TỔNG ôn hàm hợp

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm... Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thực phân biệt Củng cố 09: Cho hàm số y= f x có bảng biến thiên như sau... Vậy phương trình đã cho có 9 nghiệm

Củng cố 01: Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Số nghiệm thực phân biệt của phương trình 2( ) ( )

f x + f x = là:

+) Đáp án: 4

Ta có 2( ) ( ) ( ) ( ) 0

4

f x

f x

=



= −

+ Dựa vào bảng biến thiên, ta có

Phương trình f x =( ) 0 có 2 nghiệm và phương trình f x = −( ) 4 có 2 nghiệm Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm

Củng cố 02: Cho hàm số f x ( )có đồ thị như hình vẽ Đặtg x( )= f f x( ) Tìm số nghiệm của phương trình g x  ( ) = 0

+) Đáp án: 9

Ta có: g x( )= f( )x f f x( ) ; ( ) ( ) ( )

0

g x





Dựa vào đồ thị ta thấy:

TH1: Phương trình ( )

0

1

=





 = −



x

x

TH2: Phương trình ( )

f x

f x

=







Nhận xét:

Số nghiệm của phương trình ( )* là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f x ( ) và đường thẳng y =0

Suy ra phương trình ( )* có 2 nghiệm

Số nghiệm của phương trình ( )** là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f x ( ) và đường thẳng y =1

Suy ra phương trình ( )* có 3 nghiệm

Số nghiệm của phương trình (***) là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f x ( ) và đường thẳng

1

y = − Suy ra phương trình ( )* có 2 nghiệm

Vậy số nghiệm của phương trình g x  ( ) = 0 là 9

Củng cố 03: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm trên thỏa mãn f −( )2 = 0, f ( )0 = 1,

( )4 3

f = − và có đồ thị hàm f( )x như hình vẽ dưới đây Phương trình 2( )

0

ff x  = có bao nhiêu ngiệm?

+) Đáp án: 7

Ta có ( )

2

4

x

x

= −





 =

 Bảng biến thiên của hàm số y= f x( )

Phương trình ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

2

2 4

f x

=



Từ BBT của y= f x( ) ta thấy:

Phương trình f x =( ) 0có 3 nghiệm

Phương trình f x = −( ) 2có 2 nghiệm

Phương trình f x =( ) 2có 2 nghiệm

Vậy phương trình 2( )

0

ff x  = có 7 nghiệm

Củng cố 04: Cho hàm số bậc bốn ( ) 4 2

y= f x =ax +bx +c (a b c; ;  ,a 0) có bảng biến thiên như sau Phương trình f (1 2 − f x( ) )= f c( ) có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt ?

+) Đáp án: 5

Ta có f( )0 = = c 1 f c( )= f ( )1 = 2

( )

f − f x = f c ( ( ) ) 1 2 ( ) ( ) 1

f x

f x





f x

f x

=



 

=

Phương trình ( )1 có 2 nghiệm phân biệt x x 1; 2

Phương trình ( )2 có 3 nghiệm phân biệt x x x 3; 4; 5

Vậy phương trình đã cho có 5 nghiệm phân biệt

Củng cố 05: Cho hàm số bậc ba y= f x( ) có đồ thị như hình dưới Phương trình

( )

( 2 )

f f x − = có ít nhất bao nhiêu nghiệm ?

+) Đáp án: 2

Từ đồ thị hàm số bậc ba suy ra f x =( ) 2 1

2

x x

x x

=



  =

 với x1  0 x2

Ta có: f (f x( )2 )− =2 0 f (f x( )2 )=2 ( ) ( )

2 1 2 2

1 2

f x x

f x x







Nhận xét:

Khi x  − ta có đồ thị hàm số 1 2 ( )2

y= f x cắt đường thẳng y= tại một điểm duy nhất có x1

hoành độ âm nên phương trình ( )1 vô nghiệm ( )*

Với mọi x20 ta có đồ thị hàm số ( )2

y= f x luôn cắt đường thẳng y= tại duy nhất một điểm x2

có hoành độ dương vì vậy nên phương trình ( )2 luôn có hai nghiệm phân biệt ( )**

