Cực trị số phức 9,10 điểm

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9 10 ĐIỂM Một số tính chất cần nhớ 1 Môđun của số phức Số phức được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Độ dài của véctơ được gọi là môđun của số phức z Kí hiệu Tính chất  Chú ý Lưu ý  dấu bằng xảy ra  dấu bằng xảy ra  dấu bằng xảy ra  dấu bằng xảy ra   2 Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ Quỹ tích điểm M (1) (2) (1)Đường thẳng (2) Đường trung trực đoạn AB với hoặc.

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Một số tính chất cần nhớ.

1 Môđun của số phức:

Số phức z a bi  được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Độ dài của véctơ OMuuuur

được gọi là môđun của số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b 2 2

.Lưu ý:

Trang 2

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi   z , tìm z Min

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi    z c di.

Khi đó ta biến đổi

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi   R 0 z z 0 R

Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

Trang 3

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.

TQ1: (Elip chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c   z c 2 ,a a c   Khi đó ta có

1 2 0

Câu 2 (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức z thỏa mãn z    2 i z 4 7i 6 2. Gọi m M, lần lượt

là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i. Tính P m M  .

A

5 2 2 732

Trang 4

Câu 3 (KTNL Gia Bình 2019) Cho hai số phức z z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau1, 2

M

53

Câu 11 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có

điểm biểu diễn là M và M  Số phức z4 3 i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là

N và N  Biết rằng M , M , N , N  là bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của

4 5

z i .

Trang 5



15



Câu 13 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Xét các số phức z thỏa mãn z  1 3i 2 Số phức



310

Câu 19 Cho hai số phức z và w thỏa mãn z2w  và 8 6i z w 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức

z  w bằng

Trang 6

Câu 20 Cho số phức z thoả mãn z 1 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

Câu 22 (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Gọi z a bi  a b, R

là số phức thỏa mãn điều kiện

Câu 25 (Chuyên Đại Học Vinh -2019) Giả sửz z1 , 2là hai trong các số phức thỏa mãnz6 8  zi

là sốthực Biết rằng z1z2 4, giá trị nhỏ nhất của z13z2 bằng

Trang 7

Câu 28 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho z là số phức thỏa mãn z  z 2i

Giá trịnhỏ nhất của z 1 2i   z 1 3i là

Câu 32 (SGD Cần Thơ - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  5 Gọi M và m lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

B Pmin  2 1 . C min

5 2 22

D min

3 2 22

Câu 35 (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Cho số phức z thỏa z 1 Gọi m , M lần lượt là

giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

Trang 8

P 

B Pmin  5 2 3. C min

994513



3 10



Câu 40 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M m lần lượt là giá trị lớn,

nhất, giá trị lớn nhất của

P z  z z  z  Tính M m

A M m  1 B M m  7 C M m  6 D M m  3

Câu 41 (Bình Giang-Hải Dương 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 1

Giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 42 (SGD Hưng Yên 2019) Cho số phức z thoả mãn z 1 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Câu 44 (SGD Bến Tre 2019) Cho các số phức z1  , 1 3i z2    Tìm điểm 5 3i M x y ; 

biểu diễn sốphức z , biết rằng trong mặt phẳng phức điểm 3 M nằm trên đường thẳng x2y  và mô đun1 0

số phức w3z3 z2 2z1 đạt gí trị nhỏ nhất.

Trang 9

A

1min

2

B min w 1. C min w 32. D min w 2.

Câu 50 (Kim Liên - Hà Nội 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z     3 2i z 3 i 3 5 Gọi M , m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P    z 2 z 1 3i Tìm M , m

Trang 10

Câu 55 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Cho số phức z a bi  ( a , b¡ ) thỏa mãn z 1.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A  z 2 2 z2 .





 Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M là điểm biểu diễn số phức z Khoảng

cách nhỏ nhất giữa hai điểm M và I3;4 (khi a thay đổi) là

Câu 57 (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Xét số phức z thỏa mãn z 2 4i  5 Gọi a và

b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức a2b2 bằng

Trang 11

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 61 (SGD Đà Nẵng 2119) Gọi z là số phức có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện z  2 8i 17.

Câu 63 (SGD Bắc Ninh 2019) Cho số phức zthỏa mãn 1i z  1 3i 3 2

Giá trị lớn nhất của biểuthức P   z 2 i 6 z 2 3i bằng

A 5 6 B 15 1  6

C 6 5 D 10 3 15 .

