Nguyên hàm và phương pháp tìm nguyên hàm - Trần Văn Tài

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.. Câu 1.[r]

Khái niệm nguyên hàm và tính chất

1 Khái niệm nguyên hàm

Tìm nguyên hàm c a các hàm s gi ử i iệ h

P ươ p áp: Dựa vào bảng nguyên hàm của các hàm số và vận dụng các tính chất

nguyên hàm

Bài 1

o) f x( ) 2 sin 3 cos2 x x ĐS: 1

5

………

p) f x( ) e e x.( x 1) ĐS: 1 2 ( ) 2 x x F x e e C ………

q) ( ) 2 2 cos x x e f x e x ĐS: ( ) 2 tan . x F x e x C ………

r) I ( x 3x dx) ĐS: 2 3 3 2 I x C ………

s) 2 3 2 1 2 I x dx x ĐS: 3 3 2 3 3 I x x C ………

t) 1 33 55 2 I dx x x x ĐS: 3 2 5 4 9 25 ( ) 2 4 F x x x x C ………

u) I 4 sin2x dx ĐS: I 2x sin2x C ………

v) 1 cos 4 2 x I dx ĐS: sin 4 2 8 x x I C ………

w) I (3 cosx 3 )x 1 dx ĐS: 1 3 3 sin ln 3 x I x C ………

x) I (tanx 2 cot ) x dx2 ĐS: I tanx 4 cotx 9x C ………

y) I 3u u.( 4) .du ĐS: 3 3 7 3 4 3 7 I u u C ………

………

………

………

a) F x( ) 5x3 4x2 7x 120và f x( ) 15x2 8x 7.

b) F x( ) ln(x x2 3)và 2 1 ( ) 3 f x x

c) F x( ) (4x 5) e x và f x( ) (4x 1) e x

d) F x( ) tan4x 3x 5 và f x( ) 4 tan5x 4 tan3x 3

e) 2 2 4 ( ) ln 3 x F x x và 2 2 2 ( ) ( 4) ( 3) x f x x x

f)

2 2 2 1 ( ) ln 2 1 x x F x x x và 2 4 2 2( 1) ( ) 1 x f x x

P ươ p áp: Để là một nguyên hàm của hàm số ta cần chứng minh:

Bài 2

c)

Tìm nguyên hàm c a các hàm s thỏ ã i u kiệ h ớ g ờng h p

sau:

P ươ p áp: Tìm nguyên hàm của hàm số tức đi tính

Rồi sau đó thế để tìm hằng số

Bài 3

2 2

,cos

x

b) 2 2 ( ) ln 5 2 3 ( ) 3 5 F x x mx x f x x x ĐS: m 3

c) 2 ( ) ( ) ( ) ( 3) x x F x ax bx c e f x x e ĐS: a 0, b 1, c 4.

d) 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) (2 8 7) x x F x ax bx c e f x x x e ĐS: a 1, b 3, c 2.

e) 2 2 ( ) ( ) ( ) ( 3 2) x x F x ax bx c e f x x x e ĐS: a 1, b 1, c 1.

f) ( ) ( 1)sin sin 2 sin 3 2 3 ( ) cos b c F x a x x x f x x ĐS: 0 a b c

g)

2 2

( )

F x ax bx c x

f x

x

h) ( ) 32 , ( 3) ( ) ( ) 3 f x x x x F x ax bx c x ĐS: 2 2 12 ; ; 5 5 5 a b c

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHÓM 1 : DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM Câu 1 Ng h h f x x3 3x 2 h g h ?

A 4 2 3 2 4 2 x x F x x C B 4 2 3 2 3 x F x x x C C 4 2 2 4 2 x x F x x C D F x 3x2 3x C Câu 2 H F x 5x3 4x2 7x 120 C h g h h ?

A f x 15x2 8x 7 B f x 5x2 4x 7

C

Câu 3 H g h h 2 1

3

y x x

x là

A

3

2 3

ln

x

3

2 3

ln

x

C

3

2 3

ln

x

x

Câu 4 T g h h f x x 1 x 2

A

3

2 3

2

x

3

2 2

2

x

3

2 2

2

x

B 4 x 3 3 C

535

x

D

333

F x

x C F x( ) lnx D

1( )

x C x

x k

( )3

x

C

2 3

5

x e

2017 3

2

x e

C

2017 2

3

x e

2017 2

2

x e

Câu 50 Tính sinx cosx dx

Câu 51 M g h h 22

( )cos

A 3x tanx C B 3x tanx C C 3x cotx C D 3x cotx C

Câu 53 Cho f x( ) sinx cosx M g h F x( ) ( ) hỏ 0

Câu 55 M g h h f x( ) tan2x là:

A

3tan3

x x

Câu 56 M g h h f x( ) cos4x sin4x là:

cos 22

cos 22

Câu 59 H g h h f x 2 sin 2x?

cos 22

cot 3 – 13

Hàm s nào có m t nguyên hàm là hàm s g(x) = tanx

A (I), (II), (III) B Chỉ (II), (III) C Chỉ (III) D Chỉ (II)

Câu 74 Ng h h f x 2 sin 3 cos2x x

A 1

cos 5 cos

1cos 5 cos

A Chỉ (I) và (II) B Chỉ (III) C Chỉ (II) và (III) D Chỉ (II)

Câu 78 Tìm (sinx 1) cos3 xdx là:

(III) F x( ) tanx là m t nguyên hàm c a f x( ) - ln cosx

Mệ h nào sai ?

