Chuyên đề 36 cực trị số phức câu hỏi

Môđun của số phức: Số phức za bi được biểu diễn bởi điểm Ma; b trên mặt phẳng Oxy... THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019 Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Một số tính chất cần nhớ

1 Môđun của số phức:

Số phức za bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Độ dài của véctơ OM

được gọi là môđun của số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b 2 2

Tính chất

 z  a2b2  zz  OM

 z 0, z , z 0z0

 'z z  z z '  , ' 0

z

z  z   z  z'  zz' z  z'

 kz  k z k ,  

Chú ý: z2  a2b22abi  (a2b2 2) 4a b2 2 a2b2 z2  z2 z z

Lưu ý:

 z1z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra z1kz2k0

 z1z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra z1kz2k0

 z1z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra z1kz2k0

 z1z2  z1  z2 dấu bằng xảy ra z1kz2k0

z z  z z  z  z

 z2 z z  z2   z

2.Một số quỹ tích nên nhớ

Biểu thức liên hệ x y, Quỹ tích điểm M

axby c 0 (1)

z a bi  z c di (2)

(1)Đường thẳng :axby c 0

(2) Đường trung trực đoạn AB vớiA a b , ,B c d ,  

x a  y b R hoặc

z a bi R

Đường tròn tâm I a b , bán kính  ;  R

x a  y b R hoặc

z a bi R

Hình tròn tâm I a b ;  , bán kính R

r  x a  y b R hoặc

r z a bi R

Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn tâm I a b ; , bán kính lần lượt là r R,

2

y ax bx c

c

x ay by c







Parabol

 

za b i  za b i  a

 1 Elip

 2 Elip nếu 2a AB A a b,  1, 1,B a b 2, 2

Đoạn AB nếu 2aAB

Hypebol

Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:

CỰC TRỊ SỐ PHỨC Chuyên đề 36

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi  z , tìm

Min

z Khi đó ta có

Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là đường trung trực đoạn OA với A a b ; 



2 2 0

2 2

Min

a b







  



TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi  z c di Tìmzmin Ta có

Quỹ tích điểm M x y biểu diễn số phức  ;  z là đường trung trực đoạn AB với A a b B c d  ; ,  ; 

2 2 2 2

,

2

Min

Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ

bản

Ví dụ 1:

Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi  z c di  Khi đó ta biến đổi

z a bi  z c di   z a bi  z c di 

Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz a bi  z c di Khi đó ta biến đổi

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R0zz0 R Tìm z Max, z Min Ta có

Quỹ tích điểm M x y biểu diễn số phức  ;  z là đường tròn tâm I a b bán kính  ;  R



2 2

0

2 2

0

Max

Min









Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z a bi R

 

      (Chia hai vế cho i )

z b ai R

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z a bi R(Lấy liên hợp 2 vế)

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

 

0 1

0 0

     (Chia cả hai vế cho z0 )

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip

TQ1: (Elip chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện zc  zc 2 ,a a c Khi đó ta có

Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là Elip:

2 2 2 1

a a c 

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022



2 2

Max

Min







TQ2: (Elip không chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện zz1  zz2 2a

Thỏa mãn 2a z1z2

Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc

Ta có

Khi đề cho Elip dạng không chính tắc zz1  zz2 2 ,a z1z2 2avà z z1, 2   c, ci ) Tìm Max, Min của P zz0

Đặt 1 2

2 2 2

2







2

z z

Min











(dạng chính tắc)

Nếu

1 2

0

2

z z







1 2 0

1 2 0

2

2

Max

Min

z z

z z











Nếu

1 2

0

2

z z







1 2 0

2

Max

z z

P  z   a

0

2

Min

z z

P  z   b

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2018) Xét số phức zabi a b ,  thỏa mãn z 4 3i  5 Tính

P ab khi z 1 3i  z 1 i đạt giá trị lớn nhất

Câu 2 (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức z thỏa mãn z  2 i z 4 7i 6 2 Gọi , m M lần lượt

là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i Tính Pm M

A 5 2 2 73

2

2

Câu 3 (KTNL Gia Bình 2019) Cho hai số phức z z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau 1, 2

z  z mi  zm i (trong đó m là số thực) và sao cho z1z2 là lớn nhất Khi

đó giá trị z1z2 bằng

Câu 4 (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 1 Số phức z i có môđun

nhỏ nhất là:

A 5 2 B 5 1 C 5 1 D 5 2

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 5 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của 2z i

P z



 với z là số phức khác 0 và thỏa mãn z 2 Tính tỉ số M

m

A M 3

4 3

M

5 3

M

M

m 

Câu 6 Cho số phức zthoả mãn z 2 3i 1 Tìm giá trị lớn nhất của z 1 i

A 13  3 B 13  5 C 13 1  D 13 6

Câu 7 Xét tất cả các số phức z thỏa mãn z3i4 1 Giá trị nhỏ nhất của z2 7 24i nằm trong

khoảng nào?

