Phát triển năng lực tư duy cho học sinh lớp 12 thông qua lớp các bài toán cực trị số phức bằng phương pháp hình học, nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy và đáp ứng yêu cầu đổi mới của kỳ thi THPT quốc gia

Lí do chọn đề tài Năm 2017, trong kỳ thi trung học phổ thông Quốc Gia, đề thi môn Toán đã thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan thì bài toán cực trị hình họ

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Năm 2017, trong kỳ thi trung học phổ thông Quốc Gia, đề thi môn Toán

đã thay đổi từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan thì bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng trên trường số phức đã được coi là bài toán không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc Gia, minh chứng điều đó chúng

ta đã thấy rất rõ trong các đề thi chính thức và thử nghiệm của Bộ Giáo dục & Đào tạo Sự đổi mới đã làm thay đổi toàn bộ cấu trúc của đề thi môn Toán, với thời lượng 90 phút cho 50 câu trắc nghiệm thì yêu cầu đặt ra với học sinh không còn đơn thuần là tư duy chặt chẽ, logic, cẩn thận mà quan trọng hơn cả

là sự linh hoạt, nhanh nhẹn, kĩ năng và thao tác tốc độ Để thành công trong việc giải quyết tốt một đề thi trắc nghiệm Toán thì ngoài việc học sâu cần phải học rộng, nhớ nhiều các dạng toán

Trong quá trình giảng dạy, ôn thi, làm đề kiểm tra, đề thi tôi phát hiện ra rất nhiều bài toán về số phức đều được xây dựng trên cơ sở một số bài toán cực trị hình học trong mặt phẳng, nếu học sinh tiếp cận theo hướng đại số thuần túy

về tính toán sẽ rất khó giải quyết được vấn đề trong thời gian ngắn

Chính vì những lý do trên tôi đã tổng hợp các kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy của mình, sưu tầm các dạng bài toán điển hình hay gặp trong

các đề thi để viết thành tài liệu “PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH LỚP 12 THÔNG QUA LỚP CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC, NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG GIẢNG DẠY VÀ ĐÁP ỨNG YÊU CẦU ĐỔI MỚI CỦA KỲ THI THPT QUỐC GIA (NAY LÀ KỲ THI TỐT NGHIỆP THPT)”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh có một tài liệu học tập khoa học, thêm kiến thức giải quyết tốt các bài toán về cực trị hình học trong mặt phẳng trên trường số phức

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài chủ yếu tập trung vào mối quan hệ giữa

số phức với hình học tọa độ trong mặt phẳng, qua đó chọn lọc một số bài toán cực trị đặc trưng trong hình học rồi chuyển hóa nó thành các bài toán cực trị trong tập số phức

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Đề tài sử dụng chủ yếu các phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết

- Phương pháp thu thập thông tin, xử lý số liệu (từ các nguồn tài liệu ôn thi, các đề thi thử nghiệm, các đề thi thử của các trường THPT, các báo cáo, luận văn của sinh viên, thạc sĩ, bài giảng của một số giảng viên toán,…)

- Phương pháp thử nghiệm thực tiễn

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

2.1.1 Môđun của số phức.

- Môđun của số phức z a bi a b R   ,  được kí hiệu là z và

z  a b

- Một số tính chất của môđun số phức:

+ Với mọi số phức z z; ', ta có: z z ' z z'; z' z'z 0

+ Với mọi số phức z z; ', ta có: z z '  z z' ; z z ' z  z'

2.1.2 Biểu diễn hình học của số phức

- Mặt phẳng phức có Ox là trục thực và Oy là trục ảo

- Mỗi số phức z x yi x y R ,   được biểu diễn là điểm M x y;  Khi đó:

+ Môđun của số phức z bằng OM  x2y2

+ Hai điểm biểu diễn số phức z và z đối xứng nhau qua trục thực

- Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z1  x yi; N là điểm biểu diễn của số phức z2  x' y i' Khi đó:

+MN x x y'  ; '  y



; + MN  x x'  2 y'  y2



+Trung điểm I của đoạn thẳng MN có tọa độ là '; '

x x y y 

- Nếu tập hợp điểm biểu diễn số phức z là đường thẳng sẽ có dạng:

z z  z z

- Nếu số phức z thỏa mãn: z z 0 R thì tập hợp các điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn tâm I biểu diễn số phức z0, bán kính R

- Nếu giả thiết có z c  z c  2a; a, c là hằng số cho trước thì tập hợp điểm biểu diễn số phức là một elip có độ dài trục lớn bằng 2a

- Nếu bài toán không có các dạng trên có thể sử dụng các tính chất môđun số phức đưa về các dạng quen thuộc trên

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong những năm học trước, trong quá trình dạy học sinh lớp 12 ôn thi THPTQG tôi đã dùng phương pháp khảo sát thực tế từ học sinh và quá trình dạy học của bản thân và đồng nghiệp về nội dung số phức ở mức độ vận dụng thấp, vận dụng cao, bản thân tôi thấy học sinh gặp những trở ngại sau:

- Học sinh biến đổi theo phương pháp giải tích dài, mất nhiều thời gian

- Có nhiều bài toán tìm GTLN, GTNN sử dụng bất đẳng thức làm học sinh cảm thấy khó khăn từ đó dẫn đến học sinh ngại làm các bài tập đó

- Có những bài toán học sinh không biết bắt đầu từ đâu, chỉ biến đổi mày

mò, không có hướng cụ thể

- Học sinh chưa có phương pháp cụ thể cho những bài toán số phức làm theo phương pháp hình học

Từ những vấn đề trên, khi áp dụng vào quá trình dạy học năm học 2019 – 2020, tôi đã có một số biện pháp khắc phục như sau:

- Ôn tập, rèn luyện các kĩ năng về các bài toán vectơ, bài toán hình học phẳng thành thục

- Xây dựng hệ thống bài toán gốc để áp dụng vào giải các bài toán số phức

- Hướng dẫn nhận dạng các bài toán có thể sử dụng phương pháp hình học

- Phân chia các dạng toán và xây dựng các bước thực hiện giải quyết bài toán

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Các bài toán cực trị liên quan đến đường thẳng, đoạn thẳng

Bài toán 1 Cho đường thẳng d và điểm M nằm ngoài d Tìm N thuộc d sao

cho khoảng cách MN là ngắn nhất

Hướng dẫn

Gọi N là hình chiếu của điểm M trên d

Gọi N1 là điểm bất kì thuộc d

Xét tam giác vuông MNN1, ta có:

1

Vậy MN ngắn nhất khi N là hình chiếu của

M trên d hay MNmin d M d ; .

b Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên.

Bước 1: Nhận dạng các giả thiết đã cho để chuyển sang các đối tượng hình học.

Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là một đường thẳng

Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun z z 0 với z0 là một số phức đã biết

Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán

Gọi điểm biểu diễn của số phức z z, 0 lần lượt là N M1 , Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z là  d Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra

được một điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đường thẳng Điều kiện kiểu này khá đa dạng, mà hay gặp có thể kể đến:

+ Cho số phức z x yi x y R( ,  ) sao cho ax by c   0 ( , ,a b c R ) + Cho số phức z thỏa mãn z z 1  z z2 với z z1 , 2 là hai số phức đã biết

c Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm trên đường thằng

 d : 3x 3y  1 0 Giá trị nhỏ nhất của z là:

A 1

3 B 3

2 C 4

5 D 2

5

Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z

1

; 3

Ví dụ 2: Cho các số phức z w, thỏa mãn z  1 2i   z 3 4 i Giá trị nhỏ nhất của z là:

A 5 13.

Gợi ý: Đặt z x yi x R,  và M M z( ) M x y( ; )

Ta có z  1 2i   z 3 4i  (x 1)2 (y 2)2  (x 3)2 (y 4)2

HayM   : 2x 3y  5 0

Khoảng cách từ O đến là ( , ) 2 5 2 5 5 1313

13

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa điều kiện z 2 5  i   z 1 4i Giá trị nhỏ nhất của z  1 i bằng:

A 4 .

