cu’a du.`o.ng xo˘a´n ˆo´c Archimedes du.o c ta.o nˆenkhi g´oc cu c ϕ biˆe´n thiˆen t`u 0 dˆe´n 2π Do d´o theo cˆong th´u.c (11.19)

V´ ı du 3 T´ınh diˆe.n t´ıch m˘a.t cˆa` u b´an k´ınh R.

Gia’i C´o thˆe’ xem m˘a.t cˆa` u c´o tˆam ta.i gˆo´c to.a dˆo v`a thu du.o c bo.’iph´ep quay nu.’ a du.`o.ng tr`on y =

√

R2− x2 xung quanh tru.c Ox.

Phu.o.ng tr`ınh du.`o.ng tr`on c´o da.ng x2 + y2 = R2 Do d´o y0 =

R

−R = 4πR2. N

V´ ı du 4 T´ınh diˆe.n t´ıch m˘a.t ta.o nˆen bo’ i ph´ep quay du.`. o.ng lemniscat

ρ = a√cos 2ϕ xung quanh tru.c cu c.

Gia’i Biˆ e´n ρ chı’ nhˆa.n gi´a tri thu..c khi cos 2ϕ > 0 t´u.c l`a khi

−π/4 6 ϕ 6 π/4 (nh´anh bˆen pha’i) hay khi 3π/4 6 ϕ 6 5π/4 (nh´anh

bˆen tr´ai) Vi phˆan cung cu’a lemniscat b˘a`ng

Ngo`ai ra y = ρ sin ϕ = a√cos 2ϕ · sin ϕ T`u d´o diˆe.n t´ıch cˆa` n t`ım b˘a`ng

hai lˆ` n diˆe.n t´ıch cu’a m˘a.t thu du.o c bo.’i ph´ep quay nh´anh pha’i Do d´oa

3/2

0

= 14π

V´ ı du 6 T`ım diˆe.n t´ıch m˘a.t ta.o nˆen bo.’i ph´ep quay elip x2+ 4y2 = 26

xung quanh: a) tru.c Ox; b) tru.c Oy.

Gia’i Nu.’ a trˆen cu’a elip d˜a cho c´o thˆe’ xem nhu dˆ` thi cu’a h`amo

c`on trˆen khoa’ng (−6, 6) da.o h`am khˆong bi ch˘a.n Do vˆa.y khˆong thˆe’

t´ınh b˘a`ng cˆong th´u.c (11.20) trong to.a dˆo Dˆe` c´ac du.o c

Dˆe’ kh˘a´c phu.c kh´o kh˘an d´o, ta d`ung ph´ep tham sˆo´ h´oa du.`o.ng elip:

7 x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t); 0 6 t 6 2π (DS 8a)

8 x = a cos3t, y = a sin3t; 0 6 t 6 2π (DS 6a)

2 + ln

3 +

√5

T´ınh diˆe.n t´ıch c´ac m˘a.t tr`on xoay thu du.o c khi quay cung du.`o.ng

cong hay du.`o.ng cong xung quanh tru.c cho tru.´o.c

14 Cung cu’a du.`o.ng y = x3 t`u x = −2

3 dˆe´n x =

2

3 xung quang tru.c

Ox.

(DS 2π27

125

27 − 1

)

15 Du.`o.ng x = a cos3t, y = a sin3t xung quanh tru.c Ox.

, ε l`a tˆam sai cu’a elip)

Chı’ dˆ a ˜n Da.o h`am hai vˆe´ phu.o.ng tr`ınh elip rˆo`i r´ut ra yy0

17 Cung du.`o.ng tr`on x2 + (y − b)2 = R (khˆong c˘a´t tru.c Oy) t`u y1

dˆe´n y2 xung quanh tru.c Oy (DS 2πR(y2− y1))

Chı’ dˆ a ˜n M˘a.t thu du.o c l`a d´o.i cˆa ` u.

18 y = sin x t` u x = 0 dˆ e´n x = π xung quanh tru.c Ox.

(DS 2π√

2 + ln(1 +

√2))

23 x = e t sin t, y = e t cos t t` u t = 0 dˆ e´n t = π

2, xung quanh tru.c Ox.

(DS 2π

√2

5 (e

π

− 2))

24 x = a cos3t, y = a sin3t, 0 6 t 6 2π; quay xung quanh tru.c Ox.

(DS 12

5 πa

2

)

Chı’ dˆ a ˜n V`ı du.`o.ng cong c´o t´ınh dˆo´i x´u.ng qua c´ac tru.c to.a dˆo nˆen

chı’ cˆ` n t´ınh diˆe.n t´ıch ta.o nˆen bo.’i mˆo.t phˆaa ` n tu du.`o.ng thuˆo.c g´oc I

quay xung quanh tru.c Ox.

25 x = t − sin t, y = 1 − cos t (diˆe.n t´ıch du.o c ta.o th`anh khi quay

mˆo.t cung); xung quanh tru.c Ox.

2

29 Cung cu’a du.`o.ng tr`on x2+ y2 = 4 (y > 0) gi˜u.a hai diˆe’m c´o ho`anh

dˆo x = −1 v`a x = 1; xung quanh tru.c Ox (DS 8π)

30 Du.`o.ng h`ınh tim (cacdiod) ρ = a(1 + cos ϕ); quay xung quanh

AB cu’a du.` o.ng xicloid x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t);

quay xung quanh du.`o.ng th˘a’ng y = a (DS 16√2πa

11.4 T´ıch phˆ an suy rˆ o.ng

11.4.1 T´ıch phˆ an suy rˆ o ng cˆ a n vˆ o ha.n

1 Gia’ su.’ h`am f (x) x´ ac di.nh ∀ x > a v`a kha’ t´ıch trˆen mo.i doa.n [a, b].

Nˆe´u tˆ` n ta.i gi´o.i ha.n h˜u.u ha.no

+∞

Z

a

f (x)dx du.o c go.i l`a t´ıch phˆan phˆan k`y v`a h`am f(x) khˆong kha’ t´ıch theo ngh˜ıa

suy rˆo.ng trˆen [a, +∞).

Tu.o.ng tu nhu trˆen, theo di.nh ngh˜ıa

2 C´ ac cˆ ong th´ u.c co ba’n dˆ o´i v´ o.i t´ıch phˆ an suy rˆ o.ng

1) T´ınh tuyˆ e´n t´ınh Nˆe´u c´ac t´ıch phˆan suy rˆo.ng

11.4 T´ıch phˆ an suy rˆ o.ng

11.4.1 T´ıch phˆ an suy rˆ o ng... gˆo´c to.a dˆo vˆe` diˆe’m (0, R).

11 .3. 2 T´ınh dˆ o d`ai cung v`a diˆe.n t´ıch m˘a.t tr` on

xoay

1+ Nˆe´u du.`o.ng cong... (DS 3? ?a2)

Chı’ dˆ a ˜n Dˆay l`a phu.o.ng tr`ınh tham sˆo´ cu’a du.`o.ng xycloid.

13 x = a cos3< /small>t, y = a sin3< /sup>t,