Câu 64 (Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  1 i 3 Giá trị nhỏ nhất

của biểu thức A2z    4 5i z 1 7i bằng a b (với , a b là các số nguyên tố) Tính

Câu 67 Cho các số phức z thỏa mãn z 2  z 2 2 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức



20 3 72



20 3 62



20 3 72



Câu 69 Cho số phức z a bi  a b, ¡  thỏa mãn z   4 z 4 10 và z6 lớn nhất Tính S a b 

A S 11 B S   5 C S   3 D S 5

Trang 12

Câu 70 Cho số phức z a bi a b  ,  ¡  thỏa z   4 z 4 10 và z6 lớn nhất Tính S a b  ?

đạt giá trị lớn nhất là M và đạt được tại z0 x0y i0 ( khi z thay đổi

trong tập S ) Tính giá trị T M x y 0 02

A

9 32

T  

9 34

T 

9 32

T 

9 34

Câu 77 Cho số phức z và gọi z , 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z2  (8i 0 z có phần thực1

dương) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 13

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 78 Trong các số phức z thỏa mãn

5

i

 

và 5w 2 i z  4.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P    z 2i z 6 2i .

Câu 82 Cho số phức z thỏa mãn 3 z z 2 z z 12

Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

của z 4 3 i Giá trị của M m. bằng:

.Lưu ý:

 z1z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1 kz k2 0

 z1z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra  z1 kz k2 0

C C TR S PH C Ự Ị Ố Ứ

Chuyên đề 36

Trang 14

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi   z , tìm z Min

Trang 15

Ví dụ 1:

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi    z c di.

Khi đó ta biến đổi

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi   R 0 z z 0 R

Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.

TQ1: (Elip chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z c   z c 2 ,a a c   Khi đó ta có

Trang 16

1 2 0

Goi M a b ;

là điểm biểu diễn của số phức z

Theo giả thiết ta có:   2 2

Trang 17

65

Câu 2 (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức z thỏa mãn z    2 i z 4 7i 6 2. Gọi m M, lần lượt

là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i. Tính P m M  .

A

5 2 2 732

Trang 18

Gọi A là điểm biểu diễn số phức z, E2;1 ,   F 4;7 và N1; 1  

Từ AE A F      z 2 i z 4 7i 6 2 và EF 6 2 nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF Gọi

H là hình chiếu của N lên EF , ta có

Gọi M N, lần lượt là điểm biểu diễn của số phức z z1, 2

Trang 19

Suy ra M N, thuộc đường thẳng d: 2m1x2m2 y 3 0

Do đó M N, là giao điểm của đường thẳng d và đường tròn  C

Ta có z1z2 MN nên z1z2 lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất

là điểm biểu diễn hình học của số phức w

Từ giả thiết z 2 2i 1 ta được:

Trang 20

Nên z i nhỏ nhất bằng 5 1 khi

4cos 2sin4sin 2cos 2 5

55cos

M

53

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w  z 1 i là đường tròn  I;1

và w là khoảng cách từgốc tọa độ đến 1 điểm trên đường tròn Do đó giá trị lớn nhất của w chính là đoạn OQ

2 2 max

Trang 21

Câu 7. Xét tất cả các số phức z thỏa mãn z  3i 4 1 Giá trị nhỏ nhất của z2 7 24i

nằm trongkhoảng nào?

I B

E

Trang 22

có hai tiêuđiểm F và 1 F Và độ dài trục lớn bằng 2 20.

Vậy giá trị lớn nhất của w là 4  130.

Câu 11 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có

điểm biểu diễn là M và M  Số phức z4 3 i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là

N và N  Biết rằng M , M , N , N  là bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của

Trang 23

Gọi z  , trong đó x yi x y,  ¡ Khi đó z x yi  , M x y ; 

, M x y ;  .

Ta đặt w z 4 3 i  x yi 4 3 i  4x3y  3x4y i N4x3 ;3y x4y Khi đó

4 3  4 3  3 4  4 3 ; 3 4 

Ta có M và M ; N và N  từng cặp đối xứng nhau qua trục Ox Do đó, để chúng tạo thành

một hình chữ nhật thì yM  yN hoặc yM  yN Suy ra y3x4y hoặc y  3x 4y Vậy tập

hợp các điểm M là hai đường thẳng: d x y1:   0 và d2: 3 x  5 y  0.



15



Trang 24

Thay

25

y 

vào  1

suy ra

15

x 

Vậy phần thực của số phức z là

15



Câu 13 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Xét các số phức z thỏa mãn z  1 3i 2 Số phức

Trang 25

Vậy M m  2 2 5 5,88 ;

Câu 15 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong các số phức z thỏa mãn z    1 i z 1 2i

, sốphức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là



310

Trang 26

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

C không có điểm chung

Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z1 là đoạn thẳng z2 MN  z1z2 nhỏ nhất khi và chỉkhi MN nhỏ nhất

Trang 27

m 

nên : 3d x5y  3 0

1 2

Câu 18. Cho hai số phức z w, thỏa mãn z3 2  2

, w4 2i 2 2

Biết rằng z w đạt giá trị nhỏnhất khi z z 0, w w 0 Tính 3z0w0 .

Trang 28

 uur uur

; 3OMuuuur3OI IMuur uuur   3OIuur15IJuur 3OIuur35uurIJ

Suy ra 3z0w0  3OM ONuuuur uuur  3OI35IJOI35IJ  2OI

uur uur uur uur uur

6 2 .

Cách 2:

Ta có INuur3IMuuur3IM INuuur uur r 0.

Do đó 3z0w0  3OM ONuuuur uuur  3OI IMuur uuur   OI INuur uur   2OIuur 2.OI 2.3 2 6 2.

Trang 29

Giả sử M N, lần lượt là các điểm biểu diễn cho z và w Suy ra OM ONuuuur uuur uuur OF 2OIuur,

z  vào P ta có

Trang 30

tại

74

t

và m 3 tại t 2Vậy

13 3

a

b a c c

Tập hợp các điểm N biểu diễn số phức  thuộc đường thẳng : 5x4y20 0 .

Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm M E và N   sao cho MN nhỏ nhất.

Trang 31

Đường thẳng d song song với  có dạng d: 5x4y c 0, c 20.

20 17 37,

Câu 22. (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Gọi z a bi  a b, R

là số phức thỏa mãn điều kiện

Trang 32

M A B

 thẳng hàng và M ở giữa A và B

Gọi H là điểm chiếu của O lên AB, phương trình  AB x:   3y 7 0

,  OH :3x y 0Tọa độ điểm

£ïïî , tập hợp

đạt giá trị nhỏ nhất khi KM nhỏ nhất, theo hình vẽ ta có KM nhỏ nhất khi

K F  ( F là hình chiếu của E trên AB

Suy ra F 2;1

do AEAB nên F là trung điểm của AB

Suy ra m 1 4  5 Vậy M m  58 5

Trang 33

Câu 24. (Chuyên Bắc Giang -2019) Cho số phức z có z 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải Chọn A

2 2cos 3 4cos 2cos 2

2 2cos 4cos 4cos 1

Trang 34

Vậy  1;1

13max

A 5 21 B 20 4 21 C 20 4 22 D 5 22

Lời giải Chọn C

Giả sử z   , ,x y¡ Gọi , x yi A B lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z z1 , 2 Suy ra

1 2 4

AB z z  .

* Ta có z6 8  zi x 6 yi   8  y xi 8x6y48x2y26x8y i

Theo giả thiết z6 8  zi

là số thực nên ta suy ra x2  y2 6x 8y0 Tức là các điểm ,A B thuộc

đường tròn  C

tâm I 3;4

, bán kính R 5

* Xét điểm M thuộc đoạn AB thỏa MAuuur3MBuuur r 0 OAuuur3OBuuur4OMuuuur.Gọi H là trung điểm

AB Ta tính được HI2 R2HB2 21;IM  HI2HM2  22, suy ra điểm M thuộc đường

Trang 35

Gọi N là điểm biểu diễn số phức  và z2 I 2;1

là điểm biểu diễn số phức 2 i Ta có IN 1

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức  là đường tròn z2  C

Gọi K là hình chiếu của I 2;1

lên AB Dễ thấy K nằm trên đoạn thẳng AB

 C

Trang 36

Ta có z1z2 MN KH d I AB ,  R 2 2 1 .

Suy ra min z1z2 2 2 1.

Câu 28. (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho z là số phức thỏa mãn z  z 2i

Giá trịnhỏ nhất của z 1 2i   z 1 3i là

Nhận xét: Bài toán trên có thể được giải quyết bằng cách đưa về bài toán hình học phẳng.