21 B 16 .

82 C 7 .

14

Gợi ý: Đặt z x yi x R,  và M M z( ) M x y( ; )

Ta có z 2 5  i   z 1 4i  (x 2)2 (y 5)2  (x 1)2 (y 4)2

Hay  :x 9y 6 0  Vậy 1 ( , ) 2 16 2 1682

 

Với M(-1;1) Đáp án B.

Ví dụ 4: Cho các số phức z thỏa mãn z  1 3i  z 4i Giá trị nhỏ nhất của

5

z   i là:

A 4 10.

5 B 3. C 3 10.

5 D 2 10.







Bài toán trở thành: Cho các số phức z thỏa mãn z  1 3i  z 4i Tìm giá trị nhỏ nhất của z  5 i Như vậy bài toán đã trở về dạng giống ví dụ 2

Bài toán 2 Cho đường thẳng d và 2 điểm A, B Tìm M thuộc d sao cho

MA + MB nhỏ nhất trong các trường hợp sau:

TH1: A, B khác phiá so với d TH2: A, B cùng phía so với đường thẳng d

a Hướng dẫn

TH1: Lấy M’ bất kì thuộc d Ta có:

M A M B AB 

Dấu “=” xảy ra khi A, M’, B thẳng hàng

Vậy MA + MB nhỏ nhất khi M là giao

điểm của AB và d

TH2: Lấy A’ đối xứng với A qua d

Lấy M’ thuộc d, khi đó:

M A M B M A M B A B   

Dấu “=” xảy ra khi M’ là giao điểm của

A’B và đường thẳng d

Vậy MA + MB nhỏ nhất khi M là giao

điểm của AB và d

b Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên.

Bước 1: Nhận dạng các giả thiết đã cho để chuyển sang các đối tượng hình học.

Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là một đường thẳng

Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun z z 1  z z 2 với z z1 , 2 là một số phức đã biết

Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán

Gọi điểm biểu diễn của số phức z z z, , 1 2 lần lượt là M A B, , Gọi đường thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z là  d Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là phát hiện

nhanh yếu tố hình học ở giả thiết và kết luận, vẽ các yếu tố hình học lên hệ trục tọa độ để xác định nhanh vị trí của A B, với đường thẳng  d

c Ví dụ minh họa:

Ví dụ 5 Cho số phức z và w thỏa mãn: z  2 2i  z 4i ; w  iz 1 Giá trị nhỏ nhất của w là:

A 2.

2 B 3 2.

2 C.2 D.2 2.

Hướng dẫn

w - 1

i

Gọi M là điểm biểu diễn số phức w

 M nằm trên đường trung trực của AB với A 1; 2 ;   B 3;0 

Phương trình đường trung trực của AB là: x y   1 0

w nhỏ nhất khi OM ngắn nhất

OM ngắn nhất khi  ;  2

2

Đáp án A.

Ví dụ 6 Cho số phức z thỏa mãn: z   z 1 2i

Giá trị nhỏ nhất của P1 2  i z  11 2  i là:

A 5.

2 B 5.

2 C.25. D.52.

Hướng dẫn

1 2

i

1 2

i

Gọi M là điểm biểu diễn w, ta thấy tập hợp điểm M nằm trên đường trung trực

d của AB trong đó A11;2 ; B8;6

 3;4 d  3;4

, trung điểm 19;4

2

I 

Phương trình đường thẳng d là : 3 19 4 4 0 3 4 25 0

1 2  11 2

P  i z  i đạt GTNN khi OM ngắn nhất, khi đó :

 ;  25 22 2 5

2

 Đáp án D.

Ví dụ 7 (Đề thi thử THPTQG - Trường THPT Lê Quý Đôn Hà Nội – 2018)

Trong tập số phức cho số phức z thỏa mãn: z 2i  z 2

GTNN của biểu thức P z 2i  z 5 9  i là:

A 10.

