Nguyễn hàm, tích phân và ứng dụng NGUYÊN hàm đề bài

Nguyên hàm hàm đa thức, phân thức Câu 1... Nguyên hàm hàm căn thức Câu 14... Nguyên hàm hàm lượng giác Câu 30... Mệnh đề nào dưới đây là đúng?. Mệnh đề nào dưới đây là saiA. Mệnh đề nào

 Dạng 39 Nguyên hàm hàm đa thức, phân thức

Câu 1 Tìm nguyên hàm của hàm số   3 2

2

  x

4

  

�f x dx x x C B �f x dx  x33 x42 C

C   3 2

2

  

2

  

Câu 2 Tìm nguyên hàm của hàm số   2 3 1 5

18

 �  �

x

A.   3 1 6

18

�  �

18

 �  �

C   1 3 1 6

6 18

 �  �

2 18

 �  �

Câu 3 Cho      2

3 2 , 0 8

f x x f Hàm số y f x là hàm số nào trong các hàm 

sau đây?

A    3

C f x  6 x24. D    3

2

 

Câu 4 Tìm giá trị của tham số m để hàm số F x  mx33m2x24x3 là một nguyên hàm của hàm số f x( ) 3 x210x4

A m3 B m0 C m1 D m2

Câu 5 Tìm nguyên hàm của hàm số   3

1



f x

x .

1 2

  

1

 

C   1 2

2

  

Câu 6 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1

1

 





f x

1



1 ( ) 1

( 1)



C ( ) 2 ln 1

2

�f x dx x x C. D �f x dx x( )  2ln x 1 C.

Câu 7 Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2 1

3 2



 

f x

1





2 ( ) ln

1





C ( ) ln 1

2





1 ( ) ln

2





Câu 8 Tìm nguyên hàm F x của hàm số     4 23

 x x

f x

x thoả mãn F 1 2.

A. 3 2 1 5

3    3

x

x

x B

3

3   3

x x

3

3    3

x x

x . D.

3

3   

Câu 9 Hàm số nào sau đây không là một nguyên hàm của hàm số (2 2)

( 1)







y

1

 





y

1

 





y

2 1





x y

1

 





y

Câu 10 Tìm nguyên hàm F x của hàm số   f x   thoả mãn f x'  ax+b2,

x

 

' 1 0,

f f 1 4, f  1 2

A. 2 1 5

2  2

x

2  2

x

2  2

x

x . D Kết quả khác.

Câu 11 Tìm giá trị của tham số a để hàm số ( ) 2 3

2

 





ax a

F x

x là một nguyên hàm

của hàm số  2

6 ( )

2







f x

A.a 1 B a1 hoặc a 3. C.a3. D a 1 hoặc a3.

Câu 12 Tìm nguyên hàm của hàm số   2

1



 x

f x

A.�f x dx   lnx 1 C

C. �f x dx  lnx 1 C

Câu 13 Tìm nguyên hàm của hàm số  5

( ) 3 1

A. ( ) 13 16

3

18

C ( ) 13 15

18

6

 Dạng 40 Nguyên hàm hàm căn thức

Câu 14 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  x2 3 2 x

C   3 3ln 4 3

Câu 15 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  x 1x 2

2 2

3 1 2

2 2

1 1 3

C    3

2 2

2 1 3

2 2

1 1 3

Câu 16 Tìm nguyên hàm của hàm số f x   3 +2x

A.   23 2 3 +2

9

3

C ( ) 93 2 3 +2

2

2

Câu 17 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  x 1x 2

2

1 1 2

2

1 1 3

C   2 2

2 1 2

2

1 1 3

Câu 18 Tìm nguyên hàm của hàm số f x   33x1

A. �f x dx  (3x1) 33 x 1 C B   133 1

3

C   1(3 1) 33 1

4

�f x dx x x C D �f x dx  33x 1 C

Câu 19 Tìm nguyên hàm của hàm số   3 2 14

1



x.

A.   53 5 14ln 1

3

5

C   33 5 14ln 1

5

5

Câu 20 Tìm nguyên hàm của hàm số    1 1



f x

x.

A.�f x dx  2 x C B �f x dx  2ln x 1 C

C �f x dx  2 x2ln x 1 C D �f x dx  2 x2ln x 1 C

Câu 21 Tìm nguyên hàm của hàm số    2 11 4

 

f x

x nào sau đây là đúng?

A.�f x dx   2x 1 2ln 2x 1 4C

B �f x dx   2x 1 ln 2x 1 4C

C �f x dx   2x 1 4ln 2x 1 4 C

D �f x dx  2 2x 1 ln 2x 1 4C

Câu 22 Tìm nguyên hàm của hàm số    1



f x

x x

1



x

C   2ln��  1 ��

Câu 23 Tìm nguyên hàm của hàm số    2 1

f x

A     2 





C     2 1

 



Câu 24 Tìm nguyên hàm của hàm số f x   x2k với k�0

2



Câu 25 Cho F x  3x 1 ax2bx c  2 - 1x là một nguyên hàm của hàm số

  10 - 72 2

2 - 1



f x

x trên khoảng

1

; 2

� ��

� � Tính S a b c   .

A S3 B S0 C S4 D S2

Câu 26 Tìm các giá trị của tham số a b c để , , F x  (ax2bx c ) 2 - 3x là một nguyên hàm của hàm số f x   20 - 30x22 - 3x7

x trong khoảng

3; . 2

� ��

A.a4,b2,c2. B a1,b 2,c4.

C. a 2,b1,c4. D a4,b 2,c1.

Câu 27 Trong các hàm số sau:

 I f x   x21 II f x   x2 1 5 III   21

1





f x

1





f x

x

Hỏi hàm số nào có một nguyên hàm là hàm số F x( ) ln x x21?

A.Chỉ  I B Chỉ  III C Chỉ II D Chỉ  III và (IV).

Câu 28 Tìm nguyên hàm của hàm số   �3 1 �2

�  �

A.   3 3 2 126 5 ln

3

 �  �

3

Câu 29 Tìm nguyên hàm của hàm số    2 2



x

f x

A �f x dx   1x2 C. B �f x dx  lna x 2 C.

C �f x dx   a2x2C. D �f x dx  ln a2x2 C.

 Dạng 41 Nguyên hàm hàm lượng giác

Câu 30 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  sin2x.

A �f x dx   2x sin22 xC B �f x dx   2x sin24 xC

C �f x dx   2x sin 24xC D �f x dx   2x sin 22 xC

Câu 31 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  sin 2 x1.

A. �f x dx  cos(2x 1) C B   1cos(2 1)

2



C   1cos(2 1)

2

Câu 32 Tìm nguyên hàm F x của hàm số   f x   1 sin 3x thoả mãn 0

6

� �

� �

� �

A. ( ) 1cos3

C ( ) 1cos3

Câu 33 Tìm nguyên hàm F x của hàm số   f x  2x33x2 1 sin2x thoả mãn

 0 1

A.   2 4 3 3 1.cos2 1

C   2 4 3 3 1.cos2 1

Câu 34 Cho f x�   3 5sinx và f 0 10 Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. f x  3x5cosx2 B f  3 C 3

� �

� �

� �

D f x  3x5cosx.

Câu 35 Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A cos� xdxsinx C  B sin� xdx cosx C 

Câu 36 Tìm nguyên hàm của hàm số f x   1 cot2x

A �f x dx  tanx C  B �f x dx   tanx C 

C �f x dx  cotx C  D �f x dx   cotx C 

Câu 37 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  xcosx.

A. �f x x d xsin – cosx xC B �f x dx xsin – cosx xC

C �f x x d xsinxcosxC D �f x dx xsinxcosxC

Câu 38 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  sin 3 xcos5x.

