(SKKN 2022) nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua việc ứng dụng hình học phẳng trong các bài toán cực trị số phức vận dụng, vận dụng cao

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC ỨNG DỤNG HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC BÀI T

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG II

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

NÂNG CAO NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC ỨNG DỤNG HÌNH HỌC PHẲNG TRONG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC

MỤC LỤC Trang

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm 2 2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo 16dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Các SKKN đã được Sở GD&ĐT Thanh Hóa xếp loại 19

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài.

Trong môn toán ở trường phổ thông phần số phức giữ một vai trò, vị tríhết sức quan trọng Phần nội dung kiến thức số phức được đưa vào giảng dạycuối chương trình Giải Tích 12 chưa lâu nên là một vấn đề mới với học sinh, nếugiáo viên dạy không có tầm nhìn sâu rộng, khả năng bao quát, liên kết với cácphần kiến thức toán học khác thì học sinh sẽ thấy rất nhàm chán Trong quátrình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh lớp 12 rất e ngại khi gặp những câu vậndụng, vận dụng cao số phức, các em cảm thấy hoang mang, nghĩ rằng nó trừutượng, thiếu tính thực tế, không có phương hướng để làm Chính vì thế mà có rấtnhiều học sinh không làm được phần này, về phần giáo viên cũng gặp không ítkhó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bàitập nâng cao về số phức, đặc biệt là các bài toán cực trị số phức

Đứng trước một bài toán, đặc biệt là bài toán khó người làm toán luôn đặt

ra phương hướng giải quyết Tuy nhiên đối với người say mê toán còn đi tìm cáccách giải quyết khác nhau, nhất là tìm được cách giải hay ngắn gọn, mới lạ, tìmđược mối quan hệ với các nội dung kiến thức đã học thì lại càng kích thích tính

tò mò khám phá, sự kiên nhẫn, tự tin và sự đam mê học toán

Hiện nay trong các đề thi tốt nhiệp THPT, đề thi chọn học sinh giỏithường xuất hiện bài toán nâng cao về số phức mà ở đó lời giải đòi hỏi vận dụngkhá phức tạp các kiến thức hình học, đại số, lượng giác… Việc tiếp cận các lờigiải đó thực tế cho thấy thật sự là một khó khăn cho học sinh, mặc dù chỉ nhữnghọc sinh khá giỏi mới có năng lực hiểu được những câu này Trong khi đó, nếuhọc sinh thấy được mối quan hệ giữa số phức và các bài toán hình học phẳng thìvấn đề ít nhiều sẽ được giải quyết Với những lí do như trên, từ thực tế giảngdạy, với kinh nghiệm thu được, tôi đã tiến hành thực hiện đề tài sáng kiến cho

năm 2022 với nội dung: “Nâng cao năng lực giải quyết vấn đề cho học sinh thông qua việc ứng dụng hình học phẳng trong các bài toán cực trị số phức vận dụng, vận dụng cao”

1.2 Mục đích nghiên cứu

- Với việc nghiên cứu đề tài sẽ giúp học sinh, đặc biệt là đối tượng họcsinh học ở mức độ khá, giỏi có thể giải được các bài toán về cực trị số phứcthông qua các kiến thức hình học phẳng mà các em đã học

- Thông qua SKKN này sẽ bồi dưỡng cho học sinh về phương pháp, kỹnăng giải toán, học sinh sẽ biết liên kết các nội dung kiến thức toán học vớinhau, có năng lực tư duy, tìm tòi sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bàitoán mới Học sinh sẽ thấy rõ hơn về ứng dụng của số phức trong hình học và xahơn là trong cuộc sống

- Nâng cao khả năng tự học và khả năng giải các bài toán vận dụng, vậndụng cao trong quá trình ôn luyện và trong các kỳ thi học sinh giỏi

- Hy vọng đề tài ra đời sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh

có một cái nhìn toàn diện hơn về phương pháp ứng dụng hình học phẳng trongviệc giải quyết các bài toán cực trị số phức

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Các bài toán cực trị số phức ở mức độ vận dụng, vận dụng cao trong các

đề thi

- Các học sinh có trình độ khá, giỏi lớp 12 trường THPT Quảng Xương Thanh Hóa

II-1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm có liên quan đến đề tài

- Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS)

- Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,…)

- Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS)

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm (tổ chức một số tiết dạy)

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu (thống kê điểm kiểm tra của họcsinh và đối chứng)

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Các kiến thức được sử dụng trong sáng kiến này thuộc phạm vi kiến thứchình học phẳng lớp 9,10 và phần kiến thức số phức được trình bày trong Sáchgiáo khoa Giải Tích 12 chuẩn và nâng cao (chương IV), các ví dụ được tổng hợp

từ các bài toán lấy từ các đề thi thử THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi các cấp

Các kiến thức cần nhớ

a Môđun của số phức:

 Số phức z a bi  được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Độ

dài của véctơ OM được gọi là môđun của số phức z Kí hiệu

Về sách giáo khoa.

Sách giáo khoa chỉ đưa ra các ví dụ về các câu số phức mức độ đơn giản,

không đề cập đến những câu vận dụng, vận dụng cao, vì vậy học sinh gặp rấtnhiều khó khăn khi đối mặt với những câu này trong các đề thi thử tốt nghiệphoặc thi học sinh giỏi Đặc biệt tài liệu chuyên sâu về dạng toán này ít, khôngchỉ rõ các dạng toán thường gặp, các hướng đề thi có thể ra

Về phía giáo viên.

Với sức ép của chương trình, qui chế chuyên môn, thời lượng thực hiệnchương trình sát sao, đã làm cho giáo viên chỉ đủ thời gian truyền tải các nội

dung trong sách giáo khoa, ít có thời gian mở rộng kiến thức cho học sinh, phần

mở rộng chủ yếu ở các tiết phụ đạo, bồi dưỡng

Trước khi tôi thực hiện đề tài này thì kết quả các bài kiểm tra chuyên đề

“Cực trị số phức” của học sinh lớp 12 trong hai năm học liên tiếp của trườngTHPT Quảng Xương II được thể hiện qua bảng sau:

Sốlượng Tỷ lệ

2021-2022 12B112B6 4444 1010 23 %23 % 1815 41 %34 % 1619 36 %43 %

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Các giải pháp: Trong giảng dạy tôi thực hiện như sau:

- Dùng hệ thống câu hỏi gợi ý phương pháp tìm tòi lời giải cũng nhưphương pháp tổng quát hóa bài toán

- Khai thác, phát triển tính chất của bài toán tương tự

- Ra đề toán theo hướng mở với kiểu câu phát hiện sáng tạo, học sinh cóthể trên cơ sở bài toán tổng quát tự mình tìm ra được những bài toán khác nhau

2.3.2 Nội dung: Tôi xin trình bày một số ví dụ và các bài tập tự luyện.

Dạng 1 Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.

TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z a bi  z , tìm z Min Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm M x y biểu diễn số phức  ;  z là đường trung trực đoạn

TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di Tìm zmin Ta có

 Quỹ tích điểm M x y biểu diễn số phức  ;  z là đường trung trực đoạn

Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành một số dạng, khi đó ta cần thực

hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản

 Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi   z c di Khi đó ta biếnđổi z a bi   z c di  z a bi   z c di

 Cho số phức z thỏa mãn iz a bi   z c di Khi đó ta biến đổi

A  đối xứng với A qua đường thẳng y  1 0

M' A

B

A'

M

Do đó MA MB nhỏ nhất bằng BA5

Nhận xét: Nếu sử dụng mối liên hệ với hình học ở bài này, học sinh sẽ thấy rất

quen thuộc vì bài hình này các em đã được học ở lớp 10

Ví dụ 2 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong các số phức z thỏa mãn

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng

d x y  Ta có z OM nhỏ nhất  OM nhỏ nhất  M là hình chiếu của O trên d

Phương trình đường thẳng OM đi qua O và vuông góc với d là: x 2y0.Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Khi đó  *  MA MB Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường

trung trực của đoạn thẳng ABcó phương trình d: 4x2y 3 0

Ví dụ 3 Xét số phức z thỏa mãn z 2 i  z 4 7 i 6 2 Gọi m M, lầnlượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i. Tính P m M 

D

A

Gọi A là điểm biểu diễn số phức z, E2;1 ,  F4;7 và N1; 1  

Gọi A là điểm biểu diễn số phức z, E2;1 ,  F4;7 và N1; 1   Từ

thẳng EF Gọi H là hình chiếu của N lên EF, ta có 3 3;

Nhận xét: Bài này nếu dùng công cụ đại số sẽ rất khó và cồng kềnh, học sinh sẽ

phải sử dụng nhiều kỹ năng giải phương trình mới có thể giải được

Ví dụ 4 (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn

4

z z  z z  Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của

2 2

P z  i Đặt A M m Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A A 34;6 B A6; 42 C A2 7; 33 D A4;3 3.

Lời giải

Giả sử: z x yi x y  , ,  N x y ;  biểu diễn của số phức z Ta có:

• z z  z z  4 x  y  2 N thuộc các cạnh của hình vuông BCDF

x y

I B

Dạng 2 Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi   R 0 z z 0 R

Gọi z x yi  , x y , R Khi đó M x y là điểm biểu diễn của số phức  ;  z

Theo bài ra ta có z 1 3 i  2 x 12  y 32 4 Suy ra tập hợp điểm

M là đường tròn tâm I1; 3 bán kính R 2

Khi đó z 1 x 12 y2 I M với I1; 0 z  nhỏ nhất khi 1 I M ngắn nhất hay I, M , I thẳng hàng, M nằm giữa I và I Phương trình đường thẳng II là x 1

Tọa độ giao điểm của đường thẳng II với đường tròn tâm I bán kính R 2 là

 

1 1; 1

M và M11; 5 Thử lại ta thấy M11; 1 thỏa mãn Vậy z 1 i

Ví dụ 6 (Chuyên Vinh 2018) Cho các số phức w, z thỏa mãn w i 3 5

Mặt khác, MH KH với mọi M  C nên P 4KH2 AB2

Nhận xét: Bài này nếu dùng công cụ đại số thì học sinh phải sử dụng các kiến

thức về bất đẳng thức, mà đây là phần mà chỉ những học sinh giỏi mới tiếp cận được

Ví dụ 7 (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Xét các số phức

c z a bi  (a b , )thỏa mãn z 3 2 i 2 Tính a b khi z 1 2i 2 z 2 5 i đạt giá trị nhỏnhất

BK Từ đó tìm được M 2;2 3

Ví dụ 8 (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Cho các số phức z z z thay đổi thỏa, ,1 2

mãn các điều kiện sau: iz2i4 3 , phần thực của z bằng 2, phần ảo của 1 z2

bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T z z 2 z z 2

Giao điểm của d1 và d là 2 P2;1 .

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên d và 1 d2

I

P M

- 2

4

1 2

K H d1

d2

Dạng 3 Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.

TQ1: (Elip chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc

Khi đề cho Elip dạng không chính tắc z z 1  z z 2 2 ,a z 1 z2 2a, (

6 6 20

x yi x yi

        x 62  y2  x62  y2 20   Gọi M x y ,  ;  F16;0 và F 2 6;0 Khi đó    MF1MF2 20F F1 2 12nên tập hợp các điểm E là đường elip  E có hai tiêu điểm F1 và F Và độ dài2

Ta gọi các điểm biểu diễn số phức z 6 0i là A6;0; z a bi  là

 ;   

M a b  E ; z 5 0i là C  5;0  z 6 lớn nhất khi MA lớn nhất

Dựa, vào hình vẽ trên ta thấy để MA lớn nhất khi

a

b a c c

Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm M  E và N   sao cho MN nhỏ nhất.Đường thẳng d song song với  có dạng d : 5x 4y c 0, c 20, d tiếpxúc với  E khi và chỉ khi 2 2  2 17

5 9 4 4 289

17

c c

Câu 1. (KTNL Gia Bình 2019) Cho hai số phức z z thỏa mãn đồng thời hai1, 2

điều kiện sau z 1  34, z 1 mi  z m2i (trong đó m là sốthực) và sao cho z1 z2 là lớn nhất Khi đó giá trị z1z2 bằng

Câu 4. (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Gọi z a bi  a b, R là số

phức thỏa mãn điều kiện z 1 2i  z 2 3i  10 và có mô đunnhỏ nhất Tính S 7a b ?

Câu 5. (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho các số phức z1 2 i, z2  2 i và

số phức z thay đổi thỏa mãn z z 12  z z 2 2 16 Gọi M và m lần

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức

Câu 8. (Sở GD Nam Định - 2019) Trong các số phức z thỏa mãn

12 5  17 7

132

z  i  Gọi a và b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất của z Giá trị biểu thức a2  b2 bằng

- Học sinh thấu hiểu phương pháp để có thể tự xây dựng một lớp các bài toántìm cực trị số phức có cùng hướng giải

- Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khá vàgiỏi 12 THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán

- Trong đề tài này tôi đã đưa ra và giải quyết một số bài toán thường gặptương ứng các bài tập tự luyện Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong cácnăm học 2020-2021, 2021-2022 khi giảng dạy lớp 12, được học sinh đồng tình

và đạt được kết quả, nâng cao khả năng giải các bài toán số phức vận dụng, vậndụng cao trong các kỳ thi Các em hứng thú và đam mê học tập phần kiến thứcnày hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bìnhkhá trở lên cũng đã có kỹ năng giải các bài tập loại này Học sinh biết áp dụngtăng rõ rệt Cụ thể sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số học sinhhiểu và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên, kết quả qua các bàikiểm tra lại chuyên đề về cực trị số phức như sau:

Sốlượng Tỷ lệ2020-2021 12A112A2 4445 1512 27 %34% 2520 57 %44% 134 29 %9 %

2021-2022 12B1 44 15 34% 23 52 % 6 14 %

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ.

3.1 Kết luận:

- Sau nhiều năm giảng dạy và thực tế kiểm nghiệm tôi nhận thấy nâng cao

hứng thú học tập cho học sinh (qua nhiều con đường) là một việc làm rất cầnthiết từ đó góp phần phát triển năng lực tự học, tự khám phá, sáng tạo cho họcsinh và đây cũng là xu thế của dạy học hiện đại Các bài toán của chuyên đề đãthể hiện rõ mục đích và đạt kết quả này (phù hợp với đổi mới dạy học)

- Đề tài đã khai thác được các dạng bài toán tìm cực trị số phức có thể ứngdụng các kiến thức về hình học phẳng, từ đó có thể thấy được các tính chất, cáccách chứng minh,… được mở rộng, được liên hệ với nhau một cách khá lôgicgiúp cho việc dạy và học toán có hiệu quả hơn, kiểu tư duy này được áp dụngtrong thực tế giảng dạy và học tập tùy theo yêu cầu của chương trình, của ngườihọc, người dạy mà ta lựa chọn bài tập phù hợp Trong việc dạy toán ở TrườngTHPT Quảng Xương 2, tôi đã vận dụng kiểu tư duy này để dạy cho nhiều đốitượng, nhất là trong việc ôn tập cho học sinh khá, giỏi Hình thành cho học sinhthói quen nhận dạng, tìm tòi hướng giải, tổng quát hóa thành các dạng, sáng tạotrong học tập

- Để hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhất là việc ứng dụng trong việc giảngdạy và học tập tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp rút kinh nghiệmcủa các đồng nghiệp để bài viết thêm đầy đủ, chất lượng

3.2 Kiến nghị:

- Qua kết quả điều tra khảo sát thực tiễn ta thấy rằng học sinh rất ngại khigiải các bài toán cực trị số phức vận dụng, vận dụng cao phức tạp Vì vậy, đểgiúp học sinh có hứng thú học phần này và thấy được tầm quan trọng của nó,giáo viên cần lựa chọn hệ thống bài tập phù hợp, đề ra giải pháp khi giải các bài

các bài toán phức tạp về bài toán đơn giản hơn đề học sinh thấy quen thuộc vàgiải chúng được dễ dàng Giáo viên cũng cần tách lọc các đối tượng học sinh để

từ đó có phương pháp dạy học phù hợp

- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên cónhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứuhọc tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ

- Nhà trường cần tổ chức các buổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủsách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm đểlàm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề

- Học sinh cần tăng cường trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập