DÃY SỐ - CẤP SỐ

DÃY SỐ - CẤP SỐ

I Ph ng pháp qui n p tốn h c

ch ng minh m nh đ ch a bi n A(n) là m t m nh đ đúng v i m i giá tr nguyên d ng

n, ta th c hi n nh sau:

· B c 1: Ki m tra m nh đ đúng v i n = 1

· B c 2: Gi thi t m nh đ đúng v i s nguyên d ng n = k tu ý (k ³ 1), ch ng minh r ng

m nh đ đúng v i n = k + 1

Chú ý: N u ph i ch ng minh m nh đ A(n) là đúng v i v i m i s nguyên d ng n ³ p thì:

+ b c 1, ta ph i ki m tra m nh đ đúng v i n = p;

+ b c 2, ta gi thi t m nh đ đúng v i s nguyên d ng b t kì n = k ³ p và ph i ch ng

minh m nh đ đúng v i n = k + 1

Bài 1: Ch ng minh r ng v i m i n Ỵ N*, ta cĩ:

a) 1 + 2 + … + n = ( 1)

2

n n +

b) 12 22 2 ( 1)(2 1)

6

c)

2

1 2

2

n n

+ + + = êë úû d) 1.4 2.7 + + +n n(3 + =1) n n( +1)2

e) 1.2 2.3 ( 1) ( 1)( 2)

3

n

Bài 2: Ch ng minh r ng v i m i n Ỵ N*, ta cĩ:

a) 2n >2n+1 (n ³ 3) b) 2n+ 2 >2n+5

+ + + < - (n ³ 2) d) 1 3 2 . 1 1

n

- <

+ e) 1 1 1 2

n+ +n+ + + n > (n > 1)

Bài 3: Ch ng minh r ng v i m i n Ỵ N*, ta cĩ:

a) n3+11n chia h t cho 6 b) n3+3n2+5n chia h t cho 3

c) 7.22 2n- +32 1n- chia h t cho 5 d) n3+2n chia h t cho 3

e) 32 1n+ +2n+ 2 chia h t cho 7 f) 13n- chia h t cho 6.1

Bài 4: Ch ng minh r ng s đ ng chéo c a m t đa giác l i n c nh là n n -( 2 3)

Bài 5: Dãy s (an) đ c cho nh sau: a1= 2,an+1= 2+an v i n = 1, 2, …

Ch ng minh r ng v i m i n Ỵ N* ta cĩ: 2 cos 1

2

a = p+

DÃY S – C P S

II Dãy s

1 Dãy s

( )

u

n ®u n

a D ng khai tri n: (u n ) = u 1 , u 2 , …, u n , …

2 Dãy s t ng, dãy s gi m

· (u n ) là dãy s t ng Û u n+1 > u n v i " n Ỵ N*

Û u n+1 – u n > 0 v i " n Ỵ N* Û n 1 1

n

u

u+ > v i "n Ỵ N* ( u n > 0)

· (u n ) là dãy s gi m Û u n+1 < u n v i "n Ỵ N*

Û u n+1 – u n < 0 v i " n Ỵ N* Û n 1 1

n

u

u+ < v i "n Ỵ N* (u n > 0)

3 Dãy s b ch n

· (u n ) là dãy s b ch n trên Û $M Ỵ R: u n £ M, "n Ỵ N*

· (u n ) là dãy s b ch n d i Û $m Ỵ R: u n ³ m, "n Ỵ N*

· (u n ) là dãy s b ch n Û $m, M Ỵ R: m £ u n £ M, "n Ỵ N*

Bài 1: Hãy vi t 5 s h ng đ u c a dãy s (un) cho b i:

a)

2 2

1

u

n

-=

( 1)

n

n n u

n

+

-=

1 1

u n

-= +

3

n n

u = -ỉç ư÷

2 cos n

2

n n n

Bài 2: Hãy vi t 5 s h ng đ u c a dãy s (un) cho b i:

a) 1 2, 1 1( 1)