A (I) và (II) B Chỉ (III) C Chỉ (II) D Chỉ (I) và (III)

Câu 80 Tìm 3

sin2

Câu 84 Ng h h y f x sinx cosx 1 là:

A. F x sinx cosx C B F x sinx cosx x C

C. F x cosx sinx x C D. F x sinx cosx x C

Câu 85 K i g ?

Câu 88 Tìm nguyên hàm 2 sin 3 cos2 x x dx ?

f x d e C B f x dx e2x 1 C

x2

x2

C F x( ) 3 ln 3.3x 1 C D

13( )

( )

x x

x

x

x e

C

22

x e

Dạng toán 2 TÍNH NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỶ

ài toán tổng quát T h g h với v hứ

hô g ă

Phương pháp giải:

+ N ẫ h h h h h ẽ ử ụ g ồ g h hứ ể

i)

dx I

4

dx I

dx I

1

.3

x

l) 2

dx I

dx I

dx I

2

x dx I

u)

2 2

11

22

x

21

2

2

32

2 2

2 3

dx I

31

3

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

2

x y

Câu 3 h h

2 2

x

221

x x

x x

2

11

x x

21

x

2

11

x x x

2 2 3

3 ln3

Dạng toán 3 TÍNH NGUYÊN HÀM ẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI IẾN SỐ

m n

n

PP n

2

dx I

x a x b

PP

Đặ

0 khi

00 khi

4 2

.8

x

e) 2

2

xdx I

21

2

h)

3 21

3 2

( 1)

xdx I

xdx I

l)

31

x dx I

2 3

.3

x

c)

2 3

24

xdx I

33

2

d)

21

x dx I

2

.15

4

2 315

8

.320

i)

dx I

2 2

2

.1

l)

dx I

e

e

m)

2

dx I

2 2

n)

xdx I

.3

x

x

e)

2 3

8

f)

3 2 2

(1 3 ln )1

1

x x

e

e

b)

2

x

dx I

e

e

c)

dx I

e

e

d)

2

x

e)

4

dx I

e

e

f)

2 2

21

x x

i)

dx I

j)

1

x

dx I

x x

e

e

BT 7 T h g h

xdx I

(1 sin )

xdx I

xdx I

f)

3 2

cossin

xdx I

xdx I

BT 8 T h g h

xdx I

b)

x

h)

3 4

sincos

3 cos

x x

.2

x

b)

4 6

sincos

x

5tan

.5

x

c)

4tancos 2

dx I

x dx I

dx I

g)

cos cos

4

dx I

x x

h)

tan

4cos 2

BT 10 T h g h

a)

2 4

cossin

x

31

3

b)

2 8

cossin

c)

4 2

dx I

cos sin

dx I

21

2

e)

sin sin

6

dx I

x x

x dx I

xdx I

x dx I

.4

x

BT 12 T h g h

a)

21

dx I

b)

9

dx I

29

.9

x

x

c)

dx I

d)

25

dx I

225

.25

x

x

e)

3 21

2 4

.3

x

x

g)

dx I

Câu 120 M g h h f x cos x esinx là

Câu 121 h h f x x x2 12016 Khi ó

A

2017 2

14034

x

2016 2

14032

x

f x dx

C

2016 2

12016

x

2017 2

12017

1( )sin

x

Câu 124 K cosx s inx 1dx g

A

32

3

32

e dx

F x x C

( ) ln2

Câu 131 M g h h

3 22

x y

2

3 21

Câu 140 Tìm nguyên hàm F x i f x( ) xsin x K

A F x( ) 2 cosx x 4 xsin x 4 cos x C

B F x( ) 2 cosx x 4 xsin x 4 cos x C

C F x( ) 2 cosx x 4 x sin x 4 cos x C

D F x( ) 2 cosx x 4 xsin x 4 cos x C

Câu 141 Tính nguyên hàm xe x2 1dx

( )2

x

( )2

Câu 143 H ới g h

2

1( )

f x

cosx 3 sin( )

e

f x

ln 121

x x

x

2ln( )

x a

a x a +C B

1ln2

a x

a a x +C B

1ln2

Dạng toán 4 TÍNH NGUYÊN HÀM ẰNG PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

BÀI TẬP VẬN DỤNG

BT 13 T h g h

a) I x sinx dx ĐS: I sinx cosx C

b) I (1 2 )x e dx x ĐS: I (3 2 )x e x C

2

x e

Đ nh N h i h v ó ạ h v i ụ h

hay

Vận ụng giải toán:

— Nhận ạng T h 2 h h ại h h hẳ g hạ ũ h g gi

— Thứ tự ưu tiên ch n u: l – – lượ – ũ v p ầ ò lạ Nghĩ u có

g gi …

— Lưu g ậ hứ v ậ g ứ g với ầ g h

Dạng mũ nhân ượng giác ạ g g h ừ g hầ hồi.