A.   1 os2 1 os8

C   1 os2 1sin8

Câu 39 Tìm nguyên hàm của hàm số   2

sin cos



f x

A   1cos2

4

4

  1cos1

4

4

x

Câu 40 Tìm nguyên hàm F x của hàm số     2

1 cos

 

f x

x thoả mãn F 0 1

A – tan x B 1– tan x. C 1 tan x D tanx1

Câu 41 Tìm nguyên hàm của hàm số f x   cosx2

x.

A.�f x dx x   tanx+ cosln x C . B �f x dx x   tanx+ln sinx C .

C �f x dx x   tan ln sinx- x C . D �f x dx x   tan lnx- cosx C .

Câu 42 Tìm nguyên hàm của hàm số   34

sin cos

f x

x.

cos 3cos

x

cos 3cos

x

cos 3cos

x

3cos cos

Câu 43 Tìm nguyên hàm của hàm số   2 2

1 sin cos



f x

A.�f x dx  cotxtanx C B �f x dx   cotxtanx C

C �f x dx   cotxtanx C D �f x dx  cotxtanx C

Câu 44 Tìm nguyên hàm của hàm số  

1 cos sin





f x

  � �

 � �

  � �

 � �

x x x x Tính giá trị ,A B.

2

 

2

  

  

  

Câu 46 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  xsin 1x 2

A.�f x dx    1x2 cos 1x2 sin 1x2 C

B �f x dx    1x2 cos 1x2 sin 1x2 C

C. �f x dx   1 x2 cos 1x2 sin 1x2 C

D �f x dx   1 x2 cos 1x2 sin 1x2 C

Câu 47 Xét các mệnh sau đây:

( )I F x( )= +x cosx là một nguyên hàm của   sin - cos 2

f x

( )II ( ) 4 6

4

x

F x = + x là một nguyên hàm của ( ) 3 3

x

( )III F x( )=tanx là một nguyên hàm của f x   ln cosx

Mệnh đề nào sai?

A ( )I và ( )II B Chỉ ( )III C.Chỉ ( )II D Chỉ ( )I và ( )III

Câu 48 Cho hàm số F x  e x 2( tana 2x b tanx c là một nguyên hàm của )

   x 2tan3

2 2

� �

 

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.   2 1tan2 2tan 2

x

x

C.   2 1tan2 2tan 1

x

x

Câu 49 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  tan2x.

A �f x dx  tanx x C  B �f x dx  tanx x C  .

C �f x dx   tanx x C  . D �f x dx   tanx x C  .

Câu 50 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  xcos x 2

A   1sin

2

2

C.   1  2

s in 2

s in 2

Câu 51 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  xsin2x

sin 2 cos 2

2 2

   

sin 2 cos 2

4 2

   

cos 2

sin 2 cos 2

4 2

   

Câu 52 Cho a�0, C là hằng số Mệnh đề nào dưới đây sai?

A.�sinax b dx   1cosax b C 

a . B �cosax b dx   1sinax b C 

C    1    1

1





  . D �e dx ax b  1e ax b C

Câu 53 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  sin2xcosx.

A.�f x dx  cos2xsinx C . B   1cos2 sin

2

C �f x dx   cos2xsinx C . D �f x dx  sin2xsinx C .

Câu 54 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  x2 1 sin 2x

�f x dx x x x C B   3 ln | | 1cos 2

�f x dx x x x C

�f x dx x x x C D   3 ln | | 1cos 2

�f x dx x x x

Câu 55 Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. y e x �F x   exC B  1 �     x

x

C y ex�F x  exC D   1 �     x

x

Lời giải tham khảo

�e dx x e x C � Đáp án A đúng

1      

�e dx x �e dx e x x C � Đáp án C đúng

Câu 56 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  x e x

A. �f x dxx e –x e xC B �f x d xxe x e x C

C �f x dxx –e x e xC D �f x d e  x xx e xC

Lời giải tham khảo

+ �f x dx( ) �x e dx .x

+ Đặt u x �du dx và  dv e dx x. �v e  x

+ Vậy �f x dx xe( )  x �e dx x e x  x e x C

Câu 57 Tìm nguyên hàm của hàm số   2

2

 x

2

�f x dx e x C B �f x dx  2x e2 x2 C

C   2

 