3

u = u + = u + b) u1=15,u2 =9,un+2 =un-un+1

c) 1 0, 1 22

1

n n

u +

+ d) u1=1,u2 = -2,un+2 =un+1-2un

Bài 3: Hãy vi t 5 s h ng đ u c a dãy s (un), d đốn cơng th c s h ng t ng quát un và ch ng minh cơng th c đĩ b ng qui n p:

a) u1=1,un+1=2un+ 3 b) 2

1 3, n 1 1 n

u = u + = +u c) u1=3,un+1=2un d) u1= -1,un+1=2un+ 1 e) u1=1,un+1=un+ 7 e) 1 5

4

u = ,

2

1

1

+

=

n

u u

n

u =2 +1- 3 b) un= n 8+ c) n

n

u =3.2 -1

d) un= - 1 e) un =7n- 6 f)

n

2

+ +

+

=

Bài 4: Xét tính t ng, gi m c a các dãy s (un) cho b i:

u

n

+

=

n

n n

( 1) 2

n n

u n

-= + d)

2 2

1 1

n n n

u

n

+ +

=

2 cos n

u

n

-=

Bài 5: Xét tính b ch n trên, b ch n d i, b ch n c a các dãy s (un) cho b i:

2

u

n

+

=

1 ( 1) n

u

n n

=

2 4 n

u =n +

d)

2 2

2 1

u

+

=

n u

=

f) ( 1) cos

2

n n

u

n

III C p s c ng

1 nh ngh a: (u n ) là c p s c ng Û u n+1 = u n + d, "n Ỵ N* (d: cơng sai)

2 S h ng t ng quát: un=u1+(n-1)d v i n ³ 2

3 Tính ch t các s h ng: 1 1

2

k

4 T ng n s h ng đ u tiên: 1 2 ( 1 )

n u u

2

n uéë + n- dùû

Bài 1: Trong các dãy s (un) d i đây, dãy s nào là c p s c ng, khi đĩ cho bi t s h ng đ u và cơng sai c a nĩ:

5

n

u =n

2

2

n n

u = -

Bài 2: Tìm s h ng đ u và cơng sai c a c p s c ng, bi t:

1 6

10 17

u u

4 6

10 26

3 14

15 18

u u

ì =

ỵ

d) 7 3

2 7

8

u u

7 15

2 2

4 12

60 1170

ï

1 3 5

1 2 3

12 8

u u u

ỵ

Bài 3: a) Gi a các s 7 và 35 hãy đ t thêm 6 s n a đ đ c m t c p s c ng

b) Gi a các s 4 và 67 hãy đ t thêm 20 s n a đ đ c m t c p s c ng

Bài 4: a) Tìm 3 s h ng liên ti p c a m t c p s c ng, bi t t ng c a chúng là 27 và t ng các

bình ph ng c a chúng là 293

b) Tìm 4 s h ng liên ti p c a m t c p s c ng, bi t t ng c a chúng b ng 22 và t ng các bình ph ng c a chúng b ng 66

Bài 5: a) Ba gĩc c a m t tam giác vuơng l p thành m t c p s c ng Tìm s đo các gĩc đĩ

b) S đo các gĩc c a m t đa giác l i cĩ 9 c nh l p thành m t c p s c ng cĩ cơng sai d = 30

Tìm s đo c a các gĩc đĩ

c) S đo các gĩc c a m t t giác l i l p thành m t c p s c ng và gĩc l n nh t g p 5 l n gĩc

nh nh t Tìm s đo các gĩc đĩ

Bài 6: Ch ng minh r ng n u 3 s a, b, c l p thành m t c p s c ng thì các s x, y, z c ng l p

thành m t c p s c ng, v i:

a) x b= 2+bc c y c+ 2; = 2+ca a z a+ 2; = 2+ab b+ 2

b) x a= 2-bc y b; = 2-ca z c; = 2-ab

Bài 7: Tìm x đ 3 s a, b, c l p thành m t c p s c ng, v i:

a) a=10 3 ;- x b=2x2+3;c= -7 4x b) a x= +1; b=3x-2;c x= 2- 1

Bài 8: Tìm các nghi m s c a ph ng trình: x3-15x2+71x-105 0= , bi t r ng các nghi m s phân bi t và t o thành m t c p s c ng

Bài 9: Ng i ta tr ng 3003 cây theo m t hình tam giác nh sau: hàng th nh t cĩ 1 cây, hàng

th hai cĩ 2 cây, hàng th ba cĩ 3 cây, … H i cĩ bao nhiêu hàng?

