nguyên hàm từ 5 đến 10 điểm

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM g Tích của đa thức hoặc lũy thừa ��PP � khai triễn... Một số nguyên tắc tính cơ bảng Tích của đ

Trang 1

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021

TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH – MỨC 5-6 ĐIỂM

g Tích của đa thức hoặc lũy thừa ��PP � khai triễn.

g Tích các hàm mũ ��PP � khai triển theo công thức mũ.

g Bậc chẵn của sin và cosin � Hạ bậc:

g Chứa tích các căn thức của x ��PP � chuyển về lũy thừa.

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên khoảng

Trang 2

A 2x C . B

31

Câu 13 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f x  cosx6x là

A sinx3x2 C B sinx3x2 C C sinx6x2  C D sin x C .

Câu 14 (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x   2sinx

Trang 3

Trang 4

x C

1e2

Trang 5

A - 3cos3x C + . B 3cos3x C + . C

1cos3

Câu 34 (Chuyên KHTN 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x  3x2sinx là

A x3cosx C . B 6xcosx C C x3cosx C . D 6xcosx C

Câu 35 (Chuyên Bắc Ninh -2019) Công thức nào sau đây là sai?

2d

x x x C

� . B e e 1

1

de

x 

D

2

cos x+C2

x 

Câu 41 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) cos x là:

A cos x C B cos x C  C sin x C  D sin x C

Câu 42 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Họ các nguyên hàm của hàm số f x  x4x2 là

Trang 6

A e x  x2 C B e x  x2 C C

21



Câu 51 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Tính

2( )

F x �e dx , trong đó e là hằng số và

2, 718

Trang 7

A

2 2( )

;2

C

Câu 54 (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x   1 sinx

A 1 cos x C  . B 1 cos x C  . C xcosx C . D xcosx C .

Câu 55 (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Nguyên hàm của hàm số f (x)

23

212

3 4

;3

Trang 8

Câu 59 (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hàm số f x  2x x 1 Tìm �f x  d x.

x



20202020

x

202012020

x



Câu 65 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số

Câu 66 (Quảng Ninh 2019) Tìm nguyên hàm của hàm số   5

20182017

Trang 9

Câu 67 (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số 2

2cos

Trang 10

Một số nguyên tắc tính cơ bản

g Bậc chẵn của sin và cosin � Hạ bậc:

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Hàm số ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên khoảng

K nếu

A '( )F x  f x( ), �x K. B '( )f x F x( ), �x K

C '( )F x  f x( ), �x K. D '( )f x  F x( ), �x K

Lời giải Chọn C

Theo định nghĩa thì hàm số ( )F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x trên khoảng K nếu

4x C

Lời giải Chọn D

Ta có

4

3d4

5x C

B 4x3C C x5C D 5x5C

Lời giải Chọn A

Trang 11

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B

5x C

Lời giải Chọn B

6x C

D 30x4 C

Trang 12

Ta có �f x dx  � 2x4dx x 2 4x C .

Câu 12 (Mã 102 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x  2x6 là

A x2  C B x2  6x C C 2x2 C D 2x26x C

2x6dx x 26x C

�

Câu 13 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f x  cosx6x là

A sinx3x2 C B sinx3x2 C C sinx6x2  C D sin x C .

Câu 15 (Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số f x   x3 x là

Trang 13

1 2

1

21

Ta có

3 2

2

d3

Câu 22 (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x   e x x là

Trang 14

A e x 1 C B e x x2 C C

2

12

Câu 23 (Mã 101 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x( ) 2 x5 là

A x2C. B x2 5x C. C 2x2 5x C. D 2x2C.

Trang 15

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 28 (THPT Ba Đình -2019) Họ nguyên hàm của hàm số f(x)e3xlà hàm số nào sau đây?

x C

1e2

1cos3

Trang 16

A x3cosx C . B 6xcosx C C x3cosx C . D 6xcosx C

2d

x x x C

� . B e e 1

1

de

Trang 17

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải

x 

D

2

cos x+C2

x 

Theo bảng nguyên hàm cơ bản

Câu 41 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) cos x là:

A cos x C B cos x C  C sin x C  D sin x C

Lời giải

Ta có:

Trang 18

Câu 48 (THPT Yên Phong 1 Bắc Ninh 2019) Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x  2x.

Trang 19

Ta có:  e x �e x� y e là một nguyên hàm của hàm số x y e x

Câu 51 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Tính

2( )

;2

Câu 54 (Chuyên Sơn La 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x   1 sinx

A 1 cos x C  . B 1 cos x C  . C xcosx C . D xcosx C .

23

212

3 4

Trang 20

;3

Trang 21

x



20202020

x

202012020

x



Lời giải

Trang 23

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 69 (Sở Bắc Ninh 2019) họ nguyên hàm của hàm số   1

g Bậc chẵn của sin và cosin � Hạ bậc:

Trang 24

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số f x( ) xác định trên

1

\2

Trang 25

2e

B 2e100 C

150

2e

D

1100

2e

Câu 10 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Hàm số f x 

có đạo hàm liên tục trên � và:

A F x   cosxsinx3 B F x   cosxsinx1

C F x   cosxsinx1 D F x  cosxsinx3

Trang 26

Câu 18 (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi F x 

là một nguyên hàm của hàm số f x  2x, thỏa mãn

dt u x dx

� Khi đó: I �g t dt G t     C G u x   C

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t u x  

1 Đổi biến số với một số hàm thường gặp

b

PP a

b

PP a

�g

Trang 27

x

x t

2 Đổi biến số với hàm ẩn

g Nhận dạng tương đối: Đề cho ( ), f x yêu cầu tính ( ) f � hoặc đề cho ( ), x f � yêu cầu tính ( ) x f x

g Phương pháp: Đặt t  �( x).

g Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc vào biến số,

mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là

Trang 28

e

C x

x

e

C x

Trang 29

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 28 (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Biết rằng F x 

là một nguyên hàm trên � của hàm số

 

 2 2018

20171

m 

2017 2018

1 22

2017 2018

1 22

12

m

x

1d

Trang 30

Câu 35 (HSG Bắc Ninh 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x   2x1 là

x

x x





�

, bằng cách đặt1

u x ta được nguyên hàm nào?

3

C �f x x( )d 3ln 1 3cos x C . D �f x x( )d  13ln 1 3cos x C .

Trang 31

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 42 (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm các hàm số ( )f x biết

'

2

cos( )

F� �� �F

A 3ln 2 2 . B ln 2 2 C ln 2 1 D 2 ln 2 1

Trang 32

Câu 48 (Chuyên Nguyễn Huệ-HN 2019) Gọi F x 

P x

Q x

g Nếu bậc của tử số ( ) P x � bậc của mẫu số ( ) Q x ��PP � Chia đa thức.

g Nếu bậc của tử số ( ) P x < bậc của mẫu số ( ) Q x ��PP � phân tích mẫu ( ) Q x thành tích số, rồi sử dụng

phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.

g Nếu mẫu không phân tích được thành tích số ��PP � thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng

cách đặt X =atan ,t nếu mẫu đưa được về dạng X2+a2

Câu 51 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

2( )

Trang 33

Trang 34

C

23ln( 1)

20192020



1

5 ln 22



1

6 ln 22

Trang 35

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 66 (Chuyên Nguyễn Quang Diêu - Dồng Tháp - 2018) Cho hàm số f x 

Dạng 4 Nguyên hàm từng phần

Cho hai hàm số u và v liên tục trên  a b;

và có đạo hàm liên tục trên  a b;

bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:

Bước 1: Chọn , u v sao cho f x dx udv   (chú ý: dv v x dx '  ).

Tính v�dv và du u dx ' .

Bước 2: Thay vào công thức   và tính �vdu

.Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân

Trang 36

Với dạng này, ta đặt

sincos

x

x u

x

x u

22

x

C x

2

11

x

C x

x

C x

44

x

C x

2 2

C x

2 2

Câu 72 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f x 

liên tục trên � Biết cos 2x là một nguyên hàmcủa hàm số f x ex

, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x� ex

là:

A sin 2xcos 2x C B 2sin 2xcos 2x C .

C 2sin 2xcos 2x C . D 2sin 2xcos 2x C .

Câu 73 (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x  4 1 lnx  x là:

A 2 lnx2 x3x2. B 2 lnx2 x x 2

C 2 lnx2 x3x2 C D 2 lnx2 x x  2 C

Câu 74 Họ các nguyên hàm của hàm số f x  xsinx là

A F x  xcosxsinx C B F x  xcosxsinx C

  cos sin

F x  x x x C F x   xcosxsinx C

Trang 37

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 75 (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x( )x e. 2x là :

Trang 38

Câu 83 (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tất cả các nguyên hàm của hàm số   sin2

A xcotxln sin xC. B xcotxln sinx C .

C xcotxln sinx C D xcotxln sin x C.

Câu 84 (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y3x x cosx là

x

x  x C

B 1 5  

1 e5

Trang 39

Trang 40

Câu 96 (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số y f x  thỏa mãn f x'   x 1 e , 0 x f   0 và

ab

14

ab

18

ab 

14

số f x  lnx1 Cho biết g 2 1 và g 3 a bln trong đó a b, là các số nguyên dương

phân biệt Hãy tính giá trị của T 3a2b2

ab

14

ab

18

ab 

14

Trang 41

g Bậc chẵn của sin và cosin � Hạ bậc:

Câu 1 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hàm số f x( ) xác định trên

1

\2

Trang 42

� dx C x C x

bằng

A 2 ln 2. B ln 2 C 2 ln  2 D ln 2

Lờigiải Cách 1:



trên �;0

thỏa mãn F  2 0 Khẳng định nào sau đây đúng?

Trang 43

Trang 44

Câu 8 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Biết F x 

2e

B 2e100 C

150

2e

D

1100

2e

Ta có

d2

Câu 10 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Hàm số f x 

có đạo hàm liên tục trên � và:

Trang 45

A F x   cosxsinx3 B F x   cosxsinx1

C F x   cosxsinx1 D F x  cosxsinx3

Có F x  �f x x d � sinxcosx xd  cosxsinx C

Trang 46

Ta có f x  �3 5sinx dx3x5cosx C

Theo giả thiết f 0 10

nên  5 C 10�C5.Vậy f x  3x5cosx5

Câu 15 (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hàm số f x 

Trang 47

Vậy F 0 F  F    F10 tan 0 1 tan  tan 2  1 tan10  9 44

Câu 18 (Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc - 2020) Gọi F x 

là một nguyên hàm của hàm số f x  2x, thỏa mãn

Ta có:   2 d 2

ln 2

x x

dt u x dx

�

Khi đó: I �g t dt G t     C G u x   C

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t u x  

1 Đổi biến số với một số hàm thường gặp

b

PP a

Trang 48

(sin ) cos d sin

b

PP a

�g

x

x t

2 Đổi biến số với hàm ẩn

g Nhận dạng tương đối: Đề cho ( ), f x yêu cầu tính ( ) f � hoặc đề cho ( ), x f � yêu cầu tính ( ) x f x

g Phương pháp: Đặt t  �( x).

g Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc vào biến số,

mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là

Ta có:

  x 2 2

F x  e x là một nguyên hàm của hàm số f x 

trên �Suy ra:

Trang 49

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 21 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Biết F x   e x x2 là một nguyên hàm của hàm số f x 

x

Ta có �f  2 dx x 12�f    2 d 2x x 1  2

22

Trang 50

Từ giả thiết bài toán

x

e

C x

x

e

C x

� �esin 2x dsin2x e sin x2 C

Câu 25. Tìm tất cả các họ nguyên hàm của hàm số   9 5

13x

Trang 51

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn A

x x x

Câu 28 (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Biết rằng F x 

là một nguyên hàm trên � của hàm số

 

 2 2018

20171

m 

2017 2018

1 22

2017 2018

1 22

12

m

Lời giải

Trang 52

Ta có

 

 2 2018

20171

Trang 53

x

1d

Trang 54

Do

1 1

2

1 1 2

Ta có F x  �f x x d �2 x ln 2x dx 2 x ln 2dx

x

.Đặt

x

x x





�

, bằng cách đặt1

u x ta được nguyên hàm nào?

A �2u24 d u. B � u24 d u. C � u23 d u. D �2u u 24 d u.

Lời giải

Trang 55

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn A

Đặt u x1 �x u 21�dx2 du u.