A 0;1009 B 1009; 2018 C 2018; 4036 D 4036; 

Câu 8 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn zz zz 4 Gọi M, m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P z 2 2i Đặt AMm Mệnh đề nào sau

đây là đúng?

A A 34;6 B A6; 42 C A2 7; 33 D A4;3 3

Câu 9 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho số phức z thỏa mãn z6  z6 20 Gọi M , n lần lượt là

môđun lớn nhất và nhỏ nhất của z Tính Mn

A M n2 B M n4 C M n 7 D M n14

Câu 10 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i 2và

w2z 1 i Khi đó w có giá trị lớn nhất bằng

A 4 74 B 2 130 C 4 130 D 16 74

Câu 11 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có

điểm biểu diễn là M và M Số phức z4 3 i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là

N và N Biết rằng M, M, N, N là bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của

z i

A 5

2

1

4

13

Câu 12 Biết số phức z thỏa mãn iz 3 z 2 i và z có giá trị nhỏ nhất Phần thực của số phức z

bằng:

A 2

1

2 5

5



Câu 13 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Xét các số phức z thỏa mãn z 1 3i 2 Số phức

z mà z 1 nhỏ nhất là

A z 1 5i B z 1 i C z 1 3i D z 1 i

Câu 14 (Chuyên Phan Bội Châu -2019) Cho số phức z thỏa mãn zz zz 4 Gọi M m lần lượt ,

là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P z 2 2 i Đặt AMm Mệnh đề nào sau đây là

đúng?

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022

A A 34; 6 B A6; 42 C A 2 7; 33 D A4;3 3

Câu 15 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong các số phức z thỏa mãn z  1 i z 1 2i , số

phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là

A 3

3

3 5

10



Câu 16 Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 1 2

    Giá trị nhỏ nhất của z1z2 là

Câu 17 (Sở Bình Phước 2019) Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z  1 34 và

z mi  zm i , (trong đó m   ) Gọi z1, z2 là hai số phức thuộc S sao cho z1z2 lớn nhất, khi đó giá trị của z1z2 bằng

Câu 18 Cho hai số phức ,z w thỏa mãn z 3 2  2, w4 2i 2 2 Biết rằng zw đạt giá trị nhỏ

nhất khi zz0, ww0 Tính 3z0w0

Câu 19 Cho hai số phức z và w thỏa mãn z2w 8 6i và z w 4 Giá trị lớn nhất của biểu thức

z w bằng

Câu 20 Cho số phức z thoả mãn z  Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 1

biểu thức P z 1 z2 z 1 Tính M m

A 13 3

39

13

4

Câu 21 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho hai số phức z và  a bi thỏa mãn

z  z  ; 5a4b200 Giá trị nhỏ nhất của z là

A 3

5

4

3

41

Câu 22 (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Gọi z a bi a b  ,  là số phức thỏa mãn điều kiện

z  i   z i  và

có mô đun nhỏ nhất Tính S 7ab?

Câu 23 (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho số phức thỏa mãn

Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Tính

z z  z 2z z 8

,

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 24 (Chuyên Bắc Giang -2019) Cho số phức z có z 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

1

P z z  z   z

A 13

11 4

Câu 25 (Chuyên Đại Học Vinh -2019) Giả sửz z1, 2là hai trong các số phức thỏa mãnz6 8  zilà số

thực Biết rằng z1z2 4, giá trị nhỏ nhất của z13z2 bằng

Câu 26 Trong các số phức z thỏa mãn z 3 4i 2 có hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1z2 1 Giá trị

nhỏ nhất của z12 z22 bằng

Câu 27 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số phức z z thoả mãn 1, 2

1 2 1 4 7 6 2

z   i z   i  và iz2 1 2i 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T z1z2

A 2 1 B 2 1 C 2 2 1 D 2 2 1

Câu 28 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho z là số phức thỏa mãn z  z2i Giá trị

nhỏ nhất của z 1 2i  z 1 3i là

Câu 29 (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho các số phức z1   , 2 i z2   và số phức 2 i z thay đổi thỏa

mãn zz12 zz2216 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z

Giá trị biểu thức M2m2 bằng

Câu 30 (Chuyên Quang Trung - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z2i  z4i và z 3 3i 1 Giá

trị lớn nhất của biểu thức P z2 là:

A 13 1 B 10 1 C 13 D 10

Câu 31 Xét số phức z thỏa mãn z 2 2i 2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z  1 i z 5 2i

bằng

Câu 32 (SGD Cần Thơ - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  5 Gọi M và m lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z22 z i 2 Môđun của số phức wM mi

là

A w 3 137 B w  1258 C w 2 309 D w 2 314

Câu 33 (THPT Hậu Lộc 2 - 2018) Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1  1 i 2 và z2iz1 Tìm giá trị

nhỏ nhất m của biểu thức z1z2 ?

A m  2 1 B m 2 2 C m 2 D m 2 22

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022

Câu 34 (SGD Bắc Giang - 2018) Hcho hai số phức z, w thỏa mãn 3 2 1

   







Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P zw

A min 3 2 2

2

P   B Pmin  2 1 C min 5 2 2

2

P   D min 3 2 2

2

P  

Câu 35 (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Cho số phức z thỏa z  Gọi m , 1 M lần lượt là

giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P z5z36z 2z41 Tính M m

A m   , 4 n  3 B m 4, n  3 C m   , 4 n 4 D m 4, n   4

Câu 36 (Chuyên Đh Vinh - 2018) Cho các số phức w , z thỏa mãn w i 3 5

5

  và

5w 2 i z4 Giá trị lớn nhất của biểu thức P z 1 2i  z 5 2i bằng

A 6 7 B 42 13 C 2 53 D 4 13

Câu 37 (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Xét các số phức zabi (a b  , ) thỏa mãn z 3 2i  Tính 2

a khi b z 1 2i 2 z 2 5i đạt giá trị nhỏ nhất

A 4 3 B 2 3 C 3 D 4 3

Câu 38 (Liên Trường - Nghệ An - 2018) Biết rằng hai số phức z , 1 z thỏa mãn 2 z  1 3 4i  và 1

2

1

3 4i

2

z    Số phức z có phần thực là a và phần ảo là b thỏa mãn 3 a2b12 Giá trị nhỏ nhất của P zz1  z2z2 2 bằng:

A min 9945

11

P  B Pmin  5 2 3 C min 9945

13

P  D Pmin  5 2 5

Câu 39 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên - 2019) Trong các số phức thỏa mãn: z 1 i  z 1 2i ,

số phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là

A 3

3

3 5

10



Câu 40 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 1 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn

nhất, giá trị lớn nhất của P z5z36z 2z41 Tính Mm

A Mm1 B Mm7 C Mm6 D Mm3

Câu 41 (Bình Giang-Hải Dương 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 1 Giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 42 (SGD Hưng Yên 2019) Cho số phức z thoả mãn z  Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn 1

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

P z  z   Tính z M m

A 13 3

39

13

4

V

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 43 (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Cho số phức z thỏa mãn : z  z2i Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P z i  z4 là

Câu 44 (SGD Bến Tre 2019) Cho các số phức z1 1 3i, z2   5 3i Tìm điểm M x y biểu diễn số  ; 

phức z , biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng 3 x2y 1 0 và mô đun số phức w3z3z22z1 đạt gí trị nhỏ nhất

A 3 1;

5 5

M 

B 3 1;

5 5

M 

5 5

M  

D 3; 1

5 5

M  

Câu 45 (SGD Cần Thơ 2019) Cho số phức z thoả mãn z 1 2i  5 Giá trị lớn nhất của z 1 i

bằng

Câu 46 (Thi thử hội 8 trường chuyên 2019) Cho số phức z thỏa mãn 2i z 2i z 2i Giá trị

nhỏ nhất của z bằng

5

Câu 47 (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Số phức z có môđun nhỏ nhất thoả mãn  2 3iz  z i

là

A 6 3

55i B

3 6

55i C

3 6

55i D

6 3

55i

Câu 48 (Sở GD Nam Định - 2019) Trong các số phức z thỏa mãn 12 5 17 7

13 2



  Tìm giá trị nhỏ nhất của z

A 3 13

5

1

Câu 49 (Chuyên Nguyễn Huệ-HN-2019) Cho số phức z thỏa mãn 2   

z  z  z  i z i Tính min w, với w  z 2 2i

A min 1

2

2

w  D min w 2

Câu 50 (Kim Liên - Hà Nội 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z 3 2i z  3 i 3 5 Gọi M , m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z2 z 1 3i Tìm M , m

A M  17 5; m 3 2 B M  262 5; m  2

C M  262 5; m 3 2 D M  17 5; m  3

Câu 51 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z 1 3i 2 Số phức

z mà z 1 nhỏ nhất là

A z 1 5i B z 1 i C z 1 3i D z 1 i

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Câu 52 (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Cho các số phức ,z z z1, 2 thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau:

iz  2i 4 3, phần thực của z1 bằng 2, phần ảo của z2 bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức T z z12 z z22

Câu 53 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  5 và biểu thức

2

P z  zi đạt giá trị lớn nhất Tính z i

Câu 54 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa –2019) Cho số phức z a bi a b ,   thỏa mãn

z  i Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P a b 5 là

Câu 55 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Cho số phức zabi (a , b) thỏa mãn z 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A z22z2

Câu 56 (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Cho số thực a thay đổi và số phức z thỏa mãn

a a i a







Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M là điểm biểu diễn số phức z Khoảng

cách nhỏ nhất giữa hai điểm M và I  3; 4 (khi a thay đổi) là

Câu 57 (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Xét số phức z thỏa mãn z 2 4i  5 Gọi a và

b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức a2b2 bằng

Câu 58 (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa- 2019) Cho z z1, 2 là hai trong các số phức thỏa mãn z 3 3i 2 và

1 2 4

z z  Giá trị lớn nhất của z1  z2 bằng

Câu 59 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Giả sử z z1, 2 là hai trong các số phức thỏa mãn z6 8  zi là

số thực Biết rằng z1z2  Giá trị nhỏ nhất của 4 z13z2 bằng

Câu 60 (Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình-2019)Trong các số phức z thỏa mãn z2 1 2z gọi z 1

và z lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất Giá trị của biểu thức 2 z12 z22

bằng

Câu 61 (SGD Đà Nẵng 2119) Gọi z là số phức có môđun nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện z 2 8i  17

Biết z a bi a b ,  , tính m2a23b

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Câu 62 (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Xét các số phức za bi a b  ,   thỏa mãn

z  i  Tính P2a b khi z 1 6i z 7 2i đạt giá trị lớn nhất

A P 3 B P  3 C P 1 D P 7

Câu 63 (SGD Bắc Ninh 2019) Cho số phức z thỏa mãn 1i z  1 3i 3 2 Giá trị lớn nhất của biểu

thức P z  2 i 6 z 2 3i bằng

Câu 64 (Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  1 i 3 Giá trị nhỏ nhất

của biểu thức A2z 4 5i z 1 7i bằng a b (với a b, là các số nguyên tố) Tính

S a b ?

Câu 65 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Cho z z1, 2 là nghiệm phương trình 6 3 i iz  2z 6 9i và

thỏa mãn 1 2 8

5

z z  Giá trị lớn nhất của z1z2 bằng

A 56

28

Câu 66 Cho các số phức z và w thỏa mãn 3  1

1

z

w

 Tìm giá trị lớn nhất T  w i

A 2

3 2

2

Câu 67 Cho các số phức z thỏa mãn z 2  z 2 2 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P z  i z  i  z i

Câu 68 Cho số phức zxyi, x y  , thỏa mãn z23y216 Biểu thức P z i  z2 đạt giá

trị lớn nhất tại x0;y0 với x00 ,y0 0 Khi đó: x02y02 bằng

2



2



2



2



Câu 69 Cho số phức z a bi a b ,  thỏa mãn z4  z4 10 và z 6 lớn nhất Tính S a b

A S 11 B S  5 C S  3 D S 5

Câu 70 Cho số phức z a bi a b ,   thỏa z4 z4 10 và z 6 lớn nhất Tính S a b?

A S  3 B S 5 C S  5 D S 11

Câu 71 Cho số phức z thỏa mãn z 1, M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

A z  z Giá trị của biểu thức Mm bằng

A 2 5 2 B 6 C 2 5 4 D 7