Câu 29 (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho các số phức z1   , 2 i z2   và số phức z thay đổi thỏa2 i

Trang 37

Trang 38

Nhận thấy, điểm A nằm trong đường tròn  C

còn điểm B nằm ngoài đường tròn  C

, mà17

MA MB AB   Đẳng thức xảy ra khi M là giao điểm của đoạn AB với  C

Ta có, phương trình đường thẳng AB x: 4y  3 0

Tọa độ giao điểm của đường thẳng AB và đường tròn  C

là nghiệm của hệ với 1 y 5

22 5917

Câu 32. (SGD Cần Thơ - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  5 Gọi M và m lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 39

B Pmin  2 1 . C min

5 2 22

D min

3 2 22

t t

MH  

Vậy min

5 2 22

Trang 40

Câu 35. (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Cho số phức z thỏa z 1 Gọi m , M lần lượt là

giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

và 1 x y,  1Khi đó P     x iy x iy 6 2 x iy 1  2 2

A 6 7 B 4 2 13 . C 2 53 D 4 13

Lời giải

Gọi z x y   , với ,x yR Khi đó i M x y ; 

là điểm biểu diễn cho số phức z

Theo giả thiết, 5w 2 i z4 5 w i    2 i z 4 5i2 i w i       z 3 2i

Trang 41

Vậy Pmax 2 53 khi

Trang 42

Cách 3:

Gọi M a b ;

là điểm biểu diễn số phức z a bi  . Đặt I  3; 2 , A1; 2 và B 2;5

Ta xét bài toán: Tìm điểm M thuộc đường tròn  C

có tâm I , bán kính R sao cho biểu thức22

Vì BI2    12 32 10 R2  nên B nằm ngoài 4  C

Vì KI2  1 R2  nên K nằm trong 4  C

Ta có MA2MB2MK2MB2MK MB  2KB.

Dấu bằng trong bất đẳng thức trên xảy ra khi và chỉ khi M thuộc đoạn thẳng BK

Do đó MA2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi M là giao điểm của  C

và đoạn thẳng BK.Phương trình đường thẳng BK x: 2.

P 

B Pmin  5 2 3. C min

994513

P 

D Pmin  5 2 5.

Lời giải

Gọi M , 1 M , M lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức 2 z , 1 2z , z trên hệ trục tọa độ Oxy Khi2

đó quỹ tích của điểm M là đường tròn 1  C1

tâm I 3; 4

, bán kính R ;1quỹ tích của điểm M là đường 2  C2

tròn tâm I 6;8

, bán kính R ;1

Trang 43

quỹ tích của điểm M là đường thẳng : 3 d x2y  12 0

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của MM1MM2 2

min MM MM 2 min MM MM 2 với M3 C3 .

Gọi A , B lần lượt là giao điểm của đoạn thẳng I I với 1 3  C1

,  C3 Khi đó với mọi điểm



3 10



Lời giải Chọn D

Trang 44

3 9 9 3 5 5

Câu 41 (Bình Giang-Hải Dương 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 1

Giá trị lớn nhất của biểu thức

Trang 45

Hàm số liên tục trên 1;1 và với x  1;1

 

x

,

45

 

y

Câu 42. (SGD Hưng Yên 2019) Cho số phức z thoả mãn z 1 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

M 

tại

74

t 

và m 3 tại t 2

Trang 46

Vậy

13 3

Lời giải Chọn A

Gọi M x y là điểm biểu diễn số phức z Ta có ( ; ) z  z 2i   y 1 0,tức biểu diễn hình họccủa số phức thỏa mãn giả thiết là đường thẳng y  Xét điểm (0;1)1 0. A và (4;0)B thì

P    z i z MA MB Dễ thấy ,A B cùng phía với đường thẳng 1 0 y  nên MA MB

nhỏ nhất bằng BA trong đó (0; 3)A  đối xứng với A qua đường thẳng y 1 0.

Do đó MA MB nhỏ nhất bằng BA 5

Câu 44 (SGD Bến Tre 2019) Cho các số phức z1  , 1 3i z2    Tìm điểm 5 3i M x y ; 

biểu diễn sốphức z , biết rằng trong mặt phẳng phức điểm 3 M nằm trên đường thẳng x2y  và mô đun1 0

Trắc nghiệm: Thay tọa độ điểm M vào vế trái phương trình đường thẳng kết quả bằng 0 thỏa ta

biểu diễn số phức z nằm trên đường thẳng : 2 1 03 d x y  và A1;3d.

Khi đó w 3z3  1 i 3AM đạt giá trị nhỏ nhất khi AM ngắn nhất  AM d

Tiêu đề	cực trị số phức 9,10 điểm
Trường học	trường trung học phổ thông
Chuyên ngành	toán học
Thể loại	tài liệu ôn thi
Năm xuất bản	2021
Thành phố	hà nội

Định dạng
Số trang	76
Dung lượng	5,36 MB