Ôn thi TN THPT môn toán theo Chuyên đề 36 Cực trị số phức

Bộ đề ôn thi tốt nghiệp THPT mới nhất theo từng chuyên đề. Có đầy đủ câu hỏi, bài giảng và đáp án cụ thể. Hỗ trợ tốt nhất cho các thí sinh chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi vào các trường Đại học…

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022

Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Một số tính chất cần nhớ

1 Môđun của số phức:

Số phức za bi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Độ dài của véctơ OM

được gọi là môđun của số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b 2 2

Trang 2

NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489

Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng

TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z a bi  z c di Tìmzmin Ta có

Quỹ tích điểm M x y biểu diễn số phức  ;  z là đường trung trực đoạn AB với A a b B c d  ; ,  ; 

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R0zz0 R Tìm z Max, z Min Ta có

Quỹ tích điểm M x y biểu diễn số phức  ;  z là đường tròn tâm I a b bán kính  ;  R

Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z a bi R

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z a bi R(Lấy liên hợp 2 vế)

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

     (Chia cả hai vế cho z0 )

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip

TQ1: (Elip chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện zc  zc 2 ,a a c Khi đó ta có

Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là Elip:

a a c 

Trang 3

1 2 0

Câu 2 (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức z thỏa mãn z  2 i z 4 7i 6 2 Gọi , m M lần lượt

là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i Tính Pm M

Trang 4

Câu 5 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

của 2z i

P z

M

53

Câu 8 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn zz zz 4 Gọi M, m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P z 2 2i Đặt AMm Mệnh đề nào sau

đây là đúng?

A A 34;6 B A6; 42 C A2 7; 33 D A4;3 3

Câu 9 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho số phức z thỏa mãn z6  z6 20 Gọi M , n lần lượt là

Câu 11 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có

điểm biểu diễn là M và M Số phức z4 3 i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là

N và N Biết rằng M, M, N, N là bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu 14 (Chuyên Phan Bội Châu -2019) Cho số phức z thỏa mãn zz zz 4 Gọi M m lần lượt ,

là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P z 2 2 i Đặt AMm Mệnh đề nào sau đây là

đúng?

Trang 5

A A 34; 6 B A6; 42 C A 2 7; 33 D A4;3 3

Câu 15 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong các số phức z thỏa mãn z  1 i z 1 2i , số

phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là

Câu 23 (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho số phức thỏa mãn

Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Tính

Trang 6

Câu 24 (Chuyên Bắc Giang -2019) Cho số phức z có z 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 25 (Chuyên Đại Học Vinh -2019) Giả sửz z1, 2là hai trong các số phức thỏa mãnz6 8  zilà số

thực Biết rằng z1z2 4, giá trị nhỏ nhất của z13z2 bằng

Câu 29 (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho các số phức z1   , 2 i z2   và số phức 2 i z thay đổi thỏa

mãn zz12 zz2216 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z

Câu 32 (SGD Cần Thơ - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  5 Gọi M và m lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z22 z i 2 Môđun của số phức wM mi

Trang 7

Câu 34 (SGD Bắc Giang - 2018) Hcho hai số phức z, w thỏa mãn 3 2 1

Câu 35 (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Cho số phức z thỏa z  Gọi m , 1 M lần lượt là

giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức P z5z36z 2z41 Tính M m

Câu 39 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên - 2019) Trong các số phức thỏa mãn: z 1 i  z 1 2i ,

số phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là

Câu 42 (SGD Hưng Yên 2019) Cho số phức z thoả mãn z  Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn 1

nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

Trang 8

Câu 43 (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Cho số phức z thỏa mãn : z  z2i Giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P z i  z4 là

Câu 44 (SGD Bến Tre 2019) Cho các số phức z1 1 3i, z2   5 3i Tìm điểm M x y biểu diễn số  ; 

phức z , biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng 3 x2y 1 0 và mô đun số phức w3z3z22z1 đạt gí trị nhỏ nhất

