tổng hợp bài toán liên quan của hàm số

Chuyên đề hàm số đầy đủ các dạng, có lời giải chi tiết; Chuyên đề hàm số đầy đủ các dạng, có lời giải chi tiết;Chuyên đề hàm số đầy đủ các dạng, có lời giải chi tiết;Chuyên đề hàm số đầy đủ các dạng, có lời giải chi tiết;Chuyên đề hàm số đầy đủ các dạng, có lời giải chi tiết

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

CHUYÊN ĐỀ 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A Kiến thức cơ bản

Giả sử hàm số yf x( ) có tập xác định D

 Hàm số f đồng biến trên D  y 0, x D và y  chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D 0

 Hàm số f nghịch biến trên D  y 0, x D và y  chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc D 0

 Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )ax2bx c a ( 0):

+ Nếu  < 0 thì g x( ) luôn cùng dấu với a

+ Nếu  = 0 thì g x( ) luôn cùng dấu với a (trừ x b

a

  ) + Nếu  > 0 thì g x( ) có hai nghiệm x x1, 2 và trong khoảng hai nghiệm thì g x( ) khác dấu với a,

ngoài khoảng hai nghiệm thì g x( ) cùng dấu với a

 So sánh các nghiệm x x1, 2 của tam thức bậc hai g x( ) ax2bx c với số 0:

-Tính đạo hàm f’(x) Tìm các điểm xi mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

-Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập BBT

-Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Ví dụ 1 Xét chiều biến thiên các hàm số sau:

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số a) y = x + 1

x + 2

DẠNG 2: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SÔ

PP: Sử dụng các kiến thức sau đây:

1 Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K

Nếu f x '( )  0,   x K thì f(x) đồng biến trên K

Nếu f x '( )  0,   x K thì f(x) ngh ịch biến trên K

2 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có biệt thức   b2 4 ac Ta có:

Chú ý: để xét tính đơn điệu dạng hàm số chứa tham số còn có thể vận dụng tam thức bậc 2 tuy nhiên nó

ko năm trong chương trình dạy

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

y  x  m  x  m  x  Tìm m để hàm số luôn tăng trên R

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

+ m   0 y '  6   0 m = 0 thỏa yêu cầu bài toán

+ m    5 y '   60 x   6 m = - 5 không thỏa yêu cầu bài toán

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số TXĐ: D  R \    1

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

Kết luận: Với m   3 thì điều kiện bài toán được thỏa

Ví dụ 15 Cho hàm số y   x3 3 x2 mx  2 Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến trên 0;2 

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

Hàm số đồng biến trên [1; 5] khi y '  mx2  2(1 3 )  m x  2 m   1 0,   x [1;5]

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

Ví dụ 20 Tìm m để hàm số

2(1 ) 2

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m 2

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác định của nó

 Tập xác định: D = R y(m1)x22mx3m  2

(1) đồng biến trên R  y0, x  m 2 

Câu 2 Cho hàm số yx33x2mx (1) 4

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m 0

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (;0)

 Tập xác định: D = R y3x26x m y  có  3(m3)

+ Nếu m   thì 3  0  y 0, x  hàm số đồng biến trên R  m   thoả YCBT 3

+ Nếu m   thì 3   0  PT y   có 2 nghiệm phân biệt x x x0 1, 2( 1x2) Khi đó hàm số đồng biến trên các khoảng (;x1),(x2; )

Do đó hàm số đồng biến trên khoảng (;0)  0 x1x2  P

S

000

30

Câu 3 Cho hàm số y2x33(2m1)x26 (m m1)x có đồ thị (C1 m)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0

2) Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; )

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1

2) Tìm m để hàm đồng biến trên khoảng K(0; )

 Hàm đồng biến trên (0;  ) y3x22(1 2 ) m x(2m)0 với x ( ;0 )

x x

2 23( )

12

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

Lập BBT của hàm f x ( ) trên (0;  , từ đó ta đi đến kết luận: f) 1 m 5 m

2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K ( ;2)

0000

2 2 2

  thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (;2)

Câu 6 Cho hàm số y   x3 3x2 3mx 1 (1)  , với m là tham số thực

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0

2) Tìm m để hàm nghịch biến trên khoảng K(2; )

0000

2 2 2

Vậy: Với  1 m  thì hàm số (1) nghịch biến trong khoảng (2;1  )

Câu 6 Cho hàm số yx33x2mx m (1), (m là tham số)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 3