Từ ( )* và ( )** suy ra phương trình có ít nhất là hai nghiệm phân biệt

Củng cố 06: Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị là đường cong trong hình bên Gọi Slà tập nghiệm của phương trình f(f x( ) )= 0, số phần tử của S là:

+) Đáp án: 9

Dựa vào đồ thị hàm số y= f x( ) ta thấy:

( )

( ) 1

f x

f x

= −





 +) Với f x = −( ) 1 thì phương trình có 2 nghiệm

+) Với f x =( ) 0 thì phương trình có 4 nghiệm

+) Với f x =( ) 1 thì phương trình có 3 nghiệm

Vậy phương trình f '(f x( ) )= 0 có 9 nghiệm

Củng cố 07: Cho hàm số ( ) 4 2

y= f x =ax +bx +c có đồ thị như hình vẽ bên Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f(2f x( )+ 3)= 0 là

+) Đáp án: 8

Xét phương trình f(2f x( )+ 3)= 0 ( )*

Đặt t= 2f x( )+ 3, từ phương trình ( )* ta có f( )t = 0

Dựa vào đồ thị của hàm số y= f x( ), ta suy ra: ( )

2

2

t

t

= −





 =  =

 =



2

2

t = −  f x = − , dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có 4 nghiệm thực phân biệt

0

2

t=  f x = − , dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt

2

2

t=  f x = − , dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt Vậy, số nghiệm thực phân biệt của phương trình đã cho là: 4 2 2 8+ + = nghiệm

Củng cố 08: Cho hàm số bậc ba y = f x ( ) có đồ thị là đường cong trong hình bên Số nghiệm thực phân biệt của phương trình f f x = ( ( ) ) 2 là

+) Đáp án: 6

Căn cứ vào đồ thị hàm số đã cho ta thấy:

( )

1







Căn cứ vào đồ thị hàm số y = f x ( ) ta có:

+ Với a  −1, phương trình f x ( ) = a có 1 nghiệm

+ Phương trình f x = ( ) 0 có hai nghiệm thực phân biệt

+ Với 1 b 2, phương trình f x ( ) = b có ba nghiệm thực phân biệt

Các nghiệm của các phương trình f x ( ) = a; f x = ( ) 0; f x ( ) = b là các nghiệm phân biệt

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thực phân biệt

Củng cố 09: Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như sau Số nghiệm thực phân biệt của phương trình ( ( ) ) 3 ( ( ) ) 2 ( ( ) )

2f f x  +4f f x  +3f f x =0

+) Đáp án: 9

Ta có ( ( ) ) 3 ( ( ) ) 2 ( ( ) )

2f f x  +4f f x  +3f f x =0 ( ( ) ) ( ) ( )

( )

2

0

f x

f x

=









Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy phương trình f x =( ) 2 có hai nghiệm, phương trình

( ) 0

f x = có 3 nghiệm và phương trình f x = −( ) 2 có 4 nghiệm Vậy phương trình đã cho

có 9 nghiệm

Vận dụng 01: Cho hàm số ( ) 4 ( ) 2

2

f x =x − m+ x + với m là tham số thực Số giá trị nguyên m

của m  − 2022; 2022 để hàm số y= f x( ) có số điểm cực trị nhiều nhất là:

+) Đáp án: 2022

Hàm số y= f x( ) và hàm số y= f x( ) cùng có tập xác định là

Lại có, hàm số y= f x( ) là hàm số đa thức bậc 4 trùng phương nên có tối đa 3 điểm cực trị là x1, 2

x , x3 và đồ thị hàm số y= f x( ) cắt trục hoành tại tối đa 4 điểm phân biệt có hoành độ là x4, x5

