Cặp có thứ tự các số nguyên (x, y) được gọi là điểm nguyên thủy nếu ước số. chung lớn nhất của x và y bằng 1[r]
Trang 1Thứ Ba, ngày 18 thỏng 7 năm 2017
Bài 1 Với mỗi số nguyờn a 0 1, xột dóy số nguyờn dương a a a0, 1, 2, xỏc định bởi:
1
3 trong
n
n
a
a
nếu là số nguyê n, trường hợp ngược lại,
với mỗi số nguyờn n 0
Hóy xỏc định tất cả cỏc số a sao cho tồn tại số A mà 0 a n A với vụ hạn số n
Bài 2 Kớ hiệu là tập số thực Hóy tỡm tất cả cỏc hàm số :f sao cho với
mọi số thực x và y,
f f x f y f x y f xy
Bài 3 Một cụ thợ săn và một con thỏ tàng hỡnh chơi trũ chơi sau trờn mặt phẳng
Điểm xuất phỏt A của con thỏ và điểm xuất phỏt 0 B của cụ thợ săn trựng nhau Sau 0
n – 1 lượt chơi, con thỏ ở điểm A n1 và cụ thợ săn ở điểm B n1. Ở lượt chơi thứ n,
cú ba điều lần lượt xảy ra theo thứ tự dưới đõy:
(i) Con thỏ di chuyển một cỏch khụng quan sỏt được tới điểm A sao cho n
khoảng cỏch giữa A n1 và A n bằng đỳng 1
(ii) Một thiết bị định vị thụng bỏo cho cụ thợ săn về một điểm P đảm bảo n, khoảng cỏch giữa P và n A khụng lớn hơn 1 n
(iii) Cụ thợ săn di chuyển một cỏch quan sỏt được tới điểm B sao cho khoảng n
cỏch giữa B n1 và B bằng đỳng 1 n
Hỏi điều sau đõy sai hay đỳng: cho dự con thỏ cú di chuyển như thế nào và cỏc điểm được thiết bị định vị thụng bỏo cú là những điểm nào, cụ thợ săn luụn cú thể chọn cho mỡnh cỏch di chuyển sao cho sau 9
10 lượt chơi, cụ ta cú thể khẳng định chắc chắn rằng khoảng cỏch giữa mỡnh và con thỏ khụng vượt quỏ 100?
Language: Vietnamese Thời gian làm bài: 4 giờ 30 phỳt Mỗi bài toỏn được cho tối đa 7 điểm
Vietnamese (vie), day 1
Trang 2
Thứ Tư, ngày 19 tháng 7 năm 2017
Bài 4 Cho R và S là hai điểm phân biệt trên đường tròn sao cho RS không phải là
đường kính Cho là tiếp tuyến tại R của Lấy điểm T sao cho S là trung điểm của đoạn thẳng RT Lấy điểm J trên cung nhỏ RS của sao cho đường tròn ngoại tiếp
của tam giác JST cắt tại hai điểm phân biệt Gọi A là giao điểm gần R nhất của
và Đường thẳng AJ cắt lại tại K Chứng minh rằng KT tiếp xúc với
Bài 5 Cho số nguyên N 2 Có N(N 1) cầu thủ bóng đá, trong đó không có hai
người nào có cùng chiều cao, đứng thành một hàng ngang Ngài Alex muốn đưa
N(N – 1) cầu thủ ra khỏi hàng sao cho ở hàng ngang mới nhận được, gồm 2N cầu thủ còn lại, N điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:
(1) không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ cao nhất,
(2) không có cầu thủ nào đứng giữa cầu thủ cao thứ ba và cầu thủ cao thứ tư,
(N) không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ thấp nhất
Chứng minh rằng Ngài Alex luôn có thể làm được điều đó
Bài 6 Cặp có thứ tự các số nguyên (x, y) được gọi là điểm nguyên thủy nếu ước số
chung lớn nhất của x và y bằng 1 Cho tập S gồm hữu hạn điểm nguyên thủy Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương n và các số nguyên a a1, 2, , a sao cho với mỗi n điểm (x, y) thuộc S, ta có:
a x a x y a x y a xy a y
Language: Vietnamese Thời gian làm bài: 4 giờ 30 phút Mỗi bài toán được cho tối đa 7 điểm
Vietnamese (vie), day 2