2) Tìm m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1

 Ta có y'3x26x m có   9 3m

+ Nếu m ≥ 3 thì y 0, x R hàm số đồng biến trên R  m ≥ 3 không thoả mãn

+ Nếu m < 3 thì y   có 2 nghiệm phân biệt x x x0 1, 2( 1x2) Hàm số nghịch biến trên đoạn x x 1; 2 với

độ dài l x1x2 Ta có: x1 x2 2; x x1 2 m

3

YCBT  l  1 x x  1 (x x )24x x  1 m9

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

Câu 7 Cho hàm số y 2x33mx2 (1) 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1

2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) đồng biến trong khoảng x x( ;1 2) với x2x1 1

 y' 6x26mx , y'0x 0 xm

+ Nếu m = 0 y0, x   hàm số nghịch biến trên   m = 0 không tho ả YCBT

+ Nếu m 0 , y 0, x (0; )m khi m0 hoặc y 0, x ( ;0)m khi m0

Vậy hàm số đồng biến trong khoảng x x( ;1 2) với x2x1 1

Câu 8 Cho hàm số yx42mx23m  (1), (m là tham số) 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1

2) Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2)

 Ta có y'4x34mx4 (x x2m)

+ m 0 , y  0, x (0; )  m 0 thoả mãn

+ m 0 , y  có 3 nghiệm phân biệt: 0  m m, 0,

Hàm số (1) đồng biến trên (1; 2)  m1 0m  1 Vậy m     ;1

Câu hỏi tương tự:

a) Với yx42(m1)x2m  ; y đồng biến trên khoảng (1;3) 2 ĐS: m 2 

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1)

 Tập xác định: D = R \ {–m} y m

x m

2 2

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định  y   0 2 m2 (1)

Để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng(;1)thì ta phải có m  1 m   (2) 1

Dựa vào BBT của hàm số g x( ),   x ( ; 1] ta suy ra m 9 

Vậy m 9  thì hàm số (2) đồng biến trên ( ; 1)

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

Dựa vào BBT của hàm số g x( ),   x ( ; 1] ta suy ra m 3 

Vậy m 3  thì hàm số (2) đồng biến trên (2;  )

Dựa vào BBT của hàm số g x( ),   x ( ; 1] ta suy ra m 1 

Vậy m 1  thì hàm số (2) đồng biến trên (1; 2)

CHUYÊN ĐỀ 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ DẠNG 1: TÌM CỰC TRI CỦA HÀM SỐ

*) Điểm tới hạn là điểm mà tại đó y,=0 hoặc không xác định

*) Điều kiện tồn tại cực trị

Hàm số y  f (x) có cực trị khi y’ đổi dấu

- Tại mỗi điểm xi mà qua đó nếu:

a) f ’(x) đổi dấu từ âm sang dương thì f(x) đạt cực tiểu tại điểm đó b) f ’(x) đổi dấu từ dương sang âm thì f(x) đạt cực đại tại điểm đó c) f ’(x) không đổi dấu thì f(x) không đạt cực trị tại điểm đó Cách 2:

Chú ý: Cách 2 chỉ sử dung khi xét dấu của y, khó hoặc để thử xem điểm xi có là điểm cực trị hay ko

Chú ý: Giá trị cực đại, cực tiểu không phải là giái trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên D, nó chỉ là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên (a,b) nào đó chứa điểm tới hạn

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

+∞

3 -1

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

1

c d

a b c d

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số Error! Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu tại x   , 2 y  2  115 và x  , 2 y 2 13, đạt cực đại tại điểm x  , 1 y 1 20;

Error! Reference source not found Hàm số đạt cực đại tại điểm x   , 1 y  1   và đạt cực tiểu tại điểm 75

TH1: Nếu a=0 => y '  2 bx   c 0 Vậy để hàm số ko có cực trị cần b#0

TH2: Nếu a#0 Vậy để hàm số có cực trị thì phương trình y,  3 ax2 2 bx   c 0có   0

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

     y có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi

' 0

   m2 2 m   3 0  3 m1 (2) Kết hợp với  1 và  2 ta có những giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m    3; 2  2;1

Ví dụ 3 Cho hàm số y x33mx23(1m x m2)  3m2 (1) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y2x m 2m

Ví dụ 4 (B-2013 ) Cho hàm số y  2 x3 3( m  1) x2 6 mx (1), với m là tham số thực.Tìm m để đồ thị hàm số (1)

có hai điểm cực trị A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + 2

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

Giải

Ta có: y’ = 6(x2 – (m + 1)x + m)),

Để hàm số có 2 cực trị  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt  (m + 1)2 – 4m > 0  m  1

Thực hiện y chia y’ ta có : y =1

(2 1) '

6 x m   y - (m – 1)

