(SKKN 2022) rèn luyện cho học sinh kỹ năng khai thác tính chất hình học để giải một số bài toán cực trị số phức

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆMRÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC Người thực hiện: Mai Thị Nhung Chức vụ: Giáo viên SKKN th

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐỂ GIẢI QUYẾT MỘT SỐ

BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC

Người thực hiện: Mai Thị Nhung Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Toán

THANH HOÁ NĂM 2022

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Trong chương trình giải tích lớp 12 thì bài toán cực trị số phức là bài toán khóđối với học sinh, nhiều em học lực khá giỏi tỏ ra lúng túng.Trong cấu trúc đề thi tốtnghiệp THPT lại hay có dạng bài toán này

Làm thế nào để học sinh yêu thích và làm tốt được các bài toán phần này luôn

là những điều tôi trăn trở và quyết tâm phải làm Chính vì vậy trong quá trìnhgiảng dạy tôi đã dẫn dắt các em có thể khai thác một số tính chất hình học để giảiquyết các bài toán cực trị số phức Chuyển từ bài toán giải tích về bài toán hìnhhọc, khai thác một số tính chất hình học phẳng để giải quyết Từ đó giúp các em cócách nhìn khác vế các bài toán này, đồng thời tạo cho các em niềm yêu thích, say

mê với những bài toán cực trị nói riêng và bài toán hình học nói chung

Chính vì vậy, tôi đã chọn đề tài: " Rèn luyện cho học sinh kỹ năng khai thác tính chất hình học để giải một số bài toán cực trị số phức"

Trong đề tài này, tôi đã đưa sáu bài toán cực trị dựa vào tập hợp điểm biểudiễn số phức, với mỗi dạng bài tập, tôi đưa ra ví dụ cụ thể mức độ từ dễ đến khógiúp cho học sinh nhận thấy được các hướng đi, kĩ năng giải quyết các bài toán cựctrị hình học từ đó rèn luyện kỹ năng, phát triển tư duy sáng tạo cho các em

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh làm được các bài toán cực trị số phức

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu, tổng kết một số dạng toán về cực trị số phức có dùng tinhchất hình học để giải quyết

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài đã sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm

Từ sáng kiến: " Rèn luyện cho học sinh kỹ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải quyết một số bài toán cực trị hình học" (năm

2012), có liên quan đến điểm nằm trên đường tròn( năm 2019) đã vận dụng sangbài toán số phức

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

+) Số phức z a bi  có phần thực là a, phần ảo là b, i 2 1.

+) Số phức liên hợp z  a bi và cần nhớ i 2 1.

+) Số phức z a bi  có điểm biểu diễn là M a b( ; ).

+) Số phức liên hợp z  a bi có điểm biểu diễn N a b( ; ).

Hai điểm M và N đối xứng nhau qua trục hoành Ox.

Tính chất: z z; z z  z z; z z  z z;

+) Hai số phức bằng nhau khi thực bằng thực và ảo bằng ảo.

+) Mô đun của số phức z là:

2 2

z  a b

Tính chất: z z. z z ;

z z

2.2 Thực trạng học sinh đối với các bài toán cực trị số phức

Đây là dạng bài tập ở mức độ vận dụng cao của đề thi THPTQG, tốt nghiệp THPT

nên thường gây khó khăn cho học sinh

2.3 Sử dụng tính chất hình học để giải quyết một số bài toán cực trị số phức

Bài toán 1: Sử dụng bất đẳng thức về độ dài đoạn thẳng, tích vô hướng hai vec tơ.

Một số tính chất hình học:

+) Cho 3 điểm A, B, C bất kì luôn có :

- MA MB AB  , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ba điểm A, B, M thẳng hàng

Theo giả thiết, ta có:  

Gọi A là điểm biểu diễn số phức z1;

B là điểm biểu diễn số phức z2;

C là điểm biểu diễn số phức   3z 1 z2; điểm M 0;5

+) Cho đường thẳng d, điểm M thuộc d, điểm O

không thuộc d H là hình chiếu của O trên d Khi

d O

đó d O d( ; )OH OM

Suy ra:

- d O d( ; ) lớn nhất bằng OM khi M là hình chiếu của O trên d

- OM nhỏ nhất bằng OH khi M là hình chiếu của O trên d

Lời giải

Đặtz= +x yi (x yÎ ¡, ) và M x y( ; ) là điểm biểu diễn số phức z.

Từ z+ -2 2i = -z 4i Þ (x+2)2+ -(y 2)2=x2+ -(y 4)2Û x y+ = Þ2 tập hợp điểm M làđường thẳng D:x y+ =2.

2

5 2

Lời giải

Đặtz= +x yi (x yÎ ¡, ) và M x y( ; ) là điểm biểu diễn số phức z.

Từ z= - +z 1 2i Þ x2+y2=(x- 1)2+ - +( y 2)2Û 2x+4y= Þ5 tập hợp điểm M là đườngthẳng D : 2x+ 4y= 5.

P z i  z MA MB Dễ thấy A B, cùng phía với đường thẳng y  1 0 nên MA MB

nhỏ nhất bằng BA trong đó A (0; 3) đối xứng với A qua đường thẳng y  1 0.

M' A

P 

D P  13 73

Lời giải

D

A

Gọi A là điểm biểu diễn số phức z, E2;1 ,  F4;7 và N1; 1  

Từ AE A F   z 2 i  z 4 7 i 6 2 và EF 6 2 nên ta có A thuộc đoạn thẳng

EF Gọi H là hình chiếu của N lên EF, ta có

5 2 2 73

2



1 5



Bài 2 (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Gọi z a bi  a b  R,  là số phứcthỏa mãn điều kiện z- 1 2- i + + -z 2 3i = 10 và có mô đun nhỏ nhất Tính

+) Cho đường tròn (C) và đường thẳng d cố định Một điểm M thay đổi trên (C) và

một điểm N thay đổi trên d

Khi đó min MN = R d I d ( ; )

Dấu “=” xảy ra khi M  H, N  K

+) Cho hai đường tròn (C1) và (C2) cố định Một điểm M chạy trên đường tròn ( )C1

và điểm N chạy trên đường tròn ( )C2 Ta có:

+ Nếu (C1) và (C2) cắt nhau thì min MN = 0, maxMN = CD

+ Nếu (C1) và (C2) ngoài nhau thì minMN = AB , maxMN = CD

+ Nếu (C1) và (C2) đựng nhau

A

D C

B A C

K H

L I M

N

thì minMN = R1 R2  I I1 2 AB, maxMN =CB

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019)

Xét số phức z thỏa mãn z 2 4 i  5 Gọi a và b lần lượt là giá trị lớnnhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức a2  b2 bằng

Lời giải

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn số phức z x yi  với x y  , .

Ta có z 2 4  i  5  x 22y 42  5  tập hợp điểm biểu diễn số phức z là một đường tròn có tâm I2;4

Lời giải

Goi M a b ;  là điểm biểu diễn của số phức z

Theo giả thiết ta có: z 4 3 i  5 a 42b 32 5 Tập hợp điểm biểu diễn

Ví dụ 3 ( Chuyên sp vinh –lần 1 2022) Gọi S là tập hợp tất cả các số phức z

thoả mãn điều kiện z z.  |z z| Xét các số phức z z1 , 2 Ssao cho z1  z2  1 Giá trịnhỏ nhất của biểu thức Pz1  3i  z2  3i

bằng

2 2

1 0

Giả sử X X1 , 2 là hai điểm biểu diễn của w ; w 1 2.

Ta có OI OG 2 nên cho dù điểmX thuộc đường tròn (C1) hay (C2) thì ta luôn có

Gọi B là điểm biểu diễn của số phức z Suy ra 2 B thuộc đường tròn C2 tâm

2 1;0 , 1

I R 

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn của số phức z x yi

Theo giả thiết z4i  z 8 4 i  x y 4 Suy ra M thuộc đường thẳng

Bài 4: Cho z z1 , 2 là nghiệm phương trình 6 3 i iz 2z 6 9 i và thỏa mãn

a

b a c c

d tiếp xúc với  E khi và chỉ khi 2 5 92  4 4 2892 17

17

c c

Vậy MinP 12 khi x 0,y 1.

Bài toán 5: sử dụng bài toán miền giá trị

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1( chuyên thái bình 2022)

Cho số phức z thỏa mãn z z 2z z 8 Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất,

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 3 3 i Giá trị của M m bằng

A 10 34 B 2 10 C 10 58 D 5 58

Gọi z x yi  , trong đó x y  , Khi đó z x yi  , M x y ; , M x y ; 

Ta đặt

4 3    4 3  4 3  3 4  4 3 ;3 4 

w z  i  x yi  i  x y  x y i N x y x y Khi

đó w z 4 3 i  4x 3y  3x4y i  N4x 3 ; 3y  x 4y

Ta có M và M ; N và N từng cặp đối xứng nhau qua trục Ox Do đó,

để chúng tạo thành một hình chữ nhật thì y M y N hoặc y M y N Suy ra

Tập hợp những điểm biểu diễn z x yi  ; x y;  . thỏa mãn (1) là miền trong (tính cả biên) của hình thoi ABCD với A0;3

; B  2;0

; C0; 3 

; D2;0

tạo bởi 4 đường thẳng 3x 2 y 6

Điểm biểu diễn z thỏa mãn (2) là đường tròn tâm

 Điểm giao xa nhất là đỉnh A0;3của hình thoi Do đó M  4 2  6 2  2 13.

Bài 2 Cho số phức z thỏa mãn z+ +z 2z z- = 8

Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của biểu thức P = -z 3 3- i Tính M + m

A 10 + 34 B 2 10 C 10 + 58 D 5 + 58

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Để kiểm tra kết quả của đề tài tôi đã tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có chấtlượng tương đương là hai lớp 12G và 12A, trong đó lớp 12G chưa được giới thiệu kỹnăng sử dụng tính chất hình học để giải toán, còn lớp 12A đã được học với hình thứckiểm tra trắc nghiệm thời gian 30 phút với câu hỏi như nhau

Bài 1 Trong các số phức z thỏa mãn z    1 i z 1 2i , số phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là



3 10

A 5 21 B 20 4 21 C 20 4 22 D 5 22

Bài 6.Cho số phức z a bi  a b ,  thỏa mãn z4 z 4 10 và z  6 lớn nhất.Tính S a b 

A S 11 B S 5 C S 3 D S 5

Kết quả thu được như sau:

Lớp Sỹ số Điểm < 5 Điểm [5; 8) Điểm ≥ 8

lượng lượng lượng

Như vậy ta thấy rõ được hiệu quả của sáng kiến trên đối với học sinh.Giúp cho các em làm được các bài toán cực trị số phức Từ đó thêm yêu thíchmôn toán và đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT Bsắp tới

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Qua đề tài này tôi thu được một số bài học:

- Khắc sâu cho học sinh các kiến thức cơ bản với hệ thống cô động nhất

- Rèn luyện cho học sinh sự tập trung, kết nối các kiến thức đã biết để giảitoán, linh hoạt trong việc xử lí các bài toán

- Phát huy tư duy sáng tạo và rèn luyện cho học sinh tính cẩn thận, chặt chẽtrong làm bài

Sau khi hoàn thành đề tài và áp dụng vào giảng dạy tôi nhận được kết quảđáng phấn khởi từ học sinh Các em đã yêu thích hơn phần cực trị số phức và làmđược nhiều bài dạng này trong đề thi thử của các trường, các sở trong cả nước, đềthi của bộ giáo dục và đào tạo các năm trước Tạo cho các em học sinh niềm yêuthích, say mê trong học tập và chất lượng học tập được nâng lên

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 01 tháng 5 năm2022

Tôi xin cam đoan đây là skkn của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.

3 Các bài tập của nhóm toán Strong, nhóm VDC

6 Đề thi thử TNQG của trường các trường trong cả nước

DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH

NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO XẾP LOẠI

Họ và tên tác giả: Mai Thị Nhung

Chức vụ và đơn vị công tác: Giáo viên- Trường THPT Ba Đình

TT Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp loại

(Ngành GD cấphuyện/tỉnh;

Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại

(A, B,hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

TT Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh;

Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1.

Rèn luyện cho học sinh kỹ

năng giải bài toán hình học

không gian bằng phương

pháp tọa độ.

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

C 2007-2008

2.

Rèn luyện cho học sinh kỹ

năng khai thác đơn vị ảo để

giải toán.

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

B 2009-2010

3 Rèn luyện cho học sinh kỹ

năng khai thác hình chiếu

của điểm trên đường thẳng

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

C 2011-2012

để giải quyết một số bài