Câu 50 (Kim Liên - Hà Nội 2019) Xét các số phức z thỏa mãn z 3 2i z  3 i 3 5 Gọi M , m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z2 z 1 3i Tìm M , m

Trang 9

Câu 52 (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Cho các số phức ,z z z1, 2 thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau:

iz  2i 4 3, phần thực của z1 bằng 2, phần ảo của z2 bằng 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

Câu 55 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Cho số phức zabi (a , b) thỏa mãn z 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A z22z2







Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M là điểm biểu diễn số phức z Khoảng

cách nhỏ nhất giữa hai điểm M và I  3; 4 (khi a thay đổi) là

Câu 57 (Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định- 2019) Xét số phức z thỏa mãn z 2 4i  5 Gọi a và

b lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Giá trị biểu thức a2b2 bằng

Câu 59 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Giả sử z z1, 2 là hai trong các số phức thỏa mãn z6 8  zi là

số thực Biết rằng z1z2  Giá trị nhỏ nhất của 4 z13z2 bằng

A 5 21 B 20 4 21 C 20 4 22 D 5 22

Câu 60 (Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình-2019)Trong các số phức z thỏa mãn z2 1 2z gọi z 1

và z lần lượt là các số phức có môđun nhỏ nhất và lớn nhất Giá trị của biểu thức 2 z12 z22

Trang 10

Câu 62 (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Xét các số phức za bi a b  ,   thỏa mãn

Câu 64 (Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Cho số phức z thay đổi thỏa mãn z  1 i 3 Giá trị nhỏ nhất

của biểu thức A2z 4 5i z 1 7i bằng a b (với a b, là các số nguyên tố) Tính

Câu 68 Cho số phức zxyi, x y  , thỏa mãn z23y216 Biểu thức P z i  z2 đạt giá

trị lớn nhất tại x0;y0 với x00 ,y0 0 Khi đó: x02y02 bằng

Trang 11

Câu 72 Xét tập hợp S các số phức z x yi x y ,   thỏa mãn điều kiện 3zz  1i22i Biểu

thức Q zz 2x đạt giá trị lớn nhất là Mvà đạt được tại z0 x0 y i0 ( khi z thay đổi trong tập S ) Tính giá trị 2

0 0

Câu 77 Cho số phức z và gọi z , 1 z là hai nghiệm phức của phương trình 2 z28i0(z có phần thực 1

dương) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2

Câu 78 Trong các số phức z thỏa mãn z212 z gọi z1 và z2 lần lượt là các số phức có môđun nhỏ

nhất và lớn nhất Giá trị của biểu thức z12 z22 bằng

Trang 12

Câu 81 Cho các số phức z1, z2, z3 thỏa mãn z1  z2  z3 1 Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

P z z  z z  z z

Câu 82 Cho số phức z thỏa mãn 3 z  z  2 z  z  12.Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

của z   4 3 i Giá trị của M m bằng:

bằng

A 5 3 2 B 29 2 C 17 D 5

Câu 86 (Mã 111-2021-Lần 2) Xét các số phức z và w thay đổi thỏa mãn z  w  và 3 zw 3 2

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z  1 i w 2 5i bằng:

Trang 13

Câu 94 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2021) Xét các số phức z , w thỏa mãn z2w 4 và

3zw 5 Khi 5z3w i đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính giá trị zw1?

Câu 97 (Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần 2 - 2021) Xét các số phức z thỏa mãn z  1 2 Gọi M và m lần

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z2 2 3z Tổng Mm bằng

Câu 98 (Sở Nam Định - 2021) Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M a b ;  là điểm biểu diễn của số phức z thỏa

mãn z44i 4 Gọi A B C lần lượt là điểm biểu diễn của số phức , ,

Trang 14

z i và wi1z2z là số thuần ảo Biết rằng tồn tại số phức 1 za bi a b , ,  

được biểu diễn bởi điểm M sao cho MA ngắn nhất, với A1; 4 Tính a b

Trang 15

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Một số tính chất cần nhớ

1 Môđun của số phức:

 Số phức zabi được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy Độ dài của véctơ OM

