CĐ 12 HÌNH học 7

CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC 7

Bài 1: Cho ABC có , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB,

AE vuông góc và bằng AC, CMR: DC=BE và DC vuông góc BE

HD:

Ta có:

=>

=>BE=CD (Hai cạnh tương ứng)

Gọi I là giao của CD với AB, G là giao của CD với BE

c, Đường thẳng qua A và vuông góc với DE cắt BC tại K,

CMR: K là trung điểm của BC

a, BN=CM

b, BN vuông góc với CM

c, DEF là tam giác vuông cân

HD:

c, D là trung điểm của BM, E là trung điểm của BC

Nên DE là đường trung bình của BMC

1

I

F D

A M

N

1 2 1

1

1

G I

A D

E

P

Và DE//MC, tương tự: và EF//BN, => DEF cân tại E

Bài 4: Cho ABC nhọn, trên nửa mp bờ AB không chứa C, dựng đoạn thẳng AD vuông góc với AB và AD= AB, trên nửa mp bờ AC không chứa B, dừng AE vuông góc AC và AE=AC, vẽ AH vuông góc với

BC, đường thẳng HA cắt DE ở K, CMR: K là trung điểm của DE

HD:

Trên AK lấy điểm H sao cho AH=BC

Bài 5: Cho ABC có , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB,

AE vuông góc và bằng AC, Gọi M là trung điểm của DE, kẻ MA, CMR: MA vuông góc với BC

HD:

Gọi H là giao điểm của AM và BC

Trên AM lấy điểm F sao cho MA= MF

Bài 6: Cho ABC có , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB,

AE vuông góc và bằng AC Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC, CMR: HA đi qua trung điểm của DE

HD:

Tia AH cắt DE tại M, trên tia AM lấy điểm N sao cho AN = BC

Khi đó: DNA= ACB (c.g.c)

E H

2

1 1

H

M

A

B C

E

D F

1

M

A E

D N

Mà => AE//ND

Khi đó: AME= NMD ( g.c.g)

=> ME=MD hay M là trung điểm DE

Bài 7: Cho ABC có ba góc nhọn, đường cao AH, ở miền ngoài tam giác ta vẽ các tam giác vuông cânABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông, kẻ EM, FN cùng vuông góc với AH, (M, N thuộc AH)

a, CMR: EM+HC=NH

b, EN//FM

HD:

a, Chứng minh FNA= AHC (Cạnh huyền góc nhọn)

Chứng minh AHB= EMA (Cạnh huyền góc nhọn)

Bài 8: Cho ABC có , vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng AB,

AE vuông góc và bằng AC, Gọi H là trung điểm của BC, CMR: HA vuông góc với DE

Bài 9: Cho ABC có , vẽ ra phía ngoài các tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông góc và bằng

AB, AE vuông góc và bằng AC

a, CMR: DC=BE và DC vuông góc BE

b, Gọi N là trung điểm của DE, trên tia đối của tia NA, lấy M sao cho NA=NM,

CMR: AB=ME và ABC = EMA

c, CMR: MA BC

HD:

Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 3

1 2

M

A E

D N

1 1

H

A

B C

Tự chứng minh, giống các bài trên

Bài 10: Cho ABC, trung tuyến AM, vẽ ra ngoài tam giác này các tam giác vuông cân ở A là ABD vàACE

a, Trên tia đối của tia MA lấy điểm F sao cho MF=AM, CMR:

Bài 11: Cho ABC có , Dừng bên ngoài các tam giác đều

a, Gọi M là giao điểm của BE và CD, Tính

E M

M

A

C B

I M

A

N

E D

Bài 12: Cho ABC có ba góc nhọn, trung tuyến AM, trên nửa mặt phẳng chứa điểm C bờ là đường thẳng AB, vẽ AE vuông góc với AB và AE=AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B vẽ AD vuông góc với AC và AD=AC

Bài 13: Cho ABC nhọn, AH là đường cao, về phía ngoài của tam giác vẽ các ABE vuông cân ở B vàACF vuông cân tại C, Trên tia đối của tia AH, lấy điểm I sao cho AI=BC CMR:

a, ABI= BEC

b, BI = CE và BI vuông góc với CE

c, Ba đường thẳng AH, CE, BF cắt nhau tại 1 điểm

Trong có AH, CE,BF là đường cao

Nên đồng quy tại 1 điểm

Bài 14: Cho ABC đường cao AH, vẽ ra ngoài tam giác ấy các tam giác vuông cân ABD, ACE cân tại B và C

a, Qua điểm C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt HA tại K, CMR : DC BK

b, 3 đường thẳng AH, BE và CD đồng quy

HD :

2

1 1

a, Ta có: =>

=> ECB= CAK (g.c.g)=> AK=BC

Chứng minh tương tự ta có :

2

1

1 1

1

2

I M

H

A

C B

D

E K

a, CMR: AM=AN và AH vuông góc với BC

b, Tính độ dài AM khi AB=5cm, BC=6cm

a, CMR : ADE cân tại A

b, CM: AM là phân giác

c, Từ B và C hạ BH, CJ theo thứ tự vuông góc với AD và AE, CMR: AHB= AKC

d, CM: HK//DE

e, Gọi I là giao điểm của HB và AM, CM: AB vuông góc với DI

f, CM: HB, AM và CK cùng đi qua 1 điểm

HD:

d, cân tại A, nên

cân tại A nên

Mà là hai góc đồng vị nên HK//DE

e, có hai đường cao là HI và DM

cắt nhau tại B nên B là trực tâm, do đó AB DI

f, Điểm I nằm trên đường trung trực của DE nên ID=IE

AIE có hai đường cao là AC và ME cắt nhau tại C nên

IC AE, mà CK AE nên I, C, k thẳng hàng,

Hay ba đường thẳng HB, AM, CK đồng quy

2 1

2 2

1 1

1

I

K H

M

A

Bài 17: Cho ABC cân tại A , trên cạnh BC lấy hai điểm D và E

c, Vì AB=AC nên A nằm trên đường trung trực của BC

Tương tự cho G nằm trên đường trung trực của BC

Do đó: A, M, G thẳng hàng

d, CEK vuông tại K nên là góc nhọn

Khi đó là góc tù => AC > AE = AD

g,

Bài 18: Cho ABC cân tại A, trên cạnh BC lấy điểm D và E sao cho BD=CE ( D nằm giữa B và E)

a, CMR: ABD= ACE

b, Kẻ DM AB và EN AC, CMR : AM=AN

c, Gọi K là giao điểm của đường thẳng DM và EN, ,

CMR DKE đều

HD:

Vậy KDE đều

Bài 19: Cho ABC có góc nhọn, đường cao AH, vẽ các điểm D và E sao cho AB là trung trực HD, AC là trung trực của HE, Gọi I, K lần lượt là giao của DE với AB, AC

a, CMR: ADE cân tại A

b, Tính số đo

HD:

a, Chứng minh AD=AH, và AH=AE

=>AD=AE=> ADE cân tại A

b, IHK có IB là tia phân giác góc ngoài và

KC là tia phân giác góc ngoài cắt nhau tại A

Nên AH là tia phân giác góc trong,

hay AH là tia phân giác góc

Lại có:

2 1

G

K H

2 1 5

4 3 2 1

K I

=> HC là tia phân giác góc ngoài IHK

KC là tia phân giác góc ngoài IHK

Chứng minh tương tự

Bài 20: Cho ABC cân tại A và cả ba góc đều là góc nhọn

a, Về phía ngoài của tam giác vẽ ABE vuông cân ở B, Gọi H là trung điểm của BC, trên tia đối của tia

AH lấy điểm I sao cho AI=BC, CMR: ABI= BEC và

b, Phân giác của cắt AC và BC lần lượt tại D và M, Phân giác cắt BC tại N, CMR:

HD:

