Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giải bài toán cực trị số phức

Tìm số phức Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của số phức thành bài toán hình học quen thuộc Bài t

Trang 1

MỤC LỤC

Trang

1 MỞ ĐẦU 2

1.1 Lí do chọn đề tài 2

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 4

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 4

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 7

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 8

2.3.1 Nội dung hướng dẫn học sinh 8

2.3.2 Bài tập củng cố 19

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường 20

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 21

3.1 Kết luận 21

3.2 Kiến nghị 21

TÀI LIỆU THAM KHẢO 22

1

Trang 2

hệ chặt chẽ với kiến thức tọa độ trong mặt phẳng

Ngày nay với việc thi THPT Quốc Gia là thi trắc nghiệm học sinh cầnphải nhanh chóng tìm ra cách chọn đáp án chính xác trong khoảng thời gianngắn nhất Do đó học sinh không chỉ giải được bài toán mà còn lựa chọn đượcphương án giải nhanh và chính xác nhất có thể Nên học sinh cần được rèn luyệnnhìn nhận bài toán theo các khía cạnh khác nhau qua đó tìm ra nhiều phươngpháp giải khác nhau để từ đó lựa chọn được phương án tối ưu nhất

Trong quá trình giảng dạy, ngoài việc áp dụng các cách làm, cách tư duyquen thuộc, tôi nhận thấy sự cần thiết phải hướng dẫn để học sinh nắm đượcphương pháp sử dụng kiến thức tọa độ phẳng để giải quyết một số bài toán cựctrị số phức Bởi ngoài việc bổ sung, hoàn thiện thêm các phương pháp giải bàitoán cực trị số phức thì việc sử dụng phương pháp tọa độ giúp cho học sinh cóđược cách nhìn bài toán hết sức trực quan và nhanh chóng tìm ra kết quả mà cáccách làm khác không có được

Trong quá trình ôn thi THPT Quốc Gia cho học sinh lớp 12, tôi đã có

Sáng kiến kinh nghiệm trong giảng dạy là: “ Hướng dẫn học sinh lớp 12 sử

dụng phương pháp tọa độ trong mặt phẳng giải bài toán cực trị số phức”.

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Một số bài toán về cực trị số phức trong chương trình Giải tích lớp 12.Hướng dẫn học sinh lớp 12 thực hiện giải bài toán cực trị số phức bằngphương pháp tọa độ trong mặt phẳng

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

2

Trang 3

Lựa chọn các ví dụ, các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ những đặc trưng từ

đó hướng dẫn học sinh thực hiện phương pháp giải

Thực nghiệm sư phạm: Để thực hiện Sáng kiến kinh nghiệm này tôi đã sửdụng hai lớp 12 ở trường THPT Như Xuân Đây là hai lớp tương đương nhau vềhọc lực môn toán và tất cả học sinh đều có học lực khá, giỏi về môn toán Trong

đó, lớp 12B4 là lớp chưa áp dụng sáng kiến (lớp đối chứng), lớp 12B3 là lớp ápdụng sáng kiến (lớp thực nghiệm) Thời gian thực hiện sáng kiến kinh nghiệm từtháng 4/2020 đến tháng 5/2020

Sau đây là nội dung cụ thể của Sáng kiến kinh nghiệm này

3

Trang 4

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Biểu diễn hình học số phức: Điểm M a b trog hệ tọa độ vuông góc ; 

của mặt phẳng được gọi là điểm biểu diễn số phức z a bi  [3]

Chú ý: Cho z1 x1y i x y1  1, 1  có điểm biểu diễn P x y 1; 1

z2 x2  y i x y2  2, 2  có điểm biểu diễn Q x y 2; 2

Khi đó z1 z2 PQ

Các bài toán hình học phẳng quen thuộc:

Bài toán 1: Cho đường thẳng d cố định và điểm A cố định Điểm M di độngtrên đường thẳng d Hãy xác định vị trí điểm M sao cho đoạn AM nhỏ nhất

I M

Trang 5

Bài toán 3: Cho hai đường tròn  T có tâm 1 I , bán kính 1 R ,đường tròn 1  T có2tâm I , bán kính 2 R Hãy xác định vị trí M trên 2  T và N trên 1  T sao cho2đoạn MN lớn nhất, nhỏ nhất.