được gọi là môđun của số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b 2 2

Trang 16

Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng

Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn

TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi  R0zz0 R Tìm z Max, z Min Ta có

 Quỹ tích điểm M x y biểu diễn số phức  ;  z là đường tròn tâm I a b bán kính  ;  R

Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz a bi R z a bi R

Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z a bi R z a bi R(Lấy liên hợp 2 vế)

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

     (Chia cả hai vế cho z0 )

Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip

TQ1: (Elip chính tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện zc  zc 2 ,a a c Khi đó ta có

 Quỹ tích điểm M x y ;  biểu diễn số phức z là Elip:

a a c 

Trang 17

1 2 0

Goi M a b ;  là điểm biểu diễn của số phức z

Theo giả thiết ta có: z 4 3i  5a42b32 5 Tập hợp điểm biểu diễn số phức

z là đường tròn tâm I4;3 bán kính R  5

Trang 18

65

Câu 2 (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức z thỏa mãn z  2 i z 4 7i 6 2 Gọi , m M lần lượt

là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 1 i Tính Pm M

Trang 19

Gọi A là điểm biểu diễn số phức z , E2;1 ,  F4; 7 và N1; 1  

Từ AEA F  z  2 i z 4 7i 6 2 và EF 6 2 nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF Gọi

H là hình chiếu của N lên EF, ta có 3 3;

Gọi M N lần lượt là điểm biểu diễn của số phức , z z 1, 2

N

D

A

Trang 20

2 m 1 x 2 m 2 y 3 0

Suy ra M N thuộc đường thẳng , d: 2m1x2m2y 3 0

Do đó M N là giao điểm của đường thẳng , d và đường tròn  C

Ta có z1z2 MN nên z1z2 lớn nhất khi và chỉ khi MN lớn nhất

MN

 đường kính của  C Khi đó z1z2 2OI2

Câu 4 (THPT Cẩm Giàng 2 2019) Cho số phức z thỏa mãn z 2 2i 1 Số phức z i có môđun

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn hình học của số phức w

Từ giả thiết z 2 2i 1 ta được:

55cos

5

x x

Trang 21

M

53

Trang 22

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4

Câu 8 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn zz zz 4 Gọi M, m

lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P z 2 2i Đặt AMm Mệnh đề nào sau

1 1

I B

E

Trang 23

Vậy giá trị lớn nhất của w là 4  130

Câu 11 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z và số phức liên hợp của nó có

điểm biểu diễn là M và M Số phức z4 3 i và số phức liên hợp của nó có điểm biểu diễn là

N và N Biết rằng M, M, N, N là bốn đỉnh của hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ nhất của

zxyi x y  , 

 E

Trang 24

Trang 25

Thử lại ta thấy M11; 1 thỏa mãn Vậy z 1 i

Câu 14 (Chuyên Phan Bội Châu -2019) Cho số phức z thỏa mãn zz  zz 4 Gọi M m lần lượt ,

là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P z 2 2 i Đặt AMm Mệnh đề nào sau đây là

Vậy M m 22 55,88

Trang 26

Câu 15 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong các số phức z thỏa mãn z  1 i z 1 2i , số

phức z có mô đun nhỏ nhất có phần ảo là

Ta có z OM z nhỏ nhất OM nhỏ nhất  M là hình chiếu của O trên d

Phương trình đường thẳng OM đi qua O và vuông góc với d là: x2y0

Tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

Trang 27

C không có điểm chung

Quỹ tích các điểm biểu diễn số phức z1z2 là đoạn thẳng MN  z1z2 nhỏ nhất khi và chỉ

M'

Trang 28

Trang 29

Giả sử M N lần lượt là các điểm biểu diễn cho z và , w Suy ra OM  ON OF 2OI,

a

b

I

F E

N

M O

Trang 30

Câu 20 Cho số phức z thoả mãn z  Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của 1

