Phương trình Parabolic nửa tuyến tính trên miền thay đổi theo thời gian

Bài viết Phương trình Parabolic nửa tuyến tính trên miền thay đổi theo thời gian trình bày các kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu của lớp phương trình Parabolic nửa tuyến tính trên miền thay đổi theo thời gian với các điều kiện trong L1 .

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8

PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NỬA TUYẾN TÍNH

TRÊN MIỀN THAY ĐỔI THEO THỜI GIAN

Đỗ Lân1, Nguyễn Ngọc Huy1

Trường Đại học Thủy lợi, email:dolan@tlu.edu.vn

1 GIỚI THIỆU CHUNG

Các bài toán trên miền thay đổi hình dạng

theo thời gian xuất hiện trong các lĩnh vực

vật lý, sinh học, hóa học hay các lĩnh vực

khác thu hút sự quan tâm chú ý của các nhà

toán học trong thời gian gần đây Những kết

quả ban đầu về các phương trình đạo hàm

riêng trong miền thay đổi theo thời gian có

thể xem trong các tài liệu tham khảo [1], [2],

[6] Trong bài báo này, chúng tôi trình bày

các kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu của lớp

phương trình parabolic nửa tuyến tính trên

miền thay đổi theo thời gian với các điều kiện

trong L1

2 NỘI DUNG CHÍNH

2.1 Đặt bài toán

Cho trước một miền bị chặn Ω ⊂ \0 d,

d≥ 1, với biên ∂Ω0 trơn Giả sử

: × d→ d

ν \ \ \ là một trường vectơ trơn và

có giá compact, ζ:\ \× d →\d là dòng

tương ứng với trường vectơ ν được định

nghĩa bởi

∂tζ( )x t, =ν(t,ζ( )x t, ),ζ(x0,0)=x0,

với mọi x0∈ \d Ta có chú ý rằng, với mỗi x

cho trước, ánh xạ là một đường

cong tích phân của ν và với mỗi t cho trước,

ánh xạ là một vi đồng phôi Giả

sử Ω0⊂supp( )ν , ta định nghĩa Ωt=ζt( )Ω0 và

miền không trụ

( )

,

( )

Trong bài báo này, chúng tôi sẽ nghiên cứu tính giải được của bài toán sau:

( )

(1)

t

T

T

f x t Q

υ

⎪

⎪

⎪

⎩

ν

với f ∈L1( )Q T và u0∈L1( )Ω0

T

a Q ×\+×\ →\ thỏa mãn một số điều kiện tăng trưởng sao cho

∇ ⋅ a x,t,∇u( ) bao hàm cả trường hợp toán tử Laplacian Δu hoặc p-Laplacian ∇ ⋅ ∇u( p−2∇u)

với mỗi 1< p ≠ 2 Cụ thể, giả sử ( )

T

a Q × T ×\ →\ là hàm Carathéodory thỏa mãn:

(A1) Với mọi ( )x,t ∈Q Tvà ξ ξ ∈ \, ' d thì

a x,t,( ξ)− a x,t,( ξ')

và a x,t,0( )= 0

(A2) Tồn tại p>2d+1

d+1 sao cho với

x,t

( )∈Q T và ξ ∈ \d thì

a x,t,( ξ)≤ζ( )x,t + Kξp−1, trong đó ζ∈L p'( )Q T , 1

p'= 1 và K≥ 0

(A3) Tồn tại α> 0 sao cho

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8

a x t ξ ξ α ξ≥ trong đó ( )x,t ∈Q Tvà ξ ∈ \d

Thành phần phi tuyến : d

T

g Q×\ \ \+× × →\ thỏa mãn

(G1) Tồn tại C> 0 để

λg x,t,( λ,ξ)≥ −C, với mọi λ∈\,ξ∈\d

(G2) Điều kiện tăng trưởng kiểu kỳ dị theo

thành phần gradient, nghĩa là tồn tại 0≤σ< p

sao cho

g x,t,( λ,ξ)≤ h( )λ (γ( )x,t +ξσ),

với γ∈L1( )Q T và h là một hàm tăng trong

+

\

Ta có nhận xét rằng, các điều kiện

(A0)-(A3) của a cho ta thấy rằng, lớp toán tử thỏa

mãn các điều kiện này sẽ chứa toán tử

p-Laplacian, nghĩa là

a x,t,( ξ)≡ a p( )ξ = ∇ξp−2

∇ξ với p>2d+1

d+1

Ngoài ra, điều kiện (A2) yếu hơn điều

kiện đơn điệu mạnh thông thường sau:

a x,t,( ξ)− a x,t,( ξ')

( ) (ξ−ξ')≥ Cξ−ξ'p,

với C> 0

2.2 Kết quả chính

Kết quả chính của bài báo này là chứng

minh sự tồn tại nghiệm yếu của bài toán (1)

Trước hết ta định nghĩa nghiệm yếu của

bài toán

Định nghĩa 1 Một hàm

u ∈C 0,T(⎡⎣ ⎤⎦;L1( )Ωt ∩ L q(0,T;W 1,q( )Ωt ) )

với 1< q < p − d

d+1 được gọi là nghiệm yếu

của bài toán (1) nếu g x,t,u,( ∇u)∈L1( )Q T và

với mọi ψ∈C0∞( )Q T với ψ( )T = 0 và thỏa

mãn đẳng thức sau:

( )