Khi đó

3dx1

x x

1d

Trang 57

Trang 58

t C

4

x C

F� �� �F

A 3ln 2 2 . B ln 2 2 C ln 2 1 D 2 ln 2 1

Ta có:

1d

Trang 59

Xét trên khoảng

3

;2

� ��

� �, ta có:

Trang 60

P x

Q x

g Nếu bậc của tử số ( ) P x � bậc của mẫu số ( ) Q x ��PP � Chia đa thức.

g Nếu bậc của tử số ( ) P x < bậc của mẫu số ( ) Q x ��PP � phân tích mẫu ( ) Q x thành tích số, rồi sử dụng

phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.

g Nếu mẫu không phân tích được thành tích số ��PP � thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng

cách đặt X =atan ,t nếu mẫu đưa được về dạng X2+a2

Câu 51 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số

2( )

Trên khoảng 1;� thì x 1 0nên

Trang 61

Trang 62

10

Trang 63

, các điểm x=1,

12

x=

đều thuộc (0;+�)nên

12

a b

C a

a b C

Trang 64

C

23ln( 1)

20192020

Trang 65

.Trở lại biến x, ta có

Câu 63 (Nam Trực - Nam Định - 2018) Cho 3 2

11

Trang 66

2 2 2

a b c



Câu 64 (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho hàm số f x 

xác định trên R\1;1 thỏa mãn

  2

1'



1

5 ln 22



1

6 ln 22



Ta có   2

1'

x x

Trang 67

3

1

1 ln 23

11

x

x x

Trang 68

Cho hai hàm số u và v liên tục trên  a b;

và có đạo hàm liên tục trên  a b;

bằng phương pháp từng phần ta làm như sau:

Bước 1: Chọn , u v sao cho f x dx udv   (chú ý: dv v x dx '  ).

Tính v�dv và du u dx ' .

Bước 2: Thay vào công thức   và tính �vdu

.Cần phải lựa chọn u và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân

x

x u

x

x u

22

x

C x

Trang 69

2

3

11

x

C x

x

C x

44

x

C x

2 2

C x

2 2

Trang 70

C x



Câu 72 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f x 

liên tục trên � Biết cos 2x là một nguyên hàmcủa hàm số f x ex

, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x� ex

là:

A sin 2xcos 2x C B 2sin 2xcos 2x C .

C 2sin 2xcos 2x C . D 2sin 2xcos 2x C .

Do cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f x ex

nên  ex cos 2   ex 2sin 2

Trang 71

Câu 74. Họ các nguyên hàm của hàm số f x  xsinx là

A F x  xcosxsinx C B F x  xcosxsinx C

C F x   xcosxsinx C D F x   xcosxsinx C

Suy ra �xsin dxx  xcosx�cos dxx  xcosxsinx C .

Câu 75 (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x( )x e. 2x là :

Trang 73

Ta đặt:

x x

2

dx du

Trang 74

A xcotxln sin xC. B xcotxln sinx C .

C xcotxln sinx C D xcotxln sin x C.

    Với x�0;�sinx0�ln s inx ln sin x.

Vậy F x   xcotxln sin xC.

Câu 84 (Sở Phú Thọ 2019) Họ nguyên hàm của hàm số y3x x cosx

x

x  x C

B 1 5  

1 e5

x

x  x C

Trang 75

C

5

1

e5

Trang 76

A �xd  x x

xe x e xe C

2d2

2

11

Trang 77

d1

1d

1

l2

x x

Ta có:

 

2

1d2

f x x

Trang 78

Theo đề bài ta có �f x e  d2x x x 1e xC, suy ra f x e  2x ��x1e x��  e x x 1  e x

Trang 79

Trang 80

14

ab

18

ab 

14

a

�

,

14

b.Vậy

18

ab

Câu 99 (Chuyên Đh Vinh - 2018) Giả sử F x 

Trang 81

ab

14

ab

18

ab 

14

a

�

,

14

b.Vậy

18

ab

TÀI LIỆU DÀNH CHO HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM

Dạng 1 Nguyên hàm của hàm ẩn hoặc liên quan đến phương trình f(x),f’(x),f’’(x)

Dạng 1 Bài toán tích phân liên quan đến đẳng thúrc u x f x( ) ( )� u x f x'( ) ( )h x( )

Tiêu đề	nguyên hàm
Trường học	trường trung học phổ thông
Chuyên ngành	toán học
Thể loại	tài liệu ôn thi
Năm xuất bản	2021
Thành phố	hà nội

Định dạng
Số trang	116
Dung lượng	6,01 MB