Phương Pháp

d) I (2x 1) lnx dx ĐS: 2 2 ( )ln 2 x I x x x x C

e) I x e 3x dx ĐS: 3 3 3 9 x x xe e I C

f) I x2 ln 2x dx ĐS: 3ln 2 3 3 9 x x x I C

g) I lnx dx ĐS: I xlnx x C

h) I (x 1) sin 2x dx ĐS: 1 1 cos 2 sin 2 2 4 x I x x C

i) I x e x dx ĐS: I (1 x e) x C

j) I e x sinx dx ĐS: (sin cos ) 2 x e x x I C

k) I x cosx dx ĐS: I xsinx cosx C

l) sin 2 x I x dx ĐS: 2 cos 4 sin 2 2 x x I x C

m) I x e dx x ĐS: I xe x e x C

n) I x ln(1 x dx) ĐS: 2 2 ln(1 ) (1 ) ln(1 ) 2 2 4 x x x I x C

o) I x sin2x dx ĐS: 2 sin 2 cos2 4 4 8 x x x x I C

p) I ln(x 1 x2) dx ĐS: I xln(x 1 x2) 1 x2 C

q) 1 ln 1 x I x dx x ĐS: 2 1 1 ln 2 1 x x I x C x

r) ln x3 I dx x ĐS: 2 2 ln 1 2 4 x I C x x

s) I x sinx cosx dx ĐS: 1 1 cos 2 sin 2 4 8 I x x x C

t) I e 2x cos 3x dx ĐS: 1 2 (3 sin 3 2 cos 3 ) 13 x I e x x C

u) 1 cos 2 x dx I x ĐS: 1 1 tan ln cos 2 2 I x x x C

v) I x (2 cos2x 1) dx ĐS: 1 sin 2 cos2 2 4 x I x x C

w) I x3 lnx dx ĐS: 4ln 4 4 16 x x x I C

x) 2 sin x I dx x ĐS: I xcotx ln sinx C.

y) ( 2) 2x I x e dx ĐS: 1 2 1 2 ( 2) 2 4 x x I x e e C

z) I x ln(x2 1) dx ĐS: I (x2 1)ln(x2 1) x2 1 C

BT 14 T h g h

a) 2 2 1 ln x I x dx x ĐS: 1 1 ln I x x x C x x

b) I cos x dx ĐS: I 2 xsin x 2cos x C

c) I sin x dx ĐS: I 2 xcos x 2sin x C

d) I (8x3 2 )x e x2 dx ĐS: I (4x2 1) e x2 4e x2 C

e) I x e3 x2 dx ĐS: 1 2 2 1 2 2 2 x x I x e e C

f) I x e5 x3 dx ĐS: 1 3 3 1 3 3 3 x x I x e e C

g) I esinx sin 2x dx ĐS: I 2sin x esinx 2esinx C

h) I x e x dx ĐS: I 2xe x 4 xe x 4e x C

i) I x ln(x2 1) dx ĐS: 1 2 2 1 2 ( 1)ln( 1) 2 2 I x x x C

j) 1 ln(2x 1) I dx x ĐS: 1 1 ln 1 ln 1 x I x C x x x

k) I e x ln(e x 1) dx ĐS: I (e x 1)ln(e x 1) e x C

l) 2 3 ln(4 8 3) ( 1) x x I dx x ĐS: 2 2 2 4 8 3 ln 4 8 3 4 ln 1 2( 1) x x x x x C x

m) 1 1 ln( 1) 2 I x x dx x ĐS: I (x x 1)lnx x 1 x x C.

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 166 M g h h f x( ) xe x là:

A e x C B e x x 1 C C e x x 1 C D

22

x x

Câu 169 Cho f x( ) xsinx Ng h ( ) là:

C sinx xcosx C D xcosx sinx C

Câu 170 Ng h h f x( ) xe x2 h

A F x( ) 2e x2 B 1 2

( )2

A F x xsinx cosx C B F x xsinx cosx C

C F x xsinx cosx C D F x xsinx cosx C

3

x x

2

x xdx C B xsinxdx xcosx sinx C

C xcosxdx xsinx cosx C D cos 2 1

f x

x x

D Hàm s F x( ) sin x là nguyên hàm c a hàm s f x( ) cos x

Câu 195 ệ h ệ h SAI?

h F x g h f x h gi a b c, , là