IV C p s nhân

1 nh ngh a: (u n ) là c p s nhân Û u n+1 = u n q v i n Ỵ N* (q: cơng b i)

1 n n

u =u q - v i n ³ 2

3 Tính ch t các s h ng: 2

1 1

u =u - u + v i k ³ 2

4 T ng n s h ng đ u tiên: 11

1 (1 )

1 1

n

n n

q

-ë

Bài 1: Tìm s h ng đ u và cơng b i c a c p s nhân, bi t:

a) 4 2

5 3

72 144

í - =

1 3 5

1 7

65 325

u u

3 5

2 6

90 240

í - = ỵ

1 2 3

14

u u u

1 2 3

21

12

ï

ï ỵ

30 340

ï í

ïỵ

Bài 2: a) Gi a các s 160 và 5 hãy chèn vào 4 s n a đ t o thành m t c p s nhân

b) Gi a các s 243 và 1 hãy đ t thêm 4 s n a đ t o thành m t c p s nhân

Bài 3: Tìm 3 s h ng liên ti p c a m t c p s nhân bi t t ng c a chúng là 19 và tích là 216

Bài 4: a) Tìm s h ng đ u c a m t c p s nhân, bi t r ng cơng b i là 3, t ng s các s h ng là

728 và s h ng cu i là 486

b) Tìm cơng b i c a m t c p s nhân cĩ s h ng đ u là 7, s h ng cu i là 448 và t ng s các

s h ng là 889

Bài 5: a) Tìm 4 gĩc c a m t t giác, bi t r ng các gĩc đĩ l p thành m t c p s nhân và gĩc cu i

g p 9 l n gĩc th hai

b) dài các c nh c a DABC l p thành m t c p s nhân Ch ng minh r ng DABC cĩ hai gĩc khơng quá 600

Bài 6: Tìm b n s h ng liên ti p c a m t c p s nhân, trong đĩ s h ng th hai nh h n s h ng

th nh t 35, cịn s h ng th ba l n h n s h ng th t 560

Bài 7: S s h ng c a m t c p s nhân là m t s ch n T ng t t c các s h ng c a nĩ l n g p 3

l n t ng các s h ng cĩ ch s l Xác đ nh cơng b i c a c p s đĩ

Bài 8: Tìm 4 s h ng đ u c a m t c p s nhân, bi t r ng t ng 3 s h ng đ u là 1489 , đ ng th i, theo th t , chúng là s h ng th nh t, th t và th tám c a m t c p s c ng

Bài 9: Tìm 3 s h ng đ u c a m t c p s nhân, bi t r ng khi t ng s th hai thêm 2 thì các s đĩ

t o thành m t c p s c ng, cịn n u sau đĩ t ng s cu i thêm 9 thì chúng l i l p thành m t

c p s nhân

Bài 10: Tìm 4 s trong đĩ ba s đ u là ba s h ng k ti p c a m t c p s nhân, cịn ba s sau là

ba s h ng k ti p c a m t c p s c ng; t ng hai s đ u và cu i b ng 32, t ng hai s gi a

b ng 24

Bài 11: Tìm các s d ng a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b l p thành m t c p s c ng và (b + 1)2

,

ab + 5, (a + 1)2 l p thành m t c p s nhân

Bài 12: Ch ng minh r ng n u 3 s 2 , ,1 2

y x y y z- - l p thành m t c p s c ng thì 3 s x, y, z l p thành m t c p s nhân

BÀI T P ÔN CH NG III Bài 1: Tính t ng : S=1.2 2.3 (+ + + n n+1)