Gọi F là trung điểm của MN, ta có: FM=FD=FN

FDM cân tại F nên

(Góc ngoài của BDM)

Từ (1) và (2) suy ra:

hay DBF cân tại D, do đó:

Bài 21: Cho ABC có AB=AC, và M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD=CE

a, CMR: ABM= ACM, từ đó suy ra

b, CMR: ABD= ACE, từ đó suy ra AM là phân giác góc

lấy điểm N sao cho AN=CE, CMR:

b, Đường thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN

c, Đướng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên BC

HD:

=> IM=IN

c, Gọi H là chân đường vuông góc kẻ tử A xuống BC,

O là giao AH với đường vuông góc MN tại I

Nên O nằm trên đường trung trực của BC

Do AC cố định, AH cố định nên O cố định

Vậy đường thẳng vuông góc với MN tại trung điểm I

luôn đi qua O cố định

Bài 23: Cho ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD=CE, kẻ DH và EK vuông góc với đường thẳng BC ( H và K thuộc đường thẳng BC)

a, CM: BDH= CEK, từ đó suy ra BC= HK

b, DE cắt BC tại I, CM I là trung điểm của DE

1

2 1

O

I M

K D

I A

b, Lấy điểm D thuộc tia đối của tia BC sao cho BD=BA, lấy điểm E thuộc tia đối của tia CB sao cho

c, Gọi G và K lần lượt là trung điểm của AD và AE, đường BG là các đường gì đối với ABD?

d, Gọi I là giao điểm BG và CK, CM AI là phân giác góc

e, CM đường trung trực của DE đi qua I

HD:

Mà

c, ABD cân tại B nên BG vừa là đường phân giác

vừa là đường cao vừa là trung tuyến

và cũng là đường trung trực của ABD

CK là phân giác góc ngoài của ABC

Mà BG cắt CK tại I nên AI là phân giác góc trong của ABC

e, Chứng minh ID = IA, IA = IE => I nằm trên đường trung trực của DE

Bài 25: Cho ABC, đường trung tuyến BD, trên tia đối của tia DB lấy điểm E sao cho DE=DB, gọi M,Ntheo thứ tự là trung điểm của BC và CE, Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của AM, AN với BE, CMR: BI=IK=KE

HD:

I là trọng tậm của ABC nên

tương tự K là trọng tâm của ACE nên:

mà BD=DE=> BI=KE

Ta lại có

1 3

2 1 1

3 1

I

K G

H

A

BCD có F là trọng tâm nên

C A

D

1 1

2

1

I

N M

A

D

c, Xét hai tam giác vuông ABC và CDA có :

=> AMH= CNH (g.c.g) => MH=NH Vậy HMN cân tại H

Bài 29: Cho ABC, M là trung điểm của BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA

CMR:

a, AC=EB và AC//BE

b, Gọi I là 1 điểm trên AC, K là 1 điểm trên EB sao cho AI=EK, CMR: I, M, K thẳng hàng

là góc ngoài tại đỉnh M của nên

Bài 30: ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến AM, trên tia đối của tia MA lấy điểm D Sao cho DM=MA, trên tia đối của CD lấy I sao cho CI=CA, Qua I vẽ đường thẳng song song với AC, cắt AH tại

F

b, AIB= EID (g.c.g) =>AI=EI

c, AEC có CI là trung tuyến và

Nên D là trọng => AD là đường trung tuyến => AD đi qua K

Hay A, D, K thẳng hàng

Bài 32: Cho ABC vuông tại A, trung tuyến AM, đường thẳng qua B và song song với AC cắt đường

a, Chứng minh C là trọng tâm của AMN

b, Gọi I là trung điểm của MN, CMR: A, C, I thẳng hàng

HD:

là trọng tâm AMN

b, Vì C là trọng tâm AMN

=> AC là đường trung tuyến ứng với MN

=> AC đi qua I hay A, I, C thẳng hàng

M A

I E

1

K I

E

D

A

2 1

1

2 1

Bài 35: Cho ABC có , kẻ đường cao AH, trên tia đối cảu tia BA lấy điểm E sao cho

BE =BH, đường thẳng HE cắt AC tại D

=>

cân tại B’

d, AB=AB’=CB’, BE=BH=B’H

Có AE=AB+BE, HC=CB’+B’H=>AE=HC

Bài 36: Cho ABC có góc B là góc nhọn, và , Dựng đường cao AH, trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE=BH, CMR:

a, CMR : AI vuông góc với BC

b, Có thể nói DE< BC được không?

