Chủ đề 4 cực TRỊ số PHỨC (nâng cao)

CHỦ ĐỀ 4 BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC ( Dạng 1 Cho số phức thỏa mãn Tìm số phức thỏa mãn nhỏ nhất Phương pháp Đặt là các điểm biểu diễn số phức và Khi đó từ giả thiết suy ra , tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường trung trực ∆ của AB Gọi là điểm biểu diễn số phức Ta có nhỏ nhất khi khi M là hình chiếu vuông góc của N trên d và Ví dụ 1 Cho số phức thỏa mãn Gọi là số phức thỏa mãn nhỏ nhất Giá trị của biểu thức là A B 4 C 0 D 1 Lời giải Đặt là các điểm biểu diễn số phức và Khi đó từ giả thiết suy ra.

CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC

 Dạng 1: Cho số phức z thỏa mãn z z 1  z z2 Tìm số phức thỏa mãn z z 0nhỏ nhất

Phương pháp: Đặt M(z); A(z );B(z )1 2 là các điểm biểu diễn số

phức z; z và z1 2 Khi đó từ giả thiết z z 1 z z2suy ra

MA MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung

trực ∆ của AB

Gọi N(z )0 là điểm biểu diễn số phức z0

Ta có MN z z0 nhỏ nhất khi MNmin khi M là hình chiếu

vuông góc của N trên d và MNmin d(N; )

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 4 i  z i Gọi z a bi a b  ( ;  ) là số phức thỏa mãn

MA MB, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung

trực của AB đi qua I(2;0) và có VTPT là

Gọi (1; 3)N  là điểm biểu diễn số phức 1 3 i

Ta có z 1 3i nhỏ nhất khi MNmin khi M là hình chiếu vuông

góc của N trên ∆, suy ra MN: x 2 y 1 0  

Gọi M(x; y); (0;2), B( 2;0)A  là các điểm biểu diễn số phức ; 2z i và 2

Từ giả thiết  MA MB  Mtrung trực của AB có phương trình : x y 0

Ta có P nhỏ nhất khi MNmin khi M là hình chiếu vuông góc của N trên ∆, suy ra phương trình

Phương pháp: Đặt M(z); I(z ); E(z )0 1 là các điểm biểu diễn số

phức z; z và z0 1 Khi đó từ giả thiết z z 0 R MI R

M

 thuộc đường tròn tâm I bán kính R Ta có: P ME lớn

nhất  MEmaxvà P nhỏ nhất  MEmin Khi đó:

max

P IE R  M M 2và Pmin IE R  M M 1

(Điểm E có thể nằm trong hoặc ngoài đường tròn).

Ví dụ 1: Cho số phức zthỏa mãn iz 3 2 i 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P  z 1 i

A Pmin 3 B.Pmin  13 3 C Pmin 2 D Pmin  10

Lời giải

Ta có: iz 3 2 i  3 i z 32  3 z 2 3i  3

i tập hợp điểm M biểu diễn số phức zlà đường

tròn tâm ( 2; 3)I   bán kính R3

Gọi E( ; )11 là điểm biểu diễn số phức 1 i P ME  Pmin EI R 2

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 i  5 Gọi z và 1 z lần lượt là 2 số phức làm cho biểu thức2

 Dạng 3: Cho số phức z thỏa mãn z z 1  z z2 Tìm số phức thỏa mãn P z z3 z z 4 đạt giátrị nhỏ nhất.

Phương pháp: Đặt M(z); A(z ); B(z ); H(z ); K(z )1 2 3 4 là các điểm biểu diễn số phức z;z ;z ;z1 2 3và z4 Khi

đó từ giả thiết z z 1  z z2 suy ra MA MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực

TH2: H, K nằm cùng phía so với đường thẳng ∆

Gọi H’ là điểm đối xứng của ∆

Ta có P MH MK  và 2 điểm H, K cùng phía so với đường thẳng ∆

Gọi H’ là điểm đối xứng của : x y  1 0

Ta có: HH' :x y  6 0 tọa độ trung điểm của HH’ là nghiệm hệ

Suy ra M0H 'K   M ( ; )o 12  z 1 2 Khi đó i Pmin H K' 2 5 Chọn A.

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z 2 4 i iz 2 Gọi z a bi  ( ;a b  sao cho )

các điểm biểu diễn số phức ivà  1 3i

Ta có: P MH MK  và 2 điểm H, K cùng phía so với

đường thẳng ∆

Gọi H’ là điểm đối xứng của : x y  5 0

Ta có: HH' :x y  1 0 tọa độ trung điểm của HH’ là

điểm biểu diễn số phức z;z ;z ;z1 2 3 và z4 Khi đó từ giả

thiết z z 1  z z2 suy ra MA MB , tập hợp điểm biểu

diễn số phức z là đường trung trực ∆ của AB;

nhỏ nhất khi MImin  M là hình chiếu vuông góc của I xuống

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 2 4i  z 2i Gọi z là số phức thoả mãn biểu thức

