Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT quan sơn tiếp cận và sử dụng công thức tính nguyên hàm thông qua công thức vi phân và nguyên hàm của hàm hợp

Vậy nếu vẫn giữ nguyên cách dạy và thực hiện các phương pháp đã có như trong sách giáo khoa thì hầu như học sinh trường THPT Quan Sơn sẽ tiếp tục khoanh bừa đáp án khi gặp các câu về tín

MỤC LỤC

1: MỞ ĐẦU 1

2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.3 Giải pháp thực hiện để giải quyết vấn đề 5

1 MỞ ĐẦU

1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Từ thực tế giảng dạy môn Toán ở các lớp 12 trường THPT Quan Sơn, cùng với kết quả thi THPT Quốc Gia của những năm học 2017-2018 đến 2019-2020, tôi nhận thấy rằng điểm trung bình của môn Toán của các em lớp 12 đang còn rất thấp với nhiều lý do khách quan và chủ quan Trường THPT Quan Sơn là trường miền núi cao, thuộc vùng đặc biệt khó khăn của tỉnh Thanh Hóa, chất lượng đầu vào lớp 10 của học sinh còn thấp đặc biệt là môn Toán, học sinh không nhớ kiến thức, thiếu kỹ năng tính toán từ lớp dưới Học sinh làm bài trắc nghiệm đôi khi còn có tư tưởng khoanh bừa, dựa vào yếu tố may mắn để lấy điểm, nên phổ điểm tầm khoảng 2 đến 3 là cao Riêng với phần Nguyên hàm, là phần mà học sinh trường THPT Quan Sơn khó để lấy điểm trong đề thi, thế nên nhiều em không làm, khoanh bừa hoặc làm sai, trong khi có những câu chỉ thuộc phần nhận biết, thông hiểu Vậy nếu vẫn giữ nguyên cách dạy và thực hiện các phương pháp đã có như trong sách giáo khoa thì hầu như học sinh trường THPT Quan Sơn sẽ tiếp tục khoanh bừa đáp án khi gặp các câu về tính Nguyên hàm Vậy nên mỗi giáo viên dạy Toán trường THPT Quan Sơn, bên cạnh việc thay đổi phương pháp dạy, cách truyền đạt đến học sinh, cách kiểm tra đánh giá, biên soạn đề cương ôn tập một cách chi tiết, dạy học sinh sử dụng máy tính bỏ túi trong quá trình ôn và thi tốt nghiệp, thì việc nghiên cứu ra các công thức để học sinh có thể áp dụng và tìm ra đáp án, hay rút gọn được các bước tính toán cũng

là một mục tiêu mà giáo viên dạy Toán trường THPT Quan Sơn luôn đặt ra và thực hiện Khi đó học sinh sẽ cảm thấy đỡ áp lực, giúp các em hào hứng hơn trong các tiết học Điểm số của các em cũng được cải thiện và cao hơn khi làm bài thi trắc nghiệm

Với mong muốn cung cấp thêm một tài liệu học tập cho học sinh và những

ưu điểm khi tôi trực tiếp giảng dạy, tôi mạnh đưa ra đề tài sáng kiến kinh

nghiệm: “Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Quan Sơn tiếp cận và

sử dụng công thức tính Nguyên hàm thông qua công thức Vi phân và Nguyên hàm của hàm hợp”.

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Nhận thấy được điểm yếu của học sinh cũng như từ thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Quan Sơn và mục tiêu giúp học sinh trường THPT Quan Sơn cải thiện điểm thi môn Toán trong kì thi Tốt nghiệpTHPT 2021, đề tài được viết với mục đích:

- Cung cấp tài liệu ôn tập cho học sinh THPT Quan Sơn với nội dung và cách tiếp cận phù hợp với trình độ nhận thức của các em, để từ đó các em có thể học tập, nghiên cứu, luyện giải các bài tập và tìm ra đáp án đúng trong các đề thi thử và áp dụng vào kì thi Tốt nghiệp THPT năm 2021

- Giúp học sinh có thêm một số công thức mới khi thực hiện làm các bài toán liên quan đến Nguyên hàm, tăng cường tính chính xác khi làm bài, tìm ra nhanh đáp án đúng nhanh nhất và ứng dụng vào làm các bài toán về Tích phân

- Giúp giáo viên môn Toán trường THPT Quan Sơn có thêm tài liệu dạy và nghiên cứu để có thể đưa ra các phương pháp làm bài toán Nguyên hàm nhanh hơn

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Đề tài nghiên cứu về phần Vi phân, sử dụng công thức vi phân để thiết lập một số công thức tính Nguyên hàm Giúp học sinh trường THPT Quan Sơn sử dụng công thức mới vào giải nhanh các bài toán trắc nghiệm liên quan đến phần Nguyên hàm

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Phương pháp mà tôi sử dụng để nghiên cứu trong đề tài:

- Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế năng lực học sinh THPT Quan Sơn

từ đó phân loại công thức để có phương pháp ôn luyện phù hợp

- Phương pháp thu thập dữ liệu, tổng hợp và phân tích, hệ thống hóa kiến thức để đưa ra kết quả và vận dụng trong quá trình ôn luyện cho học sinh

1.5 NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Các công thức được thiết lập hoàn toàn mới và khi sử dụng công thức vào tính các bài toán Nguyên hàm nó sẽ thay thế cho phương pháp đổi biến số

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ

2.1.1 Vi phân

- Với hàm số yf x( ) ta có:

( ) '( )

dy df x f x dx

Ví dụ: Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) y x 3  3x 2

b) y cos(2x 1)

Giải:

a) y x 3  3x 2, ' 3x 3y  2 

Vậy dy d x ( 3  3x 2) y'dx (3x 3)  2  dx

b) y cos(2x 1), y'  2sin(2 x 1) 

Vậy dy d cos(2x 1) y'dx   2sin(2 x 1) dx 

- Từ công thức df x( ) f x dx'( ) ta có thể thực hiện các bài toán ngược lại với công thức f x dx df x'( )  ( )

Ví dụ:

a) 2xdx d x ( 2 C)

b) sinxdxd(cosx C)

c) dx d(ln x C)

d) sin( 5 3) 1 cos( 5x 3)

5

cos( 5 x 3) cos ( 5 x 3)dx ( 5 x 3) sin( 5 3) sin( 5 3)

2.1.2 Nguyên hàm của hàm hợp

- Ta có: f x dx F x( )  ( ) C; f u du F u( )  ( ) C

Ví dụ: Một số công thức hàm hợp được thiết lập từ những công thức hàm sơ

cấp tương ứng.

sin ; (3 5) (3 5) sin(3 5)

( 2 3)

 

 

- Với u ax b a  (  0), ta có f ax b dx( ) 1F ax b( ) C

a



2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.2.1 Thực trạng học sinh

- Học sinh trường THPT Quan Sơn chủ yếu theo học các môn Xã hội, mỗi khối không quá 10 học sinh theo học khối Tự nhiên, nên việc học và làm bài tập Toán đối với học sinh là một vấn đề nan giải Phần Lượng giác, Nguyên hàm, Hình không gian là những phần mà học sinh không nắm được công thức, phương pháp và hầu như học sinh thường bỏ qua phần này nếu gặp trong các bài thi

- Hình thức thi trắc nghiệm khách quan được sử dụng trong kì thi TN –

ĐHCĐ đòi hỏi không chỉ các em học sinh phải nắm vững kiến thức, công thức,

bản chất mà còn cần đến sự nhạy bén, lựa chọn phương pháp thích hợp, dễ học,

dễ làm và nhanh cho đáp án đúng

- Phương pháp sử dụng công thức tính Nguyên hàm được thiết lập mới thông

qua công thức Vi phân và Nguyên hàm của hàm hợp sẽ giúp học sinh thực hiện được bài toán nhanh và có luôn đáp số, không phải sử dụng phương pháp đổi biến số, giúp học sinh hứng thú hơn trong học tập và làm bài trắc nghiệm

2.2.2 Thực trạng của giáo viên

- Tháng 10/2020 trường THPT Quan Sơn được Sở GD&ĐT Thanh Hóa tuyển biên chế viên chức dạy học tại nhà trường 19 thầy, cô; trong đó có 4 giáo viên dạy toán Do các cô còn trẻ, chưa có kinh nghiệm giảng dạy học sinh tại vùng núi cao, phương pháp cũng như kiến thức truyền đạt còn nặng so với nhận thức và năng lực của học sinh

- Các cô chưa linh hoạt trong việc sử dụng và lựa chọn phương pháp, lựa chọn bài tập phù hợp với năng lực của học sinh

2.3 GIẢI PHÁP THỰC HIỆN ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

2.3.1 Cách tiếp cận và thiết lập công thức Nguyên hàm mới

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

4 6

2021

)

) ( 3 2)

x

a e dx



 





Giải:

Công thức f u du F u( )  ( ) C; df x( ) f x dx'( )

a) Áp dụng công thức Vi phân d x(4  6) (4  x 6)'dx 4dx

4 6 1 4 6

(4 6) 4

e  dx e  d x

Vậy theo công thức hàm hợp ta được: 4 6 1 4 6 1 4 6

(4 6)

b) Áp dụng công thức Vi phân d( 3  x 2) ( 3   x 2) 'dx 3dx

Tương tự như trên ta có: 2021 1 2021

3

1 ( 3 2)2022

3 2022

x

C

 

*) Từ hai ví dụ trên ta thiết lập được hai công thức tổng quát sau:

1 1

1 1.

a

ax b

a

















Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

) sin( )

1

)

a ax b dx

ax b









Giải:

Áp dụng công thức Vi phân d x b(a  ) (a  x b dx adx )' 

sin(ax b dx) sin(ax b d ax b) ( ) cos ax b( ) C

b) 1 dx 1 1 d ax b( ) 1ln(ax b) C

ax b a ax b  a  

*) Từ hai ví dụ trên ta thiết lập thêm được hai công thức tổng quát sau:

1

3 sin(ax b dx) cos ax b( ) C

a



4. dx ln(ax b) C

ax b a  



2.3.2 Công thức Nguyên hàm mới

Từ 4 công thức được thiết lập ở phần 2.3.1 sáng kiến kinh nghiệm này và thông qua cách thiết lập tương tự dựa vào công thức Vi phân và công thức Nguyên hàm của hàm hợp cũng như quá trình giảng dạy thực tế tại các lớp 12 trường THPT Quan Sơn Tôi đã thiết lập được các công thức tính Nguyên hàm mới như sau:

1

1. e ax b dx e ax b C

a



Ví dụ: 3 2 1 3 2

3

e  dx e  C



1 1

2 (ax b dx) ax b C

a















Ví dụ: 2020 1 (5 2021)2021

(5 2021)

x



1

3 sin(ax b dx) cos ax b( ) C

a



Ví dụ: sin(x 3)dx cos x(  3) C

1

4. cos ax b dx( ) sin(ax b) C

a



Ví dụ: ( 4 4) 1sin( 4 4)

4

cos  x dx  x C



ax b a  



Ví dụ: 1 1ln 3 5

3x 5dx3 x C



2

6.

(ax b ) dx a ax b(  )C



( 5  x 5) dx5( 5  x 5)C



2

1

2

m ax b

a















Ví dụ: 2 6 3 (4 2 3)7

7 3 (4 3)

x



1 1

1 sin ( )

8 sin (ax b cos ax b dx) ( ) ax b C

a















sin (2 1) (2 1)

x

x cos x dx  C



1 1

9. cos ax b( ).sin(ax b dx) cos ax b C

a















( 3 5).sin( 3 5)

cos x cos  x  x dx   C



Đây chỉ là 9 công thức cơ bản, trong khi làm, còn nhiều bài ta có thể linh hoạt sử dụng công thức Vi phân và Nguyên hàm của hàm hợp để giải nhanh bài toán Nguyên hàm, thay vì sử dụng phương pháp đổi biến số

2.3.3 Áp dụng công thức Nguyên hàm mới vào giải các bài toán Nguyên hàm

Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau (Bài tập 3a,b,c trang 101 sgk

Giải tích 12 - cơ bản):

a) (1  x dx) 9

b) x(1 x2 2 )3dx

c) Cos x3 sinxdx

*) Giải theo phương pháp đổi biến số

a) (1  x dx) 9

Đặt 1 x u  ta có d(1  x) du dx du  dxdu

Vậy 9 9 10 (1 )10

(1 )

b) x(1 x2 2 )3dx

2

du

Vậy

x(1 )

5

2

c) Cos x3 sinxdx

Đặt Cosx u  dCosx du   sinxdx du   sinxdx  du

Cos x xdx u du C C

* Giải theo phương pháp sử dụng công thức Nguyên hàm mới

a) (1  x dx) 9

Áp dụng công thức (ax b dx) 1 (ax b1) 1 C

a















Ta có 9 (1 )10

(1 )

10

x



b) x(1 x2 2 )3dx

1

2

m ax b

a















Ta có

2 2 1 (1 ) (1 ) x(1 )

5

2



c) Cos x3 sinxdx

Áp dụng công thức cos ax b( ).sin(ax b dx) 1cos 1(ax b1 ) C

a















4

cos x Cos x xdx C



Ví dụ 2: Sử dụng công thưc Nguyên hàm mới giải nhanh các bài trắc

nghiệm về Nguyên hàm

1 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) cos x3 (Câu 2, mã đề 101 kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017).

2

2

1 3 2

dx

x 

 bằng (câu 19, mã đề 103, kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018).

3

1

3 1

0

x

e dx

 bằng (câu 23, mã đề 124, kỳ thi THPT Quốc gia năm 2018).

4 Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số 2

( ) ( 2)

x

f x

x





 trên khoảng (2;  ) là

(câu 32, mã đề 112, kỳ thi THPT Quốc gia năm 2019).

Giải:

1 Áp dụng công thức cos ax b dx( ) 1sin(ax b) C

a



Ta được 3 1sin 3

3

cos xdx x C



2 Áp dụng công thức 1 dx 1ln(ax b) C

ax b a  



Ta được

1 1

ln 3 2 ln 4

dx

x



3 Áp dụng công thức e ax b dx 1e ax b C

a



Ta được

0 0



Áp dụng công thức 1 dx 1ln(ax b) C

ax b a  

(ax b ) dx a ax b(  )C



x  x    x 



2.3.4 Áp dụng công thức Nguyên hàm mới vào giải các bài toán trắc nghiệm về Nguyên hàm

3 2

1. e x dx

 b ngằng

3 2

A. e x C

B.

3

x

e  C

D.

3

x

e  C

 10

2 (4 x 6) dx bằng

11 (4 6)

A.

11

x

C





11

1 (4 6) B.

4 11

x

C





11

1 (4 6) C.

4 11

x

C



11 (4 6) D.

11

x

C



3 sin( 3 )  x dx bằng

A. Cos x C3  B. Cos( 3 )  x C 1

C ( 3 )

3Cos  x C

1

3Cos x C

3

4.

dx

x 

1

A ln 2 4

2 x C

3

B ln 2 4

D ln 2 4

2 x C

1

5.

( 2  x 1) dx

1

A.

2x 1C

 

1 B.

2( 2  x 1)C

1 C.

2x 1 C





 

1 D.

2( 2x 1) C

2

6.x 3x  2dx bằng

2 3 1

2 3 1

Hướng dẫn giải

1 Áp dụng công thức e ax b dx 1e ax b C

a

2 Áp dụng công thức (ax b dx) 1 (ax b1) 1 C

a













3 Áp dụng công thức sin(ax b dx) 1cos ax b( ) C

a

4 Áp dụng công thức m dx mln ax b C

ax b a  

5 Áp dụng công thức 2

(ax b ) dx a ax b(  )C

1

2

m ax b

a













2.3.5 Bài tập

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

4

1. f x( ) 5  e dx x

8

2. f x( )  3(4 5 )  x

3 ( ) tanf x  x

4 ( ) cos( 12f x   x 5)

5 ( )

5

dx

f x

x





2

6 ( )

( 4 1)

dx

f x

x



 

2 6

7 ( )f x  3 (4x x  1)

5

ln x

8 ( )f x

x



6

9 ( )f x cos ( x 2).sin( x 2)

2021

sin

10 ( )

cos

x

f x

x



2.4 HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Sau khi học sinh được tiếp cận, thiết lập và sử dụng công thức Nguyên hàm mới vào làm bài tập và vận dụng một các linh hoạt, các em có thể hiểu, ghi nhớ

và tiến tới vận dụng một cách thuần thục Kết quả của việc sử dụng công thức Nguyên hàm mới đã thu được kết quả như sau:

*) Về số lượng học sinh thực hiện làm bài t i các l p Tôi gi ng d y:ại các lớp Tôi giảng dạy: ớp Tôi giảng dạy: ảng dạy: ại các lớp Tôi giảng dạy:

Lớp Sĩ số

Học sinh hiểu và thực hiện được bài toán

Ghi chú

Sử dụng phương pháp đổi biến số

Sử dụng công thức được

thiết lập

*) Về số điểm học sinh đạt được khi làm bài thi trắc nghiệm theo hai phương pháp tại các lớp Tôi giảng dạy (Số câu hỏi 10, thang điểm 10):

Lớp Sĩ

số Điểm

Học sinh đạt số điểm

Ghi chú

Sử dụng phương pháp đổi biến số

Sử dụng công thức được thiết lập

12A1 30

12A5 38

12A6 36

- Học sinh làm được bài tập và làm nhanh các bài trắc nghiệm, công thức cũng giúp học sinh không phải sử dụng phương pháp đổi biến số

- Tạo được hứng thú học tập cho các em học sinh trường THPT Quan Sơn Các em rất tích cực với các buổi làm đề trắc nghiệm với các câu nguyên hàm có trong đề thi chính thức và đề minh họa trong các kì thi tốt nghiệp THPT cũng như các đề thi thử của các trường

- Tạo ra được hiệu ứng học tập của học sinh, bởi khi các em có thể làm được

1 câu có trong đề thi mà còn làm nhanh, làm đúng đã khích lệ và tạo được niềm tin của các em trước kì thi

- Sáng kiến cũng giúp các thầy, cô dạy toán trường THPT Quan Sơn có thêm tài liệu tham khảo, vận dụng linh hoạt hơn trong khi dạy bài nguyên hàm và tích phân

3 KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN

Qua thời gian dài giảng dạy tại trường THPT Quan Sơn, với kinh nghiệm và hiểu biết về năng lực, nhận thức của học sinh, Tôi đã không ngừng nghiên cứu, học hỏi để có những phương pháp dạy học phù hợp với từng đối tượng học sinh, giúp các em hứng thú và thích học hơn đối với môn toán

Với sự đổi mới từ Bộ GD&ĐT cùng với đặc thù về chất lượng học sinh trường THPT Quan Sơn Mỗi giáo viên giảng dạy phải không ngừng học tập, tự bồi dưỡng, lựa chọn phương pháp dạy học, bài tập phù hợp trong giảng dạy

Đề tài “Hướng dẫn học sinh lớp 12 trường THPT Quan Sơn tiếp cận và

sử dụng công thức tính Nguyên hàm thông qua công thức Vi phân và Nguyên hàm của hàm hợp” Tôi đã giúp học sinh tự thiết lập và tiếp cận với

các công thức tính Nguyên hàm mới, giúp thời gian giải nhanh hơn, không phải

sử dụng phương pháp đổi biến số, công thức dễ học, dễ hiểu và dễ thực hiện

Qua các tiết dạy, ôn thi tốt nghiệp THPT tôi đã hướng dẫn học sinh một cách chi tiết, hình thành cho các em kỹ năng làm trắc nghiệm toán, giải bài toán nhanh, chính xác Chính vì vậy mà chất lượng học sinh được nâng lên, điểm thi được cải thiện Ngoài mỗi dạng toán, mỗi ví dụ đã làm tôi yêu cầu học sinh về làm các bài tập tương tự

Qua sáng kiến tôi mong muốn cung cấp cho các em một tài liệu, một phương pháp học hữu ích đáp ứng nhu cầu học tập của các em

Rất mong sự góp ý của các thầy cô giáo!

Xin chân thành cảm ơn!

3.2 KIẾN NGHỊ

Sở giáo dục nên tiếp tục duy trì cuộc thi viết sáng kiến kinh nghiệm

XÁC NHẬN CỦA HIỆU

TRƯỞNG

Quan Sơn, ngày 10 tháng 5 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Đào Văn Phúc TÀI LIỆU THAM KHẢO

- SGK Giải tích 12 – NXB GD.

- SGK Giải tích 11 – NXB GD

- Đề thi chính thức các năm học, đề thi minh họa của Bộ GD, của các trường

- Một số sách về phần Vi phân, Nguyên hàm của hàm số