b, Để so sánh DE với BC

ta so sánh IE với CK và AI với AK

vuông => AI AK=>DE=BC khi K trùng với I

Bài 39: Cho ABC (AB >AC), M là trung điểm BC, đường thẳng đi qua M và vuông góc với tia phân giác góc A tại H cắt hai tia AB và AC lần lượt ở E và F, CMR:

b, Ta có: , ta có: có là góc ngoài nên :

có là góc ngoài

a, AEF có AN vừa là tia phân giác vừa là đường cao nên

AEF cân tại A => AE=AF

b, Từ B kẻ đường thẳng // AC cắt EF tại I

Bài 41: Cho ABC cân tại A, góc A tù, trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho BD =CE, trên tia đối của tia CA lấy điểm I sao cho CI=CA

a, CMR: ABD= ICE và AB+AC<AD+AE

b, Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB, AI lần lượt tại M và N, CMR: BM=CN

c, CMR: Chu vi ABC nhỏ hơn chu vi AMN

c, Vì BM=CN=> AB+AC=AM+AN, có BD=CE (gt), =>BC=DE

Gọi O là giao của Mn và BC

từ (1) và (2) ta có : chu vi của ABC nhỏ hơn chu vi của AMN

Bài 42: Cho ABC (AB<AC), từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ 1 đường thẳng vuông góc với tia phân giác góc A, đường thẳng đó cắt AB và AC lần lượt ở M và N

a, CM : AMN cân

b, CM: BM=CN

c, Cho AB = c, AC = b Tính AM và BM theo b và c

HD:

a, AMN có Ah vừa là đường phân giác góc A

vừa là đường cao nên Amn cân tại A

b, Từ B vẽ đường thẳng song song với AC cắt Mn tại I

=> BMI cân tại B => BM=BI=NC

c, AM =AN = n, MB=AM – AB= b – c

Bài 43: Cho ABC, tia phân giác AD, gọi I là trung điểm của BC, đường thẳng qua I và vuông góc với

AD cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N kẻ BE// AC, E thuộc MI, CMR:

M

1 1

1 2 1

b, AMN có AE vừa là đường cao vừa là tia phân giác

=> BM=BE=NC

e,

Bài 44: Cho ABC vuông tại C, kẻ CH vuông góc vói AB, trên các cạnh AB, AC lấy tương ứng hai

điểm M, N sao cho BM=BC và Cn=CH, CMR:

a, MN vuông góc với AC

c, Xác định dạng BNE

d, NC là trung trực của BE

g, Cho AB=10cm, Tính diện tích của NBE và chu vi ABE

HD:

a, ABC đều có BM là tia phân giác góc

Nên BM là đường trung trực AC

ABE vuông có

Vậy NBE cân tại N

A

H

M N

1

2 1 1

1 2 1

E

N I

1

E

N M

A

d, NBE cân tại N, có NC là đường cao nên NC là đường trung trực của BE

g, ABE vuông tại E có AC=BC=CE=10cm

Bài 46: Cho ABC vuông tại A, đường cao AH, trên tia BC lấy điểm D sao cho BD= BA, đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E,CM:

a, H nằm giữa B và D

b, BE là đường trung trực của AD

c, Tia AD là tia phân giác của góc

HD:

a, AHB vuông tại H => AB> BH mà BH = BA

 BD>BH, vậy H nằm giữa B và D

b, ABE = DBE ( cạnh huyền- cạnh góc vuông)