Lời giải

Gọi M z A( ); ( 2; 4), B(0; 2) là các điểm biểu diễn số phức ; 2 4z   i và 2i

Khi đó z 2 4i  z 2i  MA MB  M thuộc trung trực

(với I2;0 là trung điểm của HK)

Do đóPmin  MEmin hay M là hình chiếu vuông góc của I xuống, khi đó

Gọi M z A( ); (1; 3), B( 1; 1)   là các điểm biểu diễn số phức ; 1 3z  i và  1 i

Khi đó z 1 3i    z 1 i MA MB  M thuộc trung trực

(vớiI1; 3 là trung điểm của HK)

Do đó Pmin  MEmin hay M là hình chiếu vuông góc của I xuống

, khi đó  

2 2

Khi đóP max  M M và 2 Pmin  M M 1

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 2 Gọiz a bi a b   ;   là số thức thỏa mãn biểu thức

 Dạng 6: Cho hai số phức z ;z thỏa mãn 1 2 z1 z0 Rvà z2 w1 z2 w2 ;

trong đó z0;w ; w1 2 là các số phức đã biết Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcPz1 z2

Phương pháp: Đặt M(z ); N z lần lượt là các điểm biểu diễn1  2 sốphức z và 1 z 2

Điểm M thuộc đường tròn tâmI z bán kính 0 R,N thuộc trung

Hay tập hợp điểm N trong mặt phẳng Oxy là đường tròn 2 2

Bài toán có thể hỏi thêm là tìm số phức z hoặc 1 z để2 z1 z2 min thì ta chỉ cần viết phương trình đường

thẳngMN    sau đó tìm giao điểm  

Gọi M z 1 ;N z lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức 2 z và1 z 2

Điểm M thuộc đường thẳng tròn tâm I5;0 bán kính R5

Điểm N thuộc đường thẳng trung trực  của AB với

 Dạng 7: Cho hai số phức z ;z thỏa mãn 1 2 z1 w1 R1 và z2 w1 R trong đó2 w ; w là các số1 2

phức đã biết Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thứcPz1 z 2

Phương pháp: Đặt M(z ); N z lần lượt là các điểm biểu diễn số phức 1  2 z và 1 z 2

Điểm M thuộc đường tròn tâm  C tâm 1 Iw1 bán kính R và 1 N thuộc đường tròn C tâm 2 Kw2

bán kính R2 P MN Dựa vào các vị trí tương đối của 2 đường tròn để tìm  MN max;MNmin

Ví dụ 1: Cho hai số phức z; w thỏa mãn .z z1 và w 3 4  i 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Điểm M thuộc đường tròn tâm  C tâm 1 O0;0 bán kính R11 và N thuộc đường tròn C tâm2

(3; 4)

K bán kính R2  2 P MN 

Dễ thấy OK  5 R1R nên 2  C và 1 C nằm ngoài nhau suy ra 2 MN max OK R 1R2 8 Chọn B.

Ví dụ 2: [Đề tham khảo Bộ GD & ĐT 2018] Xét các số phứcz a bi a   , b  thỏa mãn điều kiện

GọiM x y là điểm biểu diễn số phức ;  z

Từ giả thiết, ta có z 4 3 i  5 x 42y 32  5 M thuộc đường tròn C tâm I4;3, bán

Với C là giao điểm của đường thẳng EI với đường tròn C

VậyP10 2 Dấu" " xảy ra   6; 4  10

Gọi    2  2 min

max max

Vậy giá trị biểu thức P M m  2 5 10  Chọn C.

Ví dụ 5: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z 3 4 i  5và biểu thức M  z 22 z i 2đạt giá trị lớn nhất Tính môđun của số phức z i .

 x  y   M y biểu diễn zthuộc đường tròn tâmI1; 2 bán kính R1.

Giả sử A z1 ;B z do  2 z1 z2  2 AB 2 2R nên AB là đường kính của đường trònI R; 

Vậy w 10 6  i w1w2  36 6  wthuộc đường tròn tâm I10;6, bán kính R6.

Cách 2: Gọi A z1 ;B z biểu diễn số phức 2 z z1; 2

Ví dụ 12: Cho số phức z thỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T   z 1 2z1

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ, hãy tìm số phức z có môđun nhỏ nhất, biết rằng số phức zthỏa mãn

điều kiện z 2 4 i  5

A z 1 2i B z 1 2i C z 1 2i D z 1 2i

Câu 2: Cho số phức zthỏa mãn z 3 4 i 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P z

A P max 9 B P max 5 C P max 12 D P max 3

Câu 3: Cho số phức zthỏa mãn z 2 2 i 1 Tìm giá trị lớn nhất của z

Câu 10: Cho số phức z m (m 3) ,i m  Tìm m để z đạt giá trị nhỏ nhất?

Câu 14: Xét số phức z a bi a b  thỏa mãn   ,( ,  ) z 2 4 i  z 2i Tìm giá trị nhỏ nhất của z

Câu 16: Cho các số phức z, thỏa mãn z 2 2i  z 4i Gọi z a bi a b  là số phức thỏa  ,( ,  )mãn iz1 nhỏ nhất Tính giá trị của biểu thức 2 2

Câu 22: Cho số phức zthỏa mãn z 3 2 z và max z 1 2i  a b 2 Tính a b

Câu 29: Cho số phức zthỏa mãn z 1 Tìm giá trị lớn nhất của T   z 1 2z1

A maxT 2 5 B maxT 2 10 C maxT 3 5 D maxT 3 2

Câu 30: Cho số phức zthỏa mãn z2 2z5 (z 1 2 )(i z3 1)i Tính min  , với  z 2 2 i

Câu 31: Cho số phức zthỏa mãn z2 i 1 Tìm giá trị lớn nhất của z

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 1: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức zlà đường tròn ( )C tâm (2;4) I bán kính R5

Câu 2: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức zlà đường tròn ( )C tâm (3; 4) I  bán kính R4

Ta có: z OM , khi đó P max OM max OI R   5 4 9 Chọn A.

Câu 3: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức zlà đường tròn ( )C tâm (2; 2) I  bán kính R1

Ta có: z OM , khi đó z max OM max OI R 2 2 1 Chọn B.

Câu 4: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức zlà đường tròn ( )C tâm ( 3; 4) I   bán kính R2

Ta có: z OM , khi đó zmin OMmin OI R  5 2 2 Chọn D.

Câu 11: Đặt M z A( ); (2;3), B(0;1)là các điểm biểu diễn số phức ; 2 3z  i

và i Khi đó từ giả thiết suy ra MA MB , tập hợp điểm biểu diễn số

phức z là đường trung trực của AB đi qua I(1; 2) và có VTCP là

(1;1) :   3 0



Gọi ( 2; 2)N   là điểm biểu diễn số phức  2 2i

Ta có z 2 2i nhỏ nhất khi MNmin khi M là hình chiếu vuông góc của

Câu 12: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là trung trực ∆ của AB với (2; 4), B(0; 2)A

Trung điểm của AB là (1;3); 1 (1;1) : 4 0

Câu 13: Ta có z OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của O xuống : 3 x 4y 3 0

Câu 14: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức zlà trung trực ∆ của AB với (2; 4), B(0; 2)A

Trung điểm của AB là (1;3); 1 (1;1) : 4 0

Câu 15: Đặt M z A( ); (1; 1), B(2;1) là các điểm biểu diễn số phức ;1 iz  và 2  i Khi đó từ giả thiết suy

ra MA MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường trung trực của

Gọi (0;1)N là điểm biểu diễn số phức i

Ta có z i nhỏ nhất khi MNminkhi M là hình chiếu vuông góc của N trên

d, suy ra MN: 2 x y 1 0  

Giải hệ

13

;2

Câu 16: Gọi I(x; y); M( 2;2), N(0; 4) là điểm biểu diễn các số phức ; 2 2 ; 4z   i i

Từ giả thiết  IM IN  Itrung trực của MN là :d x y  2 0

Tọa độ M là nghiệm của hệ

Ta có z OM OH Dấu bằng xay ra khi và chỉ khi M H  M ( )d OH

Khi đó, tọa độ điểm M là nghiệm của hệ

 Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường tròn (C) tâm ( 1;0)I  , bán kính R2

Gọi (1; 2)A   IA2 2 R A nằm ngoài đường tròn (C)  MA max IA R  2 2 2Mặt khác max z 1 2i  a b 2 a b 2 Vậy a b 4 Chọn A.

Gọi ( 1;1)A   z 1 i MA và IA 2 R A nằm trên đường tròn (C)

Khi đó MAmax IA R 2 2 Dấu bằng xảy ra khi I là trung điểm MA  M(1; 1)

Gọi (1;5); ( 2; 1)H K    P MH MK , 2 điểm H, K cùng phía so với đường thẳng d 

Gọi H’ là điểm đối xứng của : d y x

Gọi M z( ); A(2; 1); (0; 3) B  suy ra MA = MB nên M thuộc

đường thẳng trung trực của AB có phương trình z y  1 0( )d

Gọi (0;1); (2;0) H K P MH MK , 2 điểm H, K cùng phía so 

E là trung điểm của IJ)

Do đó Pmin  MEmin hay M là hình chiếu vuông góc của E xuống d, khi đó EM : x y 1 0  

E là trung điểm của IJ)

Do đó Pmin  MEminhay M là hình chiếu vuông góc của E xuống d, khi

Gọi ( 1;1), (1; 1)A  B  có trung điểm là (0;0)O Điểm M biểu diễn số phức z

Theo công thức trung tuyến thì

Câu 34: z z 1 z 1 nên tập hợp biểu diễ số phức z là đường tròn ( )C tâm O, R = 11

Lại có z 3 i m nên tập hợp biểu diễn số phức z là đường tròn ( )C tâm ( 3; 1), R' m2 I  

Yêu cầu bài toán  (C ),( )1 C tiếp xúc trong hoặc tiếp xúc ngoài 2 ' 1