Trang 31

Yêu cầu bài toán trở thành tìm điểm M E và N   sao cho MN nhỏ nhất

Đường thẳng d song song với  có dạng : 5d x4y  , c 0 c  20

d tiếp xúc với  E khi và chỉ khi 2 2  2 17

5 9 4 4 289

17

c c

Gọi M a b ;  là điểm biểu diễn số phức z  a bi

A

Trang 32

Nên H thuộc đoạn AB

z nhỏ nhất OM nhỏ nhât, mà M thuộc đoạn AB

Câu 23 (KTNL GV Thuận Thành 2 Bắc Ninh 2019) Cho số phức thỏa mãn

Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức Tính

K x y biểu diễn số phức z thuộc cạnh các cạnh của trong hình thoi ABCD như hình vẽ

đạt giá trị lớn nhất khi KM lớn nhất, theo hình vẽ ta có KM lớn nhất khi

K D hay K  4;0 suy ra M  49 9  58

đạt giá trị nhỏ nhất khi KM nhỏ nhất, theo hình vẽ ta có KM nhỏ nhất khi

K F (F là hình chiếu của E trên AB

Suy ra F2;1 do AE AB nên F là trung điểm của AB

Trang 33

Câu 24 (Chuyên Bắc Giang -2019) Cho số phức z có z 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải Chọn A

2 2 cos 3 4 cos 2 cos 2

2 2 cos 4 cos 4 cos 1

 1;1 

13max

4

y

  Do đó giá trị lớn nhất của P z2z  z2  là z 1 13

4

Câu 25 (Chuyên Đại Học Vinh -2019) Giả sửz z1, 2là hai trong các số phức thỏa mãnz6 8  zilà số

thực Biết rằng z1z2 4, giá trị nhỏ nhất của z13z2 bằng

A 5 21 B 20 4 21 C 20 4 22 D 5 22

Lời giải Chọn C

Trang 34

Giả sử z xyi, x y , Gọi A B, lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức z z1, 2 Suy ra

* Xét điểm M thuộc đoạn ABthỏa MA3MB  0 OA3OB4OM

.Gọi Hlà trung điểm

AB Ta tính đượcHI2R2HB2 21;IM HI2HM2  22, suy ra điểm M thuộc đường tròn  C tâm I3; 4, bán kính r  22

Trang 35

d I AB   , suy ra AB không cắt đường tròn

Gọi K là hình chiếu của I2;1 lên AB Dễ thấy K nằm trên đoạn thẳng AB

Gọi H là giao điểm của đoạn IK với đường tròn  C

Trang 36

Nhận xét: Bài toán trên có thể được giải quyết bằng cách đưa về bài toán hình học phẳng

Câu 29 (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho các số phức z1   , 2 i z2   và số phức 2 i z thay đổi thỏa

mãn zz12 zz2216 Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z

Trang 37

3

y

  ; z 3 3i 1 điểm M nằm trên đường tròn tâm I3;3 và bán kính bằng 1 Biểu thức P z2  AM trong đó A2; 0, theo hình vẽ thì giá trị lớn nhất của P z2 đạt được khi M4;3 nên  2  2

22 5917

Câu 32 (SGD Cần Thơ - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i  5 Gọi M và m lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z22 z i 2 Môđun của số phức wMmi

là

A w 3 137 B w  1258 C w 2 309 D w 2 314

Trang 38

Lời giải

- Đặt zxyi, với x y  ,

Ta có: z 3 4i  5  x3  y4i  5x32y42 5, hay tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn  C có tâm I3; 4, bán kính r  5

Trang 39

Từ (1) ta có I3; 2, bán kính r 1 Gọi H là hình chiếu của I trên d y:  x

t t

Câu 35 (Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM - 2018) Cho số phức z thỏa z  Gọi m , 1 M lần lượt là

giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức 5 3 4

Gọi z x yi, với x y  , Khi đó M x y ;  là điểm biểu diễn cho số phức z

Theo giả thiết, 5w2 i z45 w i  2 i z45i2 i wi  z 3 2i

3 2i 3

z

    Suy ra M x y ;  thuộc đường tròn   C : x32y229

Trang 40

Định dạng
Số trang	85
Dung lượng	2,69 MB