0

0

0

t

T

t

Ω

∫ ∫

ν

d+1 là cần thiết để định nghĩa nghiệm yếu Vì nếu p≤2d+1

d+1 thì

ta chỉ nhận được ∇u ∈L q( )Q T d

với q∈ 0,1( ) Trong trường hợp này, thay vì nghiên cứu nghiệm yếu, ta sẽ nghiên cứu nghiệm

"renormalized" của bài toán (1), tức là loại nghiệm yếu hơn khái niệm ta đang nghiên cứu Việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm

“renormalized” cho lớp bài toán (1) là một vấn đề mở của bài toán này Các nghiên cứu

về nghiệm “renormalized” có thể xem trong các tài liệu tham khảo [3] và [4]

Định lý Giả sử các điều kiện (A1)-(A3) và

(G1)-(G2) được thỏa mãn Khi đó với mọi

u0∈L1( )Ω0 và f ∈L1( )Q T , tồn tại ít nhất một nghiệm yếu u của bài toán (1) trên ( )0,T

được định nghĩa theo Định nghĩa 1

Sau đây tôi sẽ trình bày lược đồ chứng minh và phương pháp chứng minh tương ứng theo bước

Lược đồ chứng minh:

Bước 1: Xây dựng bài toán xấp xỉ với dữ

liệu trơn Lấy u0,ε∈C∞( )Ω0 và fε∈C Q∞( T) mà

0, 0

u ε→u trong 1( )

0

L Ω và fε→f trong

L1( )Q T Hơn nữa:

u0,ε L1

Ω0

( )≤ u 0 L1 ( ) Ω0 và f ε L1 ( )Q T ≤ f

L1 ( )Q T

Đặt G u u( ,∇ = ∇ ⋅) ( )uν +g x t u u( , , ,∇ ), ta sử dụng phương pháp Galerkin tương tự như trong [1] để chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 1 Tồn tại nghiệm yếu của bài toán

xấp xỉ:

∂t uε− ∇ ⋅ a x,t,∇u( ε)+ Gε(uε,∇uε)= fε, x,t( )∈Q T,

a x,t,( ∇uε)⋅υ = 0, x,t( )∈S T,

uε( )x,0 = u0,ε, x∈Ω0,

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪

⎪ trong đó Gε(uε,∇uε)= G u

ε,∇uε

1+εG u( ε,∇uε)

Bước 2: Chứng minh tính bị chặn đều

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2019 ISBN: 978-604-82-2981-8

Để qua giới hạn và tìm được nghiệm yếu

của bài toán, chúng ta cần chỉ ra tính bị chặn

đều theo ε của nghiệm xấp xỉ uε Áp dụng

phương pháp trong [5] và [7], chúng tôi

chứng minh được bổ đề sau:

thuộc vào u 0 L1Q

T

( ) và f L1Q

T

( ) sao cho

uε

L q(0,T ;W 1,q( ) Ωt)≤ C T( ), với mọi 1< q < p − d

d+1

Từ kết quả về tính bị chặn trong Bổ đề 2,

chúng ta có một dạng mới của Bổ đề

Aubin-Lions về tính compact trong miền biến đổi

theo thời gian (xem [8])

Bổ đề 3 (Bổ đề dạng Aubin-Lions cho

miền thay đổi theo thời gian) Giả sử { }u n là

một dãy bị chặn trong L q( )Q T và { }∇u n bị

chặn trong L q( )Q T Ngoài ra, giả sử tồn tại

C> 0 và với mỗi N∈ \ sao cho

∂t u n,ψ ≤ C sup

t ∈ 0,T( )

α ≤N∑ ∂αxψ

L2 ( ) Ωt Khi đó, dãy { }u n là tiền compact trong

L q( )Q T

Bước 3: Qua giới hạn

Sử dụng các kết quả ở bước 2, ta chỉ ra u

chính là nghiệm yếu của bài toán (1)

3 TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] J Calvo, M Novaga, G Orlandi, 2017,

Parabolic equations in time-dependent

domains, J Evol Equ., 17, 781-804

[2] Manuel Fernando Cortez, Aníbal

Rodríguez-Bernal PDEs in Moving Time

Dependent Domains Without Bounds: A Scientific Canvas of Nonlinearity and Complex Dynamics, Springer-Verlag Berlin

Heidelberg, p 369, 2013, Understanding Complex Systems, 978-3-642-34069-7

ffhal-00954462f

[3] D Blanchard, F Murat, 1997, Renormalised

solutions of nonlinear parabolic problems with L1 data: existence and uniqueness, Proc Royal Soc Edinburgh Sect A, 127 (6), pp 1137-1152

[4] D Blanchard, H Redwane, 1998,

Renormalized solutions for a class of nonlinear evolution problems, J Math Pures

Appl., 77, p 117-151

[5] L Boccardo, T Gallouét, 1989, Non-linear

elliptic and parabolic equations involving measure data, J Funct Anal 87, 149-169

[6] S Bonaccorsi, G Guatteri, 2001, A

variational approach to evolution problems with variable domains, J Diff Eq., Vol 175,

Issue 1, 51-70

[7] Goudon, M Saad, 2001, Parabolic equations

involving 0 th and 1 st order terms with L1

data, Rev Mat Iberoam, 17, 433-469

[8] A Moussa, 2016, Some variants of the

classical Aubin-Lions Lemma, J Evol

Equ 16