Bài 2: Dãy s ( )u n xác đ nh b i công th c: 1

1

1

u

= ìï í

-ïî v i n ³1

Ch ng minh dãy s t ng b ng ph ng pháp quy n p

Bài 3: Cho dãy s (u n) xác đ nh b i:

4

5

1 =

2

1

1

+

=

n

u

u v i m i n³1

a) B ng ph ng pháp quy n p, ch ng minh v i m i n³1 ta có 1

2

1

1 +

= n+

n

b) Ch ng minh r ng dãy s (u n) là dãy gi m và b ch n

Bài 4: Xét tính t ng, gi m c a dãy s ( )u n v i:

n

4

n

n

Bài 5: Cho dãy s (un) xác đ nh b i u1 =2 và u n+1 = u n+ v2 i m i n ³1 Ch ng minh un = 2

v i m i n ³1 Có nh n xét gì v dãy s này ?

Bài 6: C p s c ng:

a) Tìm các nghi m c a ph ng trình: x3–15x2+71 –105 0x = Bi t r ng các nghi m này

t o thành m t c p s c ng

b) Cho m t c p s c ng bi t t ng ba s h ng đ u tiên b ng –6 và t ng các bình ph ng c a chúng b ng 30 Hãy tìm c p s c ng đó

c) Cho ph ng trình x4–(3m+4)x2+ (m+1)2 =0 nh m d ph ng trình có b n nghi m phân bi t l p thành m t c p s c ng

d) Cho các s a, b, c tho mãn 1 , 1 , 1

a b a c b c+ + + t o thành m t c p s c ng Ch ng minh

r ng a b c2, , c ng t o thành m t c p s c ng 2 2

e) N u s th p, th q và th r c a m t c p s c ng l n l t là a, b, c Ch ng minh r ng: ( – )q r a r p b p q c+( – ) +( – ) =0

f) Cho bi t t ng n s h ng c a m t c p s c ng là Sn =n n(5 –3) Tìm s h ng th p c a

c p s c ng đó

g) Cho hai c p s c ng l n l t có t ng n s h ng là Sn = n+ và 1 Tn =4n+ Tìm t7 s 11

11

u

v c a 2 s h ng th 11 c a hai c p s đó

Bài 7: C p s nhân:

a) Tìm s h ng đ u và công sai c a c p s nhân, bi t s h ng th hai là 16 và t ng ba s

h ng đ u b ng 56

b) M t c p s nhân ( )u n có 5 s h ng, bi t công b i 1

4

q = và u1+u4 =24 Tìm các s h ng

c a c p s nhân này

Bài 8: C p s c ng – C p s nhân:

a) Các s x+6 , 5y x+2 , 8y x y+ , theo th t đó l p thành c p s c ng ng th i

-x y x y theo th t đó l p thành c p s nhân Hãy tìm x và y

b) Cho 3 s có t ng b ng 28 l p thành c p s nhân Tìm c p s nhân đó bi t n u s th nh t

gi m 4 thì ta đ c 3 s l p thành c p s c ng

c) Tìm hai s a và b bi t ba s : 1, a +8, b theo th t l p thành m t c p s c ng và ba s

1, , a b theo th t l p thành m t c p s nhân

d) Ba s có t ng là 217 có th coi là ba s h ng liên ti p c a m t CSN, ho c là các s h ng

th 2, th 9 và th 44 c a m t CSC H i ph i l y bao nhiêu s h ng đ u c a CSC đ t ng

c a chúng là 280?

e) M t CSC và m t CSN có s h ng th nh t b ng 5, s h ng th hai c a CSC l n h n s

h ng th 2 c a CSN là 10, còn các s h ng th 3 b ng nhau Tìm các c p s y?

Bài 9: Cho dãy s (un) v i 2 5

n n

-+ Tính 10

S

Bài 10: Cho dãy s (un), kí hi u t ng n s h ng đ u tiên c a nó là Sn, đ c xác đ nh

2

3

7n n2

S n =

- a) Tính u1, u2, u3

b) Ch ng minh dãy s trên là m t c p s c ng và xác đ nh s h ng t ng quát c a nó