I1

B

I2 D N M

C A

I1

B

I2

N M

E F

B A

M

N

Trang 6

Bài toán 4: Cho đường tròn (T) cố định có tâm I, bán kính R và đường thẳng

d cố định Hãy xác định vị trí điểm M trên đường tròn (T) và điểm N trênđường thẳng d sao cho đoạn MN nhỏ nhất

Trang 7

Trong năm học 2019 – 2020, khi dạy cho học sinh lớp 12B4 nhưng chưa

áp dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã hướng dẫn học sinh phương pháp sửdụng kiến thức tọa độ phẳng để giải bài toán cực trị số phức Tuy nhiên, trongquá trình cho học sinh làm bài, tôi phát hiện ra học sinh thường vướng mắc một

số vấn đề sau:

- Nhận dạng bài toán sử dụng được phương pháp chưa nhanh nhạy

- Chưa nắm kỹ các điều kiện vận dụng phương pháp

- Chưa có thói quen tự nghiên cứu, kiểm tra lời giải

7

d E

A

B

M

d E

A

A'

B M

d E

A

B A'

M

d E

B A

M

Trang 8

- Chưa được làm nhiều dạng bài tập để rèn luyện kỹ năng.

Từ thực trạng trên, khi dạy cho học sinh lớp 12B3, tôi đã khắc phục bằng cách:

- Trang bị cho học sinh cơ sở lý thuyết đầy đủ và cụ thể thông qua cácđịnh lý và tính chất

- Trang bị cho học sinh nội dung phương pháp thông qua các ví dụ đượcchọn lọc cẩn thận, điển hình

- Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng thông qua hệ thống bài tập về nhà vàsau đó có kiểm tra, hướng dẫn, sửa chữa

Sau đây là các biện pháp tiến hành cụ thể

2.3 CÁC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HOẶC CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.3.1 NỘI DUNG HƯỚNG DẪN HỌC SINH

Để có thể hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa trong mặt phẳnggiải bài toán cực trị số phức bản thân tôi tiến hành phân loại các dạng bài tậpcực trị số phức có thể dùng phương pháp tọa độ, chỉ ra những đặc trưng của từngloại và hướng dẫn cụ thể cách dùng phương pháp tọa độ cho từng loại

Ví dụ 1 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1 z i Tìm số phức

Nhận xét: Bằng cách sử dụng kiến thức điểm biểu diễn hình học của số

phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của số phức thành bài toán

hình học quen thuộc (Bài toán 1).

H M

Trang 9

Ví dụ 2 Cho số phức z thỏa mãn z 1 2i 4 Gọi m và n lần lượt làgiá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z i 2 Tính giá trị của T m2 n2

phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của số phức

thành bài toán hình học quen thuộc (Bài toán 2).

Gọi z1 x1 y i x y1  1, 1  có điểm biểu diễn P x y 1; 1

Gọi z2 x2  y i x y2  2, 2  có điểm biểu diễn Q x y 2; 2

A

2

1 -2 -1

Trang 10

Ví dụ 4 Xét các số phức z a bi a b   ,   thỏa mãn điều kiện

phức và bài toán tâm tỉ cự ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị lớn nhất của số

phức thành bài toán hình học quen thuộc (Bài toán 2).

Ví dụ 5 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 i 1, số phức w thỏamãn điều kiện w 2 3  i 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của z  w

I A

B

3 2

-2 -1

C

F M

Trang 11

Ví dụ 6 Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1 3i5 2 và

phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị lớn nhất của số phức thành bài toán

11

x y

M N

Trang 12

Ví dụ 7 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   , số phức 5 5 w thỏa

mãn điều kiện w 1 3  i w 3 6  i Tìm giá trị nhỏ nhất của z  w .