2

�f x dx xe x C

Lời giải tham khảo

Đặt t x 2

Câu 58 Tìm nguyên hàm của hàm số    1 1



x

f x

A. �f x dx x   lne x 1 C B �f x dx    x lne x 1 C

C �f x dx    x lne x 1 C D �f x dx x   lne x 1 C

Lời giải tham khảo

Đặt t e x1.

Câu 59 Tìm nguyên hàm của hàm số f x   e x

x.

A. �f x dx  2e x C B �f x dx e   2 x C

C �f x dx  e2x C D �f x dx e   x C

Lời giải tham khảo

Đặt t = x

Câu 60 Mệnh đề sau đây mệnh đề nào đúng?

2

1

ln 4

4 2

xdx

+

� ( )II cot - 12

sin

x

= +

�

( )III 2cos 1 2cos

sin

-2

�

A.Chỉ ( )I B Chỉ ( )III C.Chỉ ( )I và ( )II D Chỉ ( )I và

( )III

Lời giải tham khảo

2

4



�e x xdx �e x d x e x C

 BÀI TẬP TỰ LUYỆN 

Câu 61 Tìm nguyên hàm của hàm số f x   ln ln lnx

A.�f x dx  ln ln 222 x C B �f x dx  ln ln22 x C

C.�f x dx   ln ln 222 x C D   ln ln2 2

2

Câu 62 Tìm giá trị của tham số a b để , F x   ax b e là một nguyên hàm của  x hàm số f x   xe x A a1,b1. B a 1,b2. C a2,b1. D a 1,b1.

Câu 63 Tìm nguyên hàm F x của hàm số   f x  xe x2  1 thoả mãn  0 3 2  e F A 2 1 2   x e e. B 2 1 2   x e e. C 2 1 4   x e e. D 2 1 4   x e e.

Câu 64 Tìm nguyên hàm của hàm số f x  e x e x(2  3x)

4

4

�f x dx xe x e x e x C.

4

4

�f x dx xe x e x e x C.

Câu 65 Cho a0 và a�1 C là hằng số Mệnh đề nào sau đây là đúng? A.�a dx a x  x.lna C . B 2 2 2ln   �x a x a dx C a . C �a dx a2x  2xC. D �a dx a2x  2x.lna C .

Câu 66 Nguyên hàm nào dưới đây không tồn tại?

1

 



�x x dx

  

C sin 3� xdx. D �e xdx.3x

Lời giải tham khảo

Trong ý B biểu thức trong căn luôn âm nên hàm không liên tục dẫn đến không có nguyên hàm

Câu 67 Cho F x là một nguyên hàm của hàm số   f x trên khoảng    a b Giả;

sử ( )G x cũng là một nguyên hàm của f x trên khoảng    a b Mệnh đề nào dưới;

đây là đúng?

A. F x  G x trên khoảng    a b;

B G x  F x  –M trên khoảng  a b với M là một hằng số nào đó.;

C F x  G x  C với mọi x thuộc giao của hai miền xác định.

D F x và   G x là hai hàm số không có sự liên quan. 

Câu 68 Nguyên hàm nào dưới đây không tồn tại?

A.   2 2

3

 





x x

f x

Lời giải tham khảo

Ta có:  x2 2x 2 0  � �x R Vậy không tồn tại 2

x x

nên không có nguyên hàm

x x dx

�

Mặt khác:biểu thức : 2 1

1

x x x

 

 có nghĩa  x ≠ 1, biểu thức: sin 3x; e x 3x có nghĩa

x.

ĐÁP ÁN NGUYÊN HÀM