Chinh phục VD VDC new version toán

HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM I.. Tính đơn điệu của hàm số II.. Cực trị của hàm số III.. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số IV.. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số V.

HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG

CỦA ĐẠO HÀM

I Tính đơn điệu của hàm số

II. Cực trị của hàm số

III. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số

IV. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

V. Tương giao đồ thị hàm số

VI. Bài toán tổng hợp về hàm số

VII. Phép biến đổi đồ thị

VIII. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số giải phương trình – bất phương trình

IX. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

X. Bài tập rèn luyện





8 Chủ đề 1

2

 

 

A m0 B 3

2

2

2

 LỜI GIẢI

Cách 1:

2

 

  nên đặt sinx t t ;  0;1

yf t  t  t mt y t  t m

2

 

1 2

0 1

0 1

   

   

Trường hợp (1): Phương trình y 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

3

2



       

Trường hợp (2): Thỏa mãn

  

1 2

1 2

1 2

3 2 0

0

1 0 0

2

1 1 0

2

1 1 2

m m

t t

m

m

 

















     











(loại)

Ở đây ta có thể loại luôn trường hợp (2) bởi xét tổng hai nghiệm không thỏa mãn

Cách 2: Ở đây chỉ có hai trường hợp: một là vô nghiệm, có nghiệm kép;



1 Tính đơn điệu của hàm số thông thường

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

BON TIP

Nếu hàm số tg x  đồng

biến trên khoảng  a b thì ;

hàm số y f g x    đồng

biến trên  a b khi hàm số ;

 

y f t đồng biến trên

khoảng g a g b   ; .

Nhận thấy 3 phương án B, C, D cùng có số 3

2 nên ta xét

3

2 trước Do

thỏa mãn thì ta loại luôn B và D

2

2

y  t   t t    t

có nghiệm kép, thỏa mãn) Đến đây ta loại luôn B và D

2

2





 

6

y  t     t t  ,

Đáp án C.

Do 2

6 6

y  t  t m là một tam thức bậc hai có hệ số a 0 nên

1 Nếu   0 thì y cùng dấu với hệ số a (mà a0) nên hàm số luôn đồng biến

2 Nếu   0 thì phương trình y  0 có hai nghiệm phân biệt t t1; 2 Khi đó, trong

khoảng hai nghiệm thì y khác dấu với a và ngoài khoảng hai nghiệm thì y cùng

dấu với a Nên để y    0, t  0;1 thì  0;1 phải nằm ngoài khoảng hai nghiệm

Nhận xét:

Ở đầu lời giải cách 1, đã chỉ rõ rằng “ Do hàm số y sinx đồng biến trên 0;

2

nên đặt sinx t t ;  0;1 ” bởi khi đặt hàm hợp, ta cần lưu ý điều kiện của hàm

hợp Ở bài toán trên nếu thay sin x bằng cos x ; lúc này, nếu đặt cos x t và tiếp tục giải như trên thì kết quả đạt được 3

2

m là hoàn toàn sai

Thật vậy: Với 2 3; ,

2



  hàm số 3 2

2cos 3cos 2cos

y x x x nghịch biến

trên 0;

2

3

trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng 2 là

A m2. B m4. C m 1. D m0.

 LỜI GIẢI

Để hàm số đã cho nghịch biến trên một đoạn có độ dài lớn nhất bằng 2

2

 

3

0

4

3

m m

m m

 



Đáp án D.

Hình 1

O

1

y

t

Hình 2

O

1

y

t

BON TIP

Trong bài toán này do hệ số

bậc cao nhất của tam thức

2

3x  6x m là a  3 0 nên

áp dụng quy tắc “trong trái

ngoài cùng” thì trong khoảng

hai nghiệm giá trị của tam

thức sẽ mang dấu “–” nên để

hàm số ban đầu nghịch biến

trên đoạn có độ dài lớn nhất

bằng 2 thì x1x2  2.

10 Chủ đề 1

3

biến trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng 1

A. m2. B. m 4. C 15

4

4

 LỜI GIẢI

Để hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn có độ dài lớn nhất bằng 1

 

4

15

4

4

m m

m m

  



 

Đáp án C.

A. m1 B. m 1 C m1 D. 3

2

 LỜI GIẢI

y  m x    x m x   x

          

          

Đáp án C.

 LỜI GIẢI

1 0

1

m m

m

  

    



1 0

y    Hàm số đồng biến trên (thỏa mãn)

2

1

4

y x y   x

BON TIP

Hàm số bậc ba đơn điệu

(nghịch biến khi a 0 hoặc

đồng biến khi a 0 ) trên

một khoảng có độ dài lớn

nhất bằng l khi phương trình

0

y  có hai nghiệm phân

biệt x x thỏa mãn: 1; 2

BON TIP

trên D thì

   

  min  

D

Do đó, hàm số có khoảng nghịch biến, khoảng đồng biến (loại)

1 0

   

2

2

1 1

1

1 2

1

m m

m

m m

m

 

 

 



 





Vậy có vô số giá trị m thỏa mãn

Đáp án D.

   2 2 

A.5 B.6 C.7 D.8

 LỜI GIẢI

f   x x x  x m x  

Ta có g x  f3x

g x   x   f    x x 

   2 2    

x

 2    

2

3

x

x



 

 

2

(3; )

3

x m

x





2

3

x

x

3

x

 

 

2

3

x

m x



 

Vì m nguyên dương suy ra m1; 2; 3; 4; 5;6 

Đáp án B.



2 Tính đơn điệu của hàm số hợp, hàm số tổng

BON TIP

Hàm số yax3 bx2 cx d

đồng biến trên

+ Xét a 0 có thỏa mãn hay

không → Kết luận

+ Với a 0 : Hàm số bậc ba

yax bx cx d đồng

biến trên

2

0

3 0

y

a



 



FOR REVIEW

Cho hàm số y f x  có đạo

hàm trên K (K là 1 khoảng,

đoạn, hoặc nửa khoảng)

Nếu f x  0 f x  0 ,

x K

  và f x  0 chỉ tại

một số hữu hạn điểm thì hàm

số đồng biến (nghịch biến)

trên K