Một con đường dốc là một dãy các ô vuông có thể chỉ gồm một ô thoả mãn đồng thời các điều kiện: i Ô vuông đầu tiên trong dãy là một thung lũng, ii mỗi ô vuông tiếp theo trong dãy kề với [r]
Trang 1Đề thi Olympic Toán quốc tế (IMO) năm 2022
1 Bản tiếng Việt
Bài 1 Ngân hàng Oslo phát hành hai loại đồng xu đồng vàng (kí hiệu bởi A) và đồng bạc (kí hiệu bởi B)
Mai có n đồng vàng và n đồng bạc, các đồng xu được xếp thành một hàng theo thứ tự bất kì Một dãy con gồm các đồng xu liên tiếp thuộc cùng một loại được gọi là một chuỗi Với số nguyên dương cố định
2
k n, Mai thực hiện liên tiếp các bước chuyển như sau: cô ta xác định chuỗi dài nhất có chứa đồng xu
thứ k từ bên trái và chuyển tất cả các đồng xu của chuỗi này về phía trái của hàng Ví dụ, nếu n = 4 và k =
4, bắt đầu với cách xếp AABBBABA, quá trình thực hiện các bước chuyển như sau:
AABBBABA → BBBAAABA → AAABBBBA → BBBBAAAA → BBBBAAAA →
Xác định tất cả các cặp (n, k) với 1 k 2nsao cho với mọi cách sắp xếp ban đầu, đến một lúc nào đó
trong quá trình thực hiện các bước chuyển, n đồng xu ở bên trái của hàng sẽ thuộc cùng một loại
Bài 2 Gọi R+ là tập các số thực dương Tìm tất cả các hàm số f R: + →R+sao cho với mọi xR+ có
đúng một giá trị yR+ thoả mãn
xf y +yf x
Bài 3 Cho k là một số nguyên dương và S là một tập hữu hạn các số nguyên tố lẻ Mi muốn xếp các phần
tử của S quanh một vòng tròn sao cho tích của hai số cạnh nhau bất kì có thể biểu diễn được dưới dạng
2
x + +x k với x nguyên dương nào đó Biết rằng, hai cách xếp nhận được từ nhau qua phép quay và
phép phản chiếu (đối xứng trục) được coi là như nhau Chứng minh rằng Mi có nhiều nhất một cách xếp
như vậy
Bài 4 Cho ngũ giác lồi ABCDE với BC = DE Giả sử rằng có một điểm T nằm trong ABCDE sao cho
TB = TD, TC = TE và ABT = TEA Đường thẳng AB cắt các đường thẳng CD và CT lần lượt tại
các điểm P và Q, trong đó các điểm P, B, A, Q Tìm theo thứ tự trên đường thẳng Đường thẳng AE cắt
các đường thẳng CD và DT lần lượt tại các điểm R và S, trong đó các điểm R, E, A, S nằm theo thứ tự
trên đường thẳng Chứng minh rằng các điểm P, S, Q, R nằm trên một đường tròn
Bài 5 Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (a, b, p) với 2 nguyên tố và
p
a = +b p
Bài 6 Cho số nguyên dương m Một cao nguyên Nordic là một bảng n n chứa tất cả các số nguyên từ 1 đến 2
n sao cho mỗi ô vuông chứa đúng một số Hai ô vuông được gọi là kể nhau nếu chúng có một cạnh
chung Ở vuông chỉ kề với các ô vuông chứa sổ lớn hơn số nằm trong nó được gọi là một thung lũng Một
con đường dốc là một dãy các ô vuông (có thể chỉ gồm một ô) thoả mãn đồng thời các điều kiện:
(i) Ô vuông đầu tiên trong dãy là một thung lũng,
(ii) mỗi ô vuông tiếp theo trong dãy kề với ô vuông đứng trước nó,
(iii) các số được viết trên các ô vuông trong dãy có giá trị tăng dần
Trang 2Như là một hàm số của n, xác định giá trị nhỏ nhất có thể của số con đường dốc trong một cao nguyên
Nordic
2 Bản tiếng Anh
Problem 1 The Bank of Oslo issues two types of coin: aluminium (denoted A) and bronze (denoted B)
Marianne has n aluminium coins and n bronze coins, arranged in a row in some arbitrary initial order A
chain is any subsequence of consecutive coins of the same type Given a fixed positive integer k2n,
Marianne repeatedly performs the following operation: she identifies the longest chain containing the kth
coin from the left, and moves all coins in that chain to the left end of the row For example, if n = 4 and k
= 4, the process starting from the ordering AABBBABA would be
AABBBABA → BBBAAABA → AAABBBBA → BBBBAAAA → BBBBAAAA →
Find all pairs (n, k) with 1 k 2n such that for every initial ordering, at some moment during the
process, the leftmost n coins will all be of the same type
Problem 2 Let R+denote the set of positive real numbers Find all functions f R: +→R+such that for
each xR+, there is exactly one yR+satisfying
xf y +yf x
Problem 3 Let k be a positive integer and let S be a finite set of odd prime numbers Prove that there is
at most one way (up to rotation and reflection) to place the elements of S around a circle such that the
product of any two neighbours is of the form x2+ +x k for some positive integer x
Problem 4 Let ABCDE be a convex pentagon such that BC = DE Assume that there is a point T inside
ABCDE with TB = TD, TC = TE and ABT = TEA Let line AB intersect lines CD and CT at points
P and Q, respectively Assume that the points P, B, A, Q occur on their line in that order Let line AE
intersect lines CD and DT at points R and S, respectively Assume that the points R, E, A, S occur on
their line in that order Prove that the points P, S, Q, R lie on a circle
Problem 5 Find all triples (a, b,p) of positive integers with p prime and
p
a = +b p
Problem 6 Let n be a positive integer A Nordic square is an n n board containing all the integers from
1 to n2 so that each cell contains exactly one number Two different cells are considered adjacent if they
share a common side Every cell that is adjacent only to cells containing larger numbers is called a valley
An uphill path is a sequence of one or more cells such that:
(i) the first cell in the sequence is a valley,
(ii) each subsequent cell in the sequence is adjacent to the previous cell, and
(iii) the numbers written in the cells in the sequence are in increasing order
Find, as a function of n, the smallest possible total number of uphill paths in a Nordic square
Trang 3Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức
Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh
Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí