Cho tam giác ABC.[r]
Trang 1Kỳ thi IMO lần thứ 32 - 1991
1 Cho tam giác ABC Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Đường phân giác trong của các góc A, B, C lần lượt cắt các cạnh đối diện tương ứng tại A', B', C'
Chứng minh rằng:
2 Cho số nguyên n > 6, a1, a2, , ak là tất cả các số nguyên dương nhỏ hơn n và nguyên tố cùng nhau với n Nếu a2 - a1 = a3 - a2 = = ak - ak-1 > 0 thì hãy chứng minh rằng n hoặc phải
là số nguyên tố hoặc phải là luỹ thừa của 2
3 Cho tập S = {1, 2, 3, , 280} Tìm số nguyên nhỏ nhất n sao cho mỗi tập con của S gồm n phần tử chứa 5 số từng đôi một nguyên tố cùng nhau
4 Giả sử G là một đồ thị liên thông có k cạnh Chứng minh rằng: có thể đánh nhãn được các cạnh 1, 2, 3, , k, theo cách mà mỗi đỉnh thuộc vào hai hoặc nhiều hơn hai cạnh, ước số chung lớn nhất của các số nguyên đánh nhãn các cạnh này là 1
[Một đồ thị là tập hợp các điểm được gọi là các đỉnh, tập các cạnh được nối bởi một cặp đỉnh khác nhau Mỗi một cặp đỉnh sẽ nằm trên nhiều nhất một cạnh Đồ thị được gọi là liên thông nếu với mọi hai đỉnh phân biệt x, y tồn tại dãy đỉnh liên tiếp nào đó: x = v0 , v1 , , vm = y sao cho với mọi cặp (vi, vi+1), (1 i < m) đều được nối với nhau bởi một cạnh.]
5 Cho tam giác ABC và X là một điểm bên trong tam giác Hãy chứng minh rằng có ít nhất
6 Given any real number a > 1 construct a bounded infinite sequence x0, x1, x2, such that
|xi - xj| |i - j|a>= 1 for every pair of distinct i, j
[An infinite sequence x0, x1, x2, of real numbers is bounded if there is a constant C such that |xi| < C for all i.]
6 Cho một số thực bất kì a > 1 Hãy xây dựng một dãy số vô hạn bị chặn x0, x1, x2, sao cho
|xi - xj||i - j|a 1 với mọi i, j (i j)
[Dãy vô hạn các số thực x0, x1, x2, được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số C sao cho
|xi| < C với mọi i.]
Page 1 of 1 IMO Vietnamese
13/02/2003