, x6, x7

Do đó, hàm số y= f x( ) có nhiều nhất là 7 điểm cực trị là các điểm x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7

Hàm số y= f x( ) có nhiều điểm cực trị nhất  đồ thị hàm số y= f x( ) phải cắt trục hoành tại

4 điểm phân biệt (khi đó hàm số y= f x( ) chắc chắn có 3 điểm cực trị)

 phương trình 2 ( )

t − m+ t+ = phải có 2 nghiệm dương phân biệt m

Δ 0

0

0

S

P







 

 



( )2

0

m m



 



0

m

 

0

m

m

m











nên m 1; 2;3; ; 2022

Vận dụng 02: Cho hàm số bậc ba y= f x( )có đồ thị như hình vẽ Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số mđể hàm số ( ) ( 2( ) ( ) )

4

g x = f f x − f x −m có 17 điểm cực trị là

+) Đáp án: 1652

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ( ) )

2 2

4

4

f x

x

f x

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

2

0 1

f x

f x f x m vo ly













Dễ thấy ( )1 có 2 nghiệm đơn (vì có 2 cực trị) và ( )2 có 3 nghiệm đơn

Vậy tổng số nghiệm đơn của phương trình ( ) ( ) ( )3 ; 4 ; 5 là 12 thì thỏa mãn

Đặt ( ) 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )   1; 2 

; ;

x

x a b c

 −





Các nghiệm trên được sắp thứ tự từ nhỏ đến lớn như sau: a −    1 b 2 c

Bảng biến thiên của hàm số 2( ) ( )

4

Vậy số giao điểm của các đường thẳng y= −m 2;y=m y; = + với đồ thị m 2 u x( ) là 12 điểm phân biệt

m

m

−  − 



Vận dụng 03: Cho hàm số bậc bốn y= f x( ) có đồ thị y= f( )x như hình vẽ

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên thuộc đoạn −10;10 của tham số m để hàm số

2

+) Đáp án: 6

60 -3

-4 -4

-4

+ +

+∞

0

c 2

b 1

a

∞

u

u'

x

( )

2

5

x

x

= −





 =



2 2

2 2

Điểm đặc biệt: ' 0y = hoặc 'y không xác định

1 2 1 2

x x x

 = −





=





 = −





2

x= − x= x= − là các nghiệm đơn của y

Ta có BBT của hàm số 2

2

t= x + −x như sau:

Để hàm số có đúng 3 điểm cực trị thì phương trình (1) không có nghiệm đơn

Dựa vào BBT trên, phương trình (1) không có nghiệm đơn  +  m 5 0   − m 5

Vì m  , m  − 10;10  −m  10; 9; 5− −  Vậy tập S có 6 phần tử

Kết hợp với điều kiện m nguyên, không vượt quá 2022 suy ra có 2021 giá trị của m

Vận dụng 04: Cho hàm số y= f x( ) có đạo hàm ( ) 2( ) ( 2 )

f x =x x+ x + mx− m− Có bao nhiêu giá trị nguyên của m không vượt quá 2019 để hàm số ( 2 )

1

y= f x + có đúng 1 điểm cực trị ?

+) Đáp án: 2021

Ta có: ( ( 2 ) ) ( 2 ) ( 2 ) (2 2 ) (2 2 )2 ( 2 )

y= f x +  = x f x + = x x + x +  x + + m x + − m− 

Khi đó:

0 0

x y

=





 = 



Ta thấy nghiệm của ( )1 nếu có sẽ khác 0 Nên x =0 là 1 cực trị của hàm số

Do đó để hàm số có 1 điểm cực trị thì ( )1 hoặc vô nghiệm hoặc có nghiệm kép, hoặc có 2

2

1 0

1 0

t

t t

t

− 



   − 



2

2

1 2

1 2 1 2

2

1 0

1

t t

t t t t

m

+ 





= −



Vậy tập hợp các giá trị m thỏa đề là S = − 1; 0;1; ; 2019 nên có 2021 giá trị m