Hướng dẫn

Gọi M, A, B lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức z; z 2 ; i z  2

0;2 ;  2;0

Theo giả thiết ta có MA = MB, nên

M thuộc đường trung trực của AB

Phương trình đường thẳng d là

đường trung trực của AB là:

1 x 1 1  y 1   0 x y  0

Gọi điểm C, D là các điểm biểu diễn

các số phức z 2 ; i z  5 9i

 C0; 2 ;   D5; 9  

Khi đó P MC MD  Nhận thấy C, D cùng phía so với d nên theo bài toán 2

P đạt giá trị nhỏ nhất bằng C’D ( C’ đối xứng với C qua d)

Xác định C’ đối xứng với C qua d, ta có C’ (2; 0)

Vậy Pmin C D'  5 2  2  92  3 10 Đáp án C.

Bài toán 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm I và đoạn thẳng AB Điểm M chạy trên đoạn thẳng AB sao cho độ dài đoạn IMnhỏ nhất Khi đó hãy tìm vị trí điểm M và tính độ dài IM

a Hướng dẫn:

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng  AB Ta xét hai trường hợp:

 Trường hợp 1: Điểm H nằm trong đoạn AB

I

Dễ dàng thấy IMmin IHvà IMmax  max IA IB; 

 Trường hợp 2: Điểm H nằm ngoài đoạn AB

I

H B

Dễ dàng thấy IMmin  min IA IB;  và IMmax  max IA IB; 

b Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên.

Bước 1: Chuyển các dữ kiện bài toán sang các khái niệm hình học.

Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là một đoạn thẳng

Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của môđun z z 0 với z0 là một số phức

đã biết

Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán.

Gọi điểm biểu diễn của số phức z z, 0 lần lượt là M I, Gọi đoạn thẳng biểu diễn quỹ tích số phức z là AB Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra

được một điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đoạn thẳng Điều kiện kiểu này chủ yếu dựa vào tính chất: Điểm M thuộc đoạn thẳng AB khi và chỉ khi MA MB AB Tính chất này viết theo ngôn ngữ số phức sẽ có một số dạng sau:

+ Cho số phức z thỏa mãn z z 1  z z 2 a với z z1 , 2 là hai số phức đã biết và z1  z2 a Đây chính là dạng suy biến của Elip như đã trình bày ở phần cơ sở lý thuyết

+ Cho số phức z thỏa mãn z z 1  z z 2 nhỏ nhất với z z1 , 2 là hai số phức đã biết

Hoặc có thể tạo ra quỹ tích điểm biểu diễn z là phần đường thẳng bị giới hạn ở miền trong đường tròn, elip

+ Cho số phức bị ràng buộc bởi điều kiện để quỹ tích của nó là một đường thẳng, điều kiện còn lại là z z 0 r hoặc z z 1  z z 2  2a

c Ví dụ minh họa:

Ví dụ 8: Xét số phức z thỏa mãn z  5 2i  z 2 4  i  53 Gọi m,M lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z  1 2i Giá trị của biểu thức

P m M  là:

A P  13  73 B 5 2 2 73

2

C P 5 2 2 73  D 40 52

53

Gợi ý: Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, gọi A 5;2 , B2;4 Từ giả thiết z  5 2i  z 2 4  i  53  MA MB AB  Quỹ tích điểm M

chính là đoạn thẳng AB Gọi I1; 2   thì z  1 2i IM Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu của I lên đường thẳng  AB nằm trong đoạn AB

Lại có: 52, 37, ( ; ) 40

53

52 53

P

   Đáp án D.

Ví dụ 9: Xét số phức z thỏa mãn z  2 i  z  1 i nhỏ nhất Gọi t T, lần lượt

là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của z 6i Giá trị của P T

t

A P 2 3 B 50

29

P  C P  5 D P 5 2

Hướng dẫn

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, gọi A 2;1 , B1; 1  

Ta có: z  2 i  z   1 i MA MB AB  , nghĩa là z  2 i  z  1 i nhỏ nhất thì quỹ tích điểm M chính là đoạn thẳng AB Gọi I0;6 thì z 6i IM Vẽ hình trực quan dễ kiểm tra hình chiếu của I lên đường thẳng  AB nằm ngoài đoạn AB Lại có:IA 29,IB  50 50

29

P

Đáp án B.