2

x + m2 + m YCBT  -(m – 1)2 = -1 và m  1  m = 0 hay m = 2

Gọi hai điểm cực trị là A x y ( ,1 1); B x y ( ,2 2)

Thực hiện phép chia f (x) cho f’(x) ta có: f x     2 x  m  1  f '    x  3 m  1 2x  m m   1 1 2   m 

 Đường thẳng đi qua CĐ, CT là (): y    3 m  1 2x  m m   1 1 2   m  với 1

      Gọi hai điểm cực trị là A x y ( ,1 1); B x y ( ,2 2)

Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

Hàm số có cực đại , cực tiểu  phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt  m  0

Hai điểm cực trị là A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1)

Trung điểm I của đoạn thẳng AB là I(m ; 2m3 – 3m – 1)

Vectơ AB(2 ; 4m m3)

; Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là u  (8; 1)

Hai điểm cực đại , cực tiểu A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng d  I d

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

f  x  x  x  m  có 2 nghiệm phân biệt

     9 3 m2  0  m  3 Gọi hai điểm cực trị là A x y ( ,1 1); B x y ( ,2 2)

Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:

Ví dụ 10 Cho hàm số y  x3 3 mx2 (1), với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 2

hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 2 (O là gốc tọa độ)

Giải

Với mọi x   , y' = 3x2 + 6mx  y' = 0  x = 0 hoặc x = -2m

Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt

 m  0

Khi đó, tọa độ các điểm cực trị là: A(0; 2); B(-2m; 4m3 + 2)

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

1

m m

Vậy với m =  1 thì hàm số có 2 cực trị thỏa mãn bài

Ví dụ 11 Cho hàm số y   x3 3 mx  1 (1) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có 2 điểm cực trị A B , sao

cho tam giác OAB vuông tại O ( với O là gốc tọa độ )

Giải

Ta có: y' 3x23m 3x2m

 2

- Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tạix1, x2

phương trình y '  0 có hai nghiệm pb là x1, x2

 Pt x22(m1)x30 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2

310

3)

1

(

m m

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

Lưu ý : Khi đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B ,C và A thuộc Oy thì tam giác ABC cân tại A

6 phương trình đường cong đi qua điểm cực trị

+ Tìm TXĐ

+ Tính y’

+ Tìm đk để y '=0 có 3 nghiệm phân biệt

Thực hiện phép chia f (x) cho f (x) ta có:     .    

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số Hàm số có 3 cực trị  2 2

Ví dụ 16 Cho hàm số y  x4 2 mx2 1 (1)Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A,

B, C sao cho BC = 4 và A là điểm cực trị thuộc trục tung

0' 0

*

x y

Hàm số có CĐ, CT  PT f  ( ) x  0 có 3 nghiệm phân biệt  m 2  (*)

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A0;m25m5 , B 2m;1m, C 2m;1m

 AB 2m;m24m4 , AC  2m;m24m4

Do ABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi ABC vuông tại A  AB AC  0   m  2 3   1  m  1

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

Ví dụ 19 Cho hàm số y x4 2(m2)x2m2 5m5 C mVới những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều

Hàm số có CĐ, CT  PT f  ( ) x  0 có 3 nghiệm phân biệt  m 2 (*)

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A0;m25m5 , B 2m;1m, C 2m;1m



 

   m2 3 3

Ví dụ 20 Cho hàm số y  x4 2 mx2 m2 m có đồ thị (Cm) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng 1200

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

Với điều kiện (*), phương trình y  0có 3 nghiệm x1  m x ; 2  0; x3 m Hàm số đạt cực trị tại x x x1; 2; 3 Gọi A (0; 2 m  m4); B  m m ; 4 m2 2 m C   ;  m m ; 4 m2 2 m  là 3 điểm cực trị của (Cm)

Ta có: AB2 AC2 m4 m BC ; 2  4 m   ABC cân đỉnh A

Gọi M là trung điểm của BCM(0;m4m22 )m  AM m2 m2

Vì ABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:

Câu 2 Cho hàm số y x3(2m1)x2(m23m2)x  (m là tham số) có đồ thị là (C4 m ) Xác định m để (C m)

có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung

ĐS: 1m 2

Câu 3 Cho hàm số y 1x3 mx2 (2m 1)x 3

3

     (m là tham số) có đồ thị là (C m ) Xác định m để (C m) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung

ĐS:

112

m m





 



Câu 4 Cho hàm số yx33x2mx2 (m là tham số) có đồ thị là (C m ).Xác định m để (C m) có các điểm cực đại

và cực tiểu cách đều đường thẳng yx 1

ĐS: m0

Câu 5 Cho hàm số yx33mx24m3 (m là tham số) có đồ thị là (C m ) Xác định m để (C m) có các điểm cực đại

và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x

2

 

