[r]
Trang 1Kỳ thi IMO lần thứ 26 - 1985
1 Đường tròn có tâm nằm trên cạnh AB của tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn Ba cạnh còn lại tiếp xúc với đường tròn Chứng minh rằng: AD + BC = AB
2 Cho n, k là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau, k < n Mỗi số trong tập M = {1, 2,
3, , n -1} được tô màu xanh hoặc trắng Với mỗi i thuộc M, i và n - i đều có chung một màu Với mỗi i thuộc M (i k), i và |i - k| có chung một màu
Chứng minh rằng tất cả các số thuộc M phải có chung một màu
3 Cho đa thức P(x) = a0 + a1x + + akxk với các hệ số nguyên Số lượng của các hệ số lẻ được biểu thị bởi o(P) Với i = 0, 1, 2, đặt Qi(x) = (1 + x)i
Chứng minh rằng: nếu i1, i2, , in là các số nguyên thoả mãn: 0 i1 < i2 < < in thì:
o(Qi1 + Qi2 + + Qin) o(Qi1)
4 Cho tập M của 1985 số nguyên dương khác nhau, trong đó không có số nào có ước số nguyên tố lớn hơn 23 Chứng minh rằng: M chứa một tập con gồm 4 số mà tích của chúng là luỹ thừa 4 của một số nguyên
5 Đường tròn tâm O đi qua hai đỉnh A và C của tam giác ABC và giao với hai đoạn AB, BC tại hai điểm phân biệt lần lượt là K và N Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, KBN giao nhau tại 2 điểm phân biệt B và M Chứng minh rằng: = 90o
6 Với mọi số thực x1, dãy x1, x2, được xây dựng bởi công thức sau:
xn+1 = xn(xn + )
Chứng minh rằng: tồn tại duy nhất một giá trị của x1 để 0 < xn < xn+1 < 1 với mọi n
Page 1 of 2 IMO Vietnamese
13/02/2003 http://www.danglam.com/IMO/26_1985_VN.htm
Trang 2Page 2 of 2 IMO Vietnamese
13/02/2003