Ví dụ 10: Xét số phức z thỏa mãn 2 8 8

5

z







Giá trị nhỏ nhất của z 4i là:

A 4 B 3 C 6 5

5 D 2 5

Hướng dẫn

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, vì z 2  z 8 8  i nên M thuộc đường thẳng  d : 2x y 10 0  , mà z 5 nên M thuộc miền trong đường tròn

 C x: 2y2  25 Lại có  d cắt  C tại hai điểm phân biệt A(3;4), (5;0)B nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB Gọi I0;4 thì z 4i IM , vẽ hình trực quan thấy hình chiếu vuông góc của điểm I lên đường thẳng  d nằm ngoài đoạn AB mà IA 41,IB 3 nên z 4imin  3 Đáp án B.

2.3.2 Các bài toán cực trị liên quan đến đường tròn.

Bài toán 4 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn  C có tâm A Tìm trên

 C vị trí điểm M, N sao cho OM ngắn nhất và ON dài nhất

Hướng dẫn

Lấy điểm M bất kỳ thuộc đường

tròn, ta thấy:

Vậy OMmin OA R

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm

của đường thẳng OA và đường tròn,

M nằm giữa đoạn OA

OM MA OA   OM OA R

Vậy OMmax OA R

Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của đường thẳng OA và đường tròn, M nằm ngoài đoạn OA.

Bài toán 5 Cho đường tròn  C có tâm A và đường thẳng 

a.Tìm trên  C vị trí điểm M sao cho khoảng cách từ M đến  ngắn nhất

b Tìm trên C vị trí điểm N sao cho khoảng cách từ N đến  dài nhất

Hướng dẫn

a - Nếu d I ;   R thì d M  ,  ngắn nhất bằng 0 tức là M là giao điểm giữa đường thẳng và đường tròn

- Nếu d I ;   R, gọi N’ là điểm bất kỳ trên (C), K là hình chiếu của điểm A trên d khi đó ta luôn có:

N A N K AK  N K AK AN AK R

Dấu “=” xảy ra khi A, N’, K thẳng hàng và N’ nằm giữa AK

Vậy vị trí điểm M là giao điểm giữa đường thẳng AK và đường tròn (C ),

M nằm giữa AK

b Xét tam giác N’AK ta có: N K AN'  AK  N K' ANAK

Dấu “=” xảy ra khi A, N’, K thẳng hàng và N’ nằm ngoài AK

Vậy vị trí điểm N là giao điểm giữa đường thẳng AK và đường tròn (C ),

N ngoài AK

b Cách tạo và giải một số bài toán cực trị trên tập số phức từ bài toán trên.

Bước 1 Chuyển các dữ kiện bài toán sang các khái niệm hình học.

Tạo một điều kiện ràng buộc số phức z sao cho quỹ tích nó là một đường tròn

Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của môđun z z 0 với z0 là một số phức đã biết

Bước 3: Tìm mối quan hệ hình học giữa giả thiết và yêu cầu bài toán

Gọi điểm biểu diễn của số phức z z, 0 lần lượt là M A, Gọi đường tròn biểu diễn quỹ tích số phức z là  C Khi đó bài toán số phức trở về bài toán hình học nêu ở trên

- Nhận xét: Điểm mấu chốt để tạo ra một bài tập loại này là ta tạo ra

được một điều kiện ràng buộc số phức z để quỹ tích biểu diễn nó là đường tròn Điều kiện kiểu này khá đa dạng, mà hay gặp có thể kể đến:

+ Cho số phức z thỏa mãn z z 0 R với z0 là hai số phức đã biết + Cho số phức z thỏa mãn z z 1 k z z 2 với z z1 , 2 là hai số phức đã biết và k 0

c Ví dụ minh họa:

Ví dụ 11: (Toán học tuổi trẻ số 491- năm 2018) Cho số phức z thỏa mãn:

z  i  Khi đó w   z 1 i có môđun lớn nhất là:

A.20 B.2 5 C 5 D.5 2

Hướng dẫn