Câu 6 Cho hàm số y x33mx23m  Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực 1

tiểu đối xứng với nhau qua đường thẳng d: x8y74 0

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

x x1, 2 sao cho x1x2  8

ĐS:

m m

    (1) (a là tham số) Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị tại x1,x2 phân biệt

và thoả mãn điều kiện:

Câu 11 Cho hàm số y2x39mx212m x2  (m là tham số).Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại x1 CĐ,

cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x2CÑx CT

ĐS: m  2

Câu 12 Cho hàm số yx33mx23(m21)x m 3m (1)Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng

cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm

số đến gốc tọa độ O

Câu 13 Cho hàm số yx33x2mx2 có đồ thị là (Cm ).Tìm m để (C m) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường

thẳng đi qua các điểm cực trị song song với đường thẳng d: y 4x 3

Câu 14 Cho hàm số yx3mx27x có đồ thị là (C3 m ).Tìm m để (C m) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường

thẳng đi qua các điểm cực trị vuông góc với đường thẳng d: y3x 7

ĐS: m 3 10

2

 

Câu 15 Cho hàm số yx33x2mx có đồ thị là (C2 m ) Tìm m để (C m) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường

thẳng đi qua các điểm cực trị tạo với đường thẳng d: x4y 5 0 một góc a 450

ĐS: m 1

2

  Câu hỏi tương tự:

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số cực trị sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng 4

5

ĐS: m 1

Câu 18 Cho hàm số yx33x2mx  (1), với m là tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị 1

sao cho khoảng cách từ điểm I 1 11;

Câu 21 Cho hàm số yx33mx23(m21)x m 34m  (1) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực 1

trị A, B sao cho OAB vuông tại O

ĐS: m=-1, m=2

Câu 22 Cho hàm số y2x23(m1)x26mx m 3(1) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B

sao cho tam giác ABC vuông tại C, với C(4; 0)

ĐS: m  1

Câu 23 Cho hàm số yx33x2m2m  (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu là A 1

và B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 7, với điểm C(–2; 4 )

m

32

Câu 24 Cho hàm số yx33(m1)x212mx3m  (C) Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai 4

điểm này cùng với điểm C 1; 9

Câu 27 Cho hàm số yx33x2mx2 (1).Tìm m để hàm số (1) có 2 cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm

cực trị của đồ thị hàm số tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

Câu 31 Cho hàm số y f x( )x42(m2)x2m25m 5 (C m ) Tìm các giá trị của m để đồ thị (C m) của hàm

số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân

 

c) yx44(m1)x22m  1

Câu 33 Cho hàm số yx42mx22m m 4 có đồ thị (Cm) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba

điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có diện tích S4

(C m ) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox  PT (1) có 3 nghiệm phân biệt

 (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1  m

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

112

Gọi hai điểm cực trị là A x 1;y1 ;B x2;y2

Thực hiện phép chia y cho y  ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng yx 1  m

y y

2 2 2

12

Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m 3 )

A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x  AB d

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

     có 2 nhiệm phân biệt  1 0,m

Khi đó: điểm cực đại A m( 1;2 2 ) m và điểm cực tiểu B m(   1; 2 2 )m

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

' 9 3m0m   (*) 3

Gọi hai điểm cực trị là A x 1;y1 ;B x2;y2

Thực hiện phép chia y cho y  ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

Thực hiện phép chia y cho y  ta được: y 1x 1 y' 2(21 m x2) 3 7m

Gọi hai điểm cực trị là A x 1;y1 ;B x2;y2

Thực hiện phép chia y cho y  ta được: y 1x 1 y' 2m 2 x 2 m

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

Đồ thị (Cm) có điểm cực đại A( 2 m;4) và điểm cực tiểu B m( ;0)  AB2 5

Bài 20:  Ta có: y 6(x1)(x m ) Hàm số có CĐ, CT  y   có 2 nghiệm phân biệt 0  m 1 

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

0' 000

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

Hàm số có CĐ, CT  PT f ( )x  có 3 nghiệm phân biệt 0  m2 (*)

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A0;m25m5 , B 2m;1m, C 2m;1m

Hàm số có CĐ, CT  PT f ( )x  có 3 nghiệm phân biệt 0  m 2  (*)

Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A0;m25m5 , B 2m;1m, C 2m;1m

Hàm số có 3 cực trịy'  có 3 nghiệm phân biệt0  gm0m  0 (*)

Với điều kiện (*), phương trình y  có 3 nghiệm x0 1  m x; 20;x3 m Hàm số đạt cực trị tại x x x1; 2; 3 Gọi A(0;2m m 4);B m m; 4m22m C ;  m m; 4m22m là 3 điểm cực trị của (C m )

Ta có: AB2AC2m4m BC; 24m ABC cân đỉnh A

Gọi M là trung điểm của BCM(0;m4m22 )m AM m2 m2

Vì ABC  cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:

A LÝ THUYẾT

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

Phương pháp1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một đoạn (a,b)

 Tìm tập xác định

 Tính

 Giải phương trình (các điểm tới hạn ) và tính giá trị tại các điểm tới hạn

 Lập bảng biến thiên , căn cứ bảng biến thiên GTLN,GTNN

 Tính

 Giải phương trình , để tìm các nghiệm

 GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa tìm

 GTNN là số bé nhất trong các giá trị vừa tìm

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

CHUYÊN ĐỀ 4 TIỆM CẬN CỦA HÀM SỐ

A LÝ THUYẾT

1 Tiệm cận đứng: Hàm y = f(x) thỏa 1 trong các ĐK:

0 0 0 0

limlimlimlim

x x

x x

(Khi a = 0 ta có tiệm cận ngang)

*Chú ý: + Hàm đa thức bậc 3, bậc 4 không có tiệm cận; hàm hữu tỷ ac 1

2

x y

2 2

2 lim lim

2

x y

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

3 2

2 lim lim

2

x y

x y

3 2

x x



 g) y = 2

2 1

x x

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

CHUYÊN ĐỀ 5 TÍNH LỒI LÕM VÀ ĐIỂM UỐN

A LÝ THUYẾT

I) Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn :

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a;b) & có đồ thị là (C):

1)f”(x) < 0, x(a;b) (C) là đồ thị lồi trên (a;b)

2) f”(x) > 0, x(a;b) (C) là đồ thị lõm trên (a;b)

3) f”(x) đổi dấu khi x đi qua x0  U(x0;f(x0)) là điểm uốn của đồ thị (C)

* Chú ý: Tại x0, f”(x0) có thể tồn tại hoặc không tồn tại

II) Điều kiện để đồ thị (C): y = f(x) có một số tính chất:

1) (C) luôn luôn lồi (lõm)  f”(x) < 0 (hoặc > 0) trên D

2) Đồ thị (C) có điểm uốn  f”(x) đổi dấu trên D

3) U(x0;f(x0)) là điểm uốn của (C)

1 x 2

 có hai điểm uốn là U1(1;1);U2(3;-7)

Bài 7: Cho hàm số : y  x3 ax2 bx  c Xác định a, b, c để đồ thị hàm số có điểm uốn I(0;1) và đạt cực trị tại x=1

Bài 8: Tìm m để đồ thị hàm số: y x4 mx2 3





a) Có hai điểm uốn

b) Không có điểm uốn

Bài 9: Cho hàm số: y  3 x5 5 x4 3 x a  , a là tham số

Tìm a để đồ thị hàm số nhận các điểm sau làm điểm uốn:

a) U(1;-1)

b) M(0;-2)

Bài 10: (D – 2004) Cho hàm sốy  x3 3mx2 9x 1  (1) với m là tham số

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

CHUYÊN ĐỀ 6 KHẢO SÁT HÀM SỐ

O

x y

O

x y

O

x y

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số





   



Đồ thị hàm số đồng biến trên các khoảng: (   ; 2) va (0;  )và nghịch biến trên khoảng (- 2; 0)

- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = -2  yCđ= y(-2) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0  yCT = y(0) = -4

- Giao với Ox:

Cho y = 0 giải phương trình:

x3 + 3x2 – 4 = 0  1

2

x x

-2

O 1

-1 -2

-2 -3 -4

Ví dụ 2: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 + 3x + 2

GV: Nguyễn Đức Kiên Chuyên đề Hàm số

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0  y = 2

- Tâm đối xứng của đồ thị: y ''  6 x  6  y   '' 0 6 x   6 0

O 1 2

-1

Ví dụ 3: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: y = - x3 + 3x2 - 4x +2

* Tập xác định: D  R

* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y  ' -3x 2  6x - 4

Ta có y’= 0  -3x2 +6x – 4 = 0  Phương trình vô nghiệm

 y’< 0   x D  Hàm số luôn nghịch biến trên D

-

* Đồ thị:

- Giao điểm của đồ thị với trục tung: cho x = 0  y = 2

- Tâm đối xứng của đồ thị: y ''   6 x  6  y  '' 0  6  x   6 0

x y

O

1 2