 AE=DE => E nằm trên đường trung trực của AD

Và BA =BD vậy B nằm trên đường trung trực của AD

Do đó BE là đường trung trực của AD

Bài 47: Cho ABC vuông tại A, góc , trên cạnh AC lấy điểm D sao cho , BE là tia phân giác , trên đoạn BD lấy điểm F sao cho BF=BA

A

F E

C B

A

D

Mà => EBC có => EBC cân tại E

Vừa là đường trung tuyến nên AEC cân tại E hay EA=EC

b, Vì AEC cân tại E =>

Bài 49: Cho ABC vuông tại A, có , vẽ

a, Tính số đo

b, Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD=AH, gọi I là trung điểm của HD, CMR: AHI= ADI

c,Tia AI cắt HC tại K, CMR: AHK= ADK, từ đó =>AB//KD

d, Trên tia đối của tia AH, lấy điểm E sao cho HE=AH, CM H là trung điểm của BK và 3 điểm D, K, E thẳng hàng

HD:

b, AIH= AID (c.c.c)

c, AHD cân tại A có AI là đường trung tuyến

 AI là đường trung trực của HD,

d, Vì AHK = Adk (cmt) =>

3 2 1

I H

A

E

K D

2 1

A

D

mà => KAC cân tại K => KA = KC

có AH là đường cao => AH cũng là đường trung trực => HB=HK => H là trung điểm của BK

=> AHB= EHK (c.g.c) => (hai góc tương ứng)

Mà so le trong nên EK// AB, KD//AB => E, K, D thẳng hàng

Bài 50: CHo ABC có 3 góc nhọn(AB<AC) Tia phân giác cắt BC tại D, lấy E trên AC sao cho AE=AB

Bài 51: Cho ABC có AB<AC, Và đường phân giác AD,Trên AC lấy E sao cho AE=AB

a, CM: BD=DE

b, Gọi K là giao điểm của AB và ED, CMR: DBK= DEC

c, ABC cần có thêm điều kiện gì để D cách đều 3 cạnh của AKC

HD:

a, ADB= ADE (c.g.c) => BD=ED

c, Để D cách đều 3 cạnh của ABC

Thì D là giao 3 tia phân giác AKC => CB là phân giác AKC

Mà AKC là tam giác cân hay

M

2 1

1 2

2 2

1 1

2 1

Bài 52: Cho ABC vuông tại B, Phân giác AD, từ D kẻ DH vuông góc với AC (H AC), HD và AB kéo dài cắt nhau tại I, CMR:

a, ABD = AHD ( cạnh huyền- góc nhọn)

b, AB=AH ( hai cạnh tương ứng)

 A nằm trên đường trung trực cảu BH

BD=HD ( hai cạnh tương ứng)

 D nằm trên đường trung trực của BH

Vậy AD là đường trung trực của BH

c, BDI= HDC ( cạnh góc vuông- góc nhọn)

 DI=DC => DIC là tam giác cân

d, Vì BDI = HDC (cmt) => BI= HC => AI= AC

Mà là hai góc so le trong => BH//IC

e, AIC cân tại A, có AD là tia phân giác => AD là đường trung trực của IC

g, Ta có : AC + AD - 2AB = (AH + HC) + AD – AH - AB = HC + AD – AB = (AD - AB) + HC

= (AD-AH)+HC<HD+HC

Lại có: BC= BD +DC =HD +DC> HD+HC vì DC >HC

Bài 53: Cho ABC có AB < AC, phân giác AD, trên tia AC lấy điểm E sao cho: AE=AB

a, CMR: BD=DE

b, Gọi M là giao điểm của AB, ED, CMR: BDM= EDC

c, So sánh DE và DC từ đó so sánh BD và DC

d, AMC là tam giác gì? Vì sao ?

e, Chứng minh AD vuông góc với MC

d, AMC là tam giác cân vì có AM = AC

e, AMC cân tại A, có AD là tia phân giác nên AD cũng là đường trung trực của MC=>

2 1

2 1

2 1

M

E D

A

Bài 54: Cho ABC vuông tại A, đường phân giác BD, kẻ DE vuông góc với BC (E BC), trên tia đối của tia AB lấy điểm F sao cho AF=CE, CM:

a, ABD = EBD ( cạnh huyền- góc nhọn)

b, => AB=BE ( hai cạnh tương ứng)

 B thuộc đường trung trực của AE

Và DA= DE ( hai cạnh tương ứng)

 D thuộc đường trung trực của AE

Vậy BD là đường trung trực của AE

c, ta có: DEC vuông tại E=> DC> DE mà DE= DA=> DC= DA

d, Ta có : DAF = DEC ( hai cạnh góc vuông)

ABE có AB = EB => AF= EC=> BF= BC=> BFC cân tại B

 BD là tia phân giác => BD là đường trung trực =>

 E, Ta có : AD+AF >DF => 2(AD+AF) > 2.DF=DF+DC>FC

a, BAD = HAD ( cạnh huyền- góc nhọn)

 AB=AH ( hai cạnh tương ứng)

 ABH cân tại A có AD là tia phân giác góc

 AD là đường trung trực =>

có DH là đường cao nên cũng là đường trung trực hay AH =HC

c, Từ câu b => DHC vuông tại B=> DC> HC=AH=AB => DC> AB

d, DBS = DHC ( cạnh góc vuông- góc nhọn)

Có SH, CH là hai đường cao=> D là trực tâm cũng là trọng tâm

2 1

2 1

Bài 56: Cho ABC có và tia phân giác BH của góc B (H thuộc AC), Kẻ Hm HM vuông góc với

BC (M thuộc BC) Gọi N là giao điểm của AB và MH, CMR :

a, ABH= MBH ( cạnh huyền- góc nhọn)

b, BA=BM=> B nằm trên đường trung trực của AM

Và HA=HM => H nằm trên đường trung trực của AM

Vậy BH là đường trung trực của AM

c, HAN = HMC ( cạnh góc vuông- góc nhọn)

 AN= MC=> BNC cân tại B => AM//NC

d, BNC cân tại B có BH là đường phân giác=> BH là đường cao =>

Bài 57: Cho ABC cân có , Các tia phân giác của góc B và C lần lượt cắt AC và AB tại D và Ea/ CMR: BE+CD=BC

b/ Gọi I là giao điểm của BD và CE Tính số đo các góc của IDE

HD:

BD là phân giác góc => BD là đường trung tuyến

CE là tia phân giác góc => CE là trung tuyến

a, CM d là đường trung trực của AE

b, Gọi I và H lần lượt là giao điểm của d với AC và BC, biết BI=10cm, BC=16cm, OH=15cm Tính chu

vi IBO

HD:

a, Vì O nằm trên đường trung trực của BC nên OB= OC

=> OAE cân tại O, có => (d) là phân giác

góc O => (d) là đường trung trực của AE

b, H là trung điểm của BC =>

2 1

1 60

E

BHI vuông tại H =>

c, Tia BA cắt tia ED tại F, CMR: AE//FC

d, Kẻ Cx // DE, đường thẳng Cx cắt AE tại K, CMR: CK < CB

HD:

a, ABE có BH vừa là tia phân giác, vừa là đường cao

b, ABD = EBD (c.g.c)

c, ABD = EBD => DA= DE

 AF= EC=> BFC cân tại B=> AE//FC

b, Qua N kẻ tia Nx song song với AM cắt MC tại P CM PMN cân

c, CM BN NP, Từ đó so sánh BN và BP

d, Từ C kẻ đường thẳng d vuông góc với AM cắt MN tại I, giả sử MN AC, CMR: A, B, I thẳng hàng

1

K

F

E H

D

A

2 1 1

1

2 1

Bài 61: Cho ABC(AB<AC), Từ trung điểm D của cạnh BC, kẻ 1 đường thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A, đường thẳng đó cắt AB và AC theo thứ tự ở M và N

a, CM : AMN cân

b, CM : BM=CN

c, Cho AB=c, AC=b, Tính AM, BM theo b và c

HD:

a, AMN có tia phân giác góc A vừa là đường cao

b, Từ B vẽ đường thẳng // với AC cắt MN tại I

c, Tia DE cắt BA tại K, CM: BK=BC

d, Từ A kẻ AH vuông góc với BC (H BC), AH cắt BE tại I, CMR: AD là đường trung trực của IE

HD :

d, Gọi O là giao của IE và AD

ABD có AB=BD nên cân tại B, nên tia phân giác BO cũng là đường cao ,

Khi đó BO AD

AED có AE=DE nên cân tại E

Mà

Từ (1) và (2) suy ra hay AO là phân giác

O I H

IAE có AO vừa là đường cao, vừa là phân giác nên là đường trung trực

a, MKA= MKI ( cạnh huyền góc nhọn)

b, MBP có K là trực tâm => MK BP

MBP có MK vừa là đường cao, vừa là tia phân giác=> MBP cân tại M

MIA có MA= MI ( hai cạnh tương ứng)=> MIA cân tại M



mà là hai góc ở vị trí đòng vị nên AI// BP

 KBP là tam giác tù=>



Mà

Hay MNK có 2 đường cao là MI và ND cắt nhau tại D=> D là trực tâm MNK

a, ABD cân

b,

c, CB là tia phân giác

Face: Nguyễn Văn Ma ( Tuấn) Gmail: Sinhlaobenhtu0388765490@gmail.com 28

4

3 1 2

D C

B

A

K I

M

2

1

1 3

2 1

Bài 65: Cho ABC vuông ở A, trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD =BA Trên cạnh BC lấy

điểm G sao cho , Gọi E là giao điểm của AG và CD

Nên G là trọng tâm của ADC=> AG là đường trung tuyến

Cắt DC tại E=> DE= CE

b, AEC= IED =>

c, Từ AEC= IED => AC= DI ( hai cạnh tương ứng)

 AI=DC=> AI= DC=> AE=EC=ED=EI=> AE= DC

d, ADC có B là trung điểm của AD, E là trung điểm của DC

 BE là đường trung bình của ADC=>

GAC có GA+GC> AC=6cm

GBE có GB+GE> BE=3cm => GA+GC+GB+GE>9cm=> AE+BC> 9cm

Bài 66: Cho ABC có , tia phân giác góc cắt AC tại D, tia pân giác góc C cắt AB tại E, các tia phân giác đó cắt nhau tại I, CMR: ID=IE

và Bi cạnh chung

=>IE=IH

Chưng minh tương tự: IH=ID nên IE=ID

Bài 67: Cho ABC có tia phân giác góc ABC cắt cạnh AC ở D, tia phân giác cắt cạnh AB ở E, Tính số đo góc A biết BE+CD=BC

HD:

Trên BC lấy điểm I sao cho BI =BE

Do BE+CD=BC nên IC=DC

Ta có: EOB= IOB(c-g-c)=>

Và DOC = IOC (c-g-c)=>

a, CMR: ACE= DCE, So sánh EA và ED

HD:

a, ACE= DCE (c.g.c)

 AE=ED ( hai cạnh tương ứng)

Bài 69: Cho ABC vuông tại A, vẽ AH vuông góc với BC tại H, Tia phân giác của cắt Bh tại D, CMR:

Bài 70: Cho ABC có AB=3cm, AC=4cm, BC =5cm

a, ABC là tam giác gì vì sao?

b, Kẻ AH vuông góc với BC( H BC), gọi AD là phân giác , Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, trên đó lấy 1 điểm E sao cho AE=BD (E và C cùng phía đối với AB,

c, CM : DE=AB

d, Chứng minh ADC cân

e, Gọi M là trung điểm cảu AD, I là giao điểm của AH và DE, Chứng minh 3 điểm C, I, M thẳng hàng

HD :

b, ADB = DAE (c.g.c) => DE=AB

mà

=> ADC cân

d, ADC có I là trực tâm vì DI AC

 MC vừa là trung tuyến vừa là đường cao=> MC đi qua I

Hay C, M, I là ba điểm thẳng hàng

3 2 1

I M

D H

H D

N B

M I

Bài 71: Cho ABC vuông cân ở A, M là trung điểm của BC, điểm E nằm giữa M và C, kẻ BH, CK vuông góc với AE, CMR:

Bài 72: Cho ABC vuông cân tại A, M là trung điểm của BC, lấy điểm D bất kỳ thuộc cạnh BC, H và I theo thứ tự là hình chiếu của B và C xuống AD, đường thẳng AM cắt CI tại N, CMR:

a, BH=AI

c, DN vuông góc với AC

d, IM là tia phân giác

HD:

=>BH=AI

b, Áp dụng định lý Py-ta-go vào ABH vuông tại H ta có:

c, Vì ABC vuông cân tại A

nên AM là trung truyến và cũng là đường cao ABC

Xét ADC có hai đường cao IC và AM cắt nhau tại N

Nên N là trực tâm khi đó

H D

N

C B

A

M K

Bài 73: Cho ABC vuông cân tại B, có trung tuyến BM, gọi D là một điểm bất kỳ thuộc cạnh AC, kẻ

AH và CK vuông góc với BD (H, K thuộc BD), CMR:

Bài 74: Cho ABC, AB<AC, AD là tia phân giác , trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AB=AE

a, CMR: DB=DE

b, Giả sử AD cắt BE tại K, CMR: K là trung điểm của BE

c, Qua E kẻ đường thẳng d song song với AD cắt BA tại F, CMR: AEF cân

d, Giả sử EA cắt FK tại G, BG cắt EF tại H biết EA=9cm, BH=12cm AH=? cm, Tính chu vi BGE

HD:

a, ABD = AED (c.g.c) => DB=DE

b, Vì AB=AE => A nằm trên đường trung trực của BE

Và DB= DE nên D nằm trên đường trung trực của BE

 AD là đường trung trực của BE cắt BE tại K nên KB=KE

Lại có AE=AB=>

d, G là trọng tâm BFE vì có AE và FK là hai đường trung tuyến

 HF=HE và AH là đường trung bình



1

2 1

H G F

Bài 75: Cho ABC cân tại A, , trên tia đối của tia AB, lấy D sao cho AD=AB, kẻ đường cao AF của ACD, AC cắt BF tại G

a, CMR: F là trung điểm của DC và G là trọng tâm của BDC, CMR: BD=6 AG

c, KF cắt AD tại I, biết: , So sánh các đoạn thẳng: CH, HI và ID

HD:

a, ADC cân tại A có À là đường cao nên cũng là trung tuyến

DBC có AC và BF là hai đường trung tuyến cắt nhau tại G

 G là trọng tâm BDC

b, ADC có 3 đường cao là AF, DK, HC nên chúng đồng quy

c, Ta có AHC vuông tại H có

ADC cân tại A có hai đường cao ứng với hai cạnh bên là CH và KD

 CH= DK => HD=KC

Lại có



Bài 76: Cho ABC vuông tại A, có , trên cạnh AC lấy 2 điểm E và P sao cho

, Gọi I là chân đường vuông góc hạ từ C xuống đường thẳng BP, đường thẳng CI cắt

BE ở F

a, CMR: ECF cân

b, Trên tia đối tia EB lấy điểm K sao cho EK=BC, tính số đo các góc của BCK

c, Gọi H là hình chiếu vuông góc vủa C trên BK, D là trung điểm của đoạn CH, L là hình chiếu vuông góc của H trên BD, CM KL vuông góc với LC

HD:

Nên BFC có BI vừa là phân giác vừa là đường cao

 BFC là tam giác cân tại B

b, BFE có BI vừa là đường cao vừa là tia phân giác

 BC=BF mà BC=EK=> BF=EK

45

45

1

I K

2 1 3

2

1

L

D H