A 10 B 3 10 C 5

54

Ví dụ 8 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2i  z i Tìm phần thựccủa số phức z biết z 1 2i  z4i đạt giá trị nhỏ nhất [4]

B

M

d x y

O I

M

N

Trang 13

x 

Ví dụ 9 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   1 i z 2 3 i Tìm giátrị nhỏ nhất của biểu thức P  z 2 i  z 3 2 i [4]

cùng một phía so với đường thẳng d

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua d ' 27 45;

17

min

P  AM BM A B 

Ví dụ 10 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 5 i   z 1 7i Tìmgiá trị lớn nhất của P z 4 i  z 2 4 i

1

E A'

O A

B

-2 -2

M

Trang 14

Ví dụ 11 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 z i Biết rằng sốphức z  x yi x y ,   thỏa mãn z 3 i  z 2 6 i đạt giá trị lớn nhất.Giá trị biểu thức P x y 

phía so với đường thẳng d

Gọi A' là điểm đối xứng với A qua d

6

2

M

Trang 15

Ví dụ 13 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z2  z 2i Giá trị nhỏnhất của biểu thức P  z 1 2i  z 3 4 i  z 5 6 i được viết dưới dạng

M

d1

d2

x y

F E

A2

A1

O

A M

N

Trang 16

Gọi A là điểm đối xứng với 1 A qua d ta có A C E thẳng hàng và E là trung 1; ;điểm AC 1  MA MB MC MA   1MB MC AC BE  1 

Ví dụ 14 Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 i 5và biểu thức

A

1 1 9

Trang 17

Nhận xét: Bằng cách sử dụng điểm biểu diễn hình học của số phức ta đã

chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của số phức thành bài toán hình học

z  CM CF  

Ví dụ 16 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 1 z 3 4 i 10 Giátrị nhỏ nhất của z  1+2i là:

O A

B I E

-3 -1 3 5

E

2

Trang 18

Tập hợp các điểm M là đường elíp có tiêu điểm A B; , trục lớn EF, trục nhỏ PQ

z CM CP CQ 

phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị hỏ nhất của số phức thành bài toán

Ví dụ 17 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện

m z CM CB

30

634

m n  

phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của sốphức thành bài toán hình học mà chúng ta có thể dễ dàng giải quyết dựa vàohình biểu diễn

Ví dụ 18 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 i z 1 i  13.Tìm giá trị nhỏ nhất m của z   2 i

18

x

y

H O

A

B C

2

3

5 -2

-1

M

Trang 19

mz  CM CB

phức ta đã chuyển được bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của sốphức thành bài toán hình học mà chúng ta có thể dễ dàng giải quyết dựa vàohình biểu diễn

Bài 4 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 3 1i  13 Gọi M m, là giá trị

lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P z 22  z 3i 2 Tính M m

A

B C

1 2 -1

1 -1 -2

M

Trang 20

Bài 7 Cho số phức z a bi a b   ,   thỏa mãn điều kiện z 3 3 i 6vàbiểu thức P2 z 6 3i 3 z 1 5i đạt giá trị nhỏ nhất Tính a b .

Để đánh giá hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm bản thân tôi tiến hànhthực nghiệm trên các lớp dạy học cụ thể Quá trình thực nghiệm được tiến hànhtại lớp 12B3 và lớp đối chứng 12B4 hai lớp có trình độ tương đương nhau ởtrường THPT Như Xuân

Đối với lớp đối chứng, giáo viên dạy như những giờ học bình thường.Việc dạy học thực nghiệm và đối chứng được tiến hành song song theo lịch trìnhgiảng dạy của nhà trường Việc thực nghiệm được thực hiện và sau đó tiến hànhkiểm tra đánh giá kết quả

Kết quả kiểm tra:

Qua quá trình dạy thực nghiêm tại lớp 12B3 tôi nhận thấy học sinh lớp12B3 có những hiệu quả tích cực đó là:

- Khả năng nhìn nhận bài toán dưới các góc độ khác nhau của học sinhlinh hoạt, nhạy bén hơn Học sinh có được sự linh hoạt trong tư duy, chủ độngtrong suy nghĩ tìm lời giải bài toán

- Học sinh đã nắm vững các bước và vận dụng thành thạo phương pháptọa độ vào giải bài toán cực trị số phức

- Học sinh đã mạnh dạn, chủ động nhận xét bài làm của bạn, tìm sai lầm

và sửa chữa để có lời giải đúng Từ đó đã hình thành cho học sinh thói quennghiên cứu lời giải, kiểm tra lại kết quả để phòng tránh, phát hiện và sửa chữasai lầm

Đối với bản thân, khi sử dụng Sáng kiến kinh nghiệm này tôi thấy hiệuquả tiết dạy tốt hơn, tạo sự tự tin và hứng thú khi giảng bài Giúp tôi truyền đạtmột cách cô đọng nhưng đầy đủ, chính xác và trọn vẹn nội dung cần giảng dạytrong khoảng thời gian ngắn

20

Trang 21

Ngoài ra, Sáng kiến kinh nghiệm này đã được tổ chuyên đánh giá tốt, thiếtthực và được đồng ý triển khai vận dụng cho những năm học tới trong toàntrường nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học toán trong Nhà trường nóiriêng và địa phương nói chung.

Đồng thời, Sáng kiến kinh nghiệm này còn là một tài liệu tham khảo hữuích cho giáo viên và học sinh 12 trong quá trình ôn thi, đặc biệt là ôn thi THPTQuốc Gia Nó đã hệ thống tương đối hoàn chỉnh nội dung phương pháp tọa độtrong giải bài toán cực trị số phức

Như vậy, Sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại hiệu quả tích cực vàthiết thực cho người học và người dạy Đáp ứng đúng con đường đổi mớiphương pháp dạy và học, nâng cao hiệu quả giáo dục trong giai đoạn hiện nay

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ3.1 KẾT LUẬN

Qua việc nghiên cứu, triển khai vận dụng Sáng kiến kinh nghiệm này, tôirút ra một số bài học kinh nghiệm sau:

- Trong giảng dạy cần phải thường xuyên tìm tòi, đúc rút kinh nghiệm đểđưa ra những giải pháp nâng cao hiệu quả dạy và học Đặc biệt là những vấn đềkhó, dễ nhầm lẫn đối với học sinh

- Nội dung giảng dạy của giáo viên cần được viết dưới dạng Sáng kiếnkinh nghiệm hoặc tập hợp thành tài liệu và cung cấp cho học sinh Qua đó, pháthuy được khả năng tự học của học sinh

- Những nội dung truyền tải cho học sinh, giáo viên cần phải nghiên cứu

kỹ lưỡng, tìm ra phương pháp giảng dạy hợp lý, đảm bảo xúc tích, ngắn gọnnhưng đầy đủ, chính xác

Những cách làm trên sẽ giúp tiết dạy đạt hiệu quả cao, người dạy vàngười học đều hứng thú, tiết kiệm thời gian và phát huy tính chủ động, sáng tạo,khả năng tự học của học sinh Đó chính là những điều tôi rút ra từ Sáng kiếnkinh nghiệm này

Sáng kiến kinh nghiệm này có thể sử dụng để ôn thi cho học sinh lớp 12,đặc biệt là với đối tượng học sinh ôn thi THPT Quốc Gia cho những năm họctiếp theo trong trường THPT Như Xuân nói riêng và các trường THPT nóichung

Có thể mở rộng, phát triển thêm nội dung của Sáng kiến kinh nghiệm này

để trở thành một tài liệu hoàn chỉnh về phương pháp tọa độ trong giải bài toáncực trị số phức

3.2 KIẾN NGHỊ

1 Đối với tổ chuyên môn và đồng nghiệp: Đề nghị Tổ chuyên môn Toán

nhanh chóng triển khai ứng dụng Sáng kiến kinh nghiệm này trong giảng dạy tạiNhà trường trong các năm học tới

2 Đối với Sở GD&ĐT: Đề nghị Sở GD&ĐT đóng góp ý kiến và tạo điều kiện để tôi tiếp tục phát triển Sáng kiến kinh nghiệm này cũng như tìm tòi nhữngSáng kiến mới

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 6 năm 2020

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,không sao chép nội dung của người khác

21

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	1,68 MB