Phân tích: Ta đi tìm nghiệm của phương trình y 0 hoặc giá trị làm cho phương trình y 0 không xác định, từ đó tìm được các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.. Ở B và A, các đầu
Trang 1BON 1: Hàm số y x x 2 nghịch biến trên khoảng
A. 1 1
2; .
1 0 2
;
C.;0. D. 1;.
Phân tích: Ta đi tìm nghiệm của phương trình y 0 hoặc giá trị làm cho phương trình y 0 không xác định, từ đó tìm được các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số
Lời giải
Cách 1: Điều kiện: x 0;1
2
2
x
x x
2
y x
Ta có:
2
2 2
x
x x
do đó hàm số nghịch biến trên 1; 1
2
Hình 1.2 là đồ thị hàm sốy xx2 , ta thấy bài làm đã xác định đúng
Cách 2: Nhận thấy điều kiện là x 0;1, do vậy loại luôn C và D
Ở B và A, các đầu mút của các khoảng cách nhau 0,5 đơn vị, do vậy ta có thể chọn được STEP khi sử dụng TABLE trong máy tính
Giải thích:
Lệnh TABLE trong máy tính dùng để tính giá trị của hàm số tại một vài điểm
Ta có thể sử dụng chức năng tính giá trị của hai hàm số f x vàg x , hoặc chỉ tại một hàm duy nhất f x qwR52 Bởi vậy, khi sử dụng TABLE trong việc xác định hàm số đồng biến hay nghịch biến trong một khoảng là khá
dễ dàng, bởi ta chỉ cần xét xem giá trị của hàm số tăng hay giảm khi x chạy trên khoảng đó thôi
Thao tác:
1 Ấn w7 , nhập hàm số cần tính giá trị Ở chế độ mặc định w7 được thiết lập mặc định ở dạng nhập hai hàm số f x và g x , ấn qwR51 để trở
về dạng chỉ nhập một hàm số f x
2 START? Nhập x bắt đầu từ đâu
3 END? Nhập x kết thúc ở đâu
4 STEP? Bước nhảy giữa các giá trị, tính từ điểm đầu mút
Áp dụng vào bài toán này ta được:
Ấn w7, và nhập f x XX2 ấn = START? Nhập 0 =
END? Nhập 1 =
Sau khi nhập máy hiện như hình bên:
Nhận thấy từ khi x chạy từ 0 đến 0, 5 1
2
thì giá trị của hàm số tăng, tức hàm
x
O
y
1
Ở đây ta chọn STEP
với
là khoảng cần xét là
0.1 bởi khoảng khá nhỏ,
và ta cần xét tính đồng
biến nghịch biến trên 2
khoảng là
và
BON TIP
Trang 2BON 2:Cho hàm số 1 4 2
4
A.Hàm số đồng biến trên các khoảng 2; 0 và 2;
B.Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và 0; 2
C.Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2và 2;
D.Hàm số nghịch biến trên các khoảng 2; 0 và 2;
Phân tích
Hướng tư duy 1: Ta thấy hàm số 1 4 2 2 1
4
- Hệ số 1 0
4
a nên áp dụng kết quả của bài toán tổng quát phía
trên thì ta có hàm số 1 4 2
4
y x x đồng biến trên 2; 0 và 2;; nghịch biến trên ; 2 và 0; 2
Hướng tư duy 2: Xét phương trình 3
0 2
x
x Như đã giới
thiệu về cách nhớ dạng đồ thị hàm bậc bốn trùng phương có hệ số 1 0
4
a
nên ở đây ta có thể xác định nhanh hàm số đồng biến trên 2; 0 và 2;, hàm số nghịch biến trên ; 2 và 0; 2
Hướng tư duy 3: Sử dụng lệnh TABLE
Sử dụng lệnh TABLE với START là -5 và END 5, STEP 1 ta có thể xác định được: giá trị của hàm số tăng khi x chạy từ 2 đến 0 và từ 2 đến 5, giá trị của hàm số giảm khi x chạy từ -5 đến -2 và từ 0 đến 2
Do đó ta có thể xác định được hàm số đồng biến trên 2; 0 và 2; Hàm số nghịch biến trên ; 2 và 0; 2
Đáp án A BON 3:Cho hàm số y x x2 x a Tìm a để hàm số luôn nghịch biến trên
A. 1 4
a B. 1.
4
a C. 1.
4
a D. a.
Lời giải
Cách 1: Để hàm số xác định với mọi x 2
0
x x a , x
0 1 4 0 1
4
Với 1
4
a thì
Với hàm số bậc bốn trùng
phương có dạng
* Nếu thì:
1 Với thì đồ thị hàm
số có dạng chữ W
2 Với thì đồ thị hàm
số có dạng chữ M (chỉ là
mẹo nhớ đồ thị)
* Nếu thì:
1 Với đồ thị hàm số
có dạng Parabol quay bề
lõm lên trên
2 Với thì đồ thị hàm
số có dạng Parabol quay
bề lõm xuống dưới
BON TIP
Ở đây trước tiên, để hàm
số luôn nghịch biến trên
thì hàm số phải xác
định trên Do vậy ta
phải tìm điều kiện để căn
thức luôn xác định với
mọi số thực x.
BON TIP
Trang 3Tính đạo hàm:
2
1 2
x y
x x a
Hàm số đã cho luôn nghịch biến trên y 0, x Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm
2
2
x y
x x a
2
1 2
x
x x a
Lúc này: 2
1 1
2 2
1
1 4
4
x x
a a
Kết hợp với điều kiện để hàm số xác định với mọi số thực x thì ta thấy không
có giá trị nào của a thỏa mãn
Cách 2: Với x0 thì 1 1 0, 1.
4 2
Vậy không có giá trị nào của a để y 0, x
Kết quả
Sau bài toán trên ta thấy, với các bài toán hàm căn thức, hàm phân thức nếu đề bài yêu cầu tìm điều kiện của tham số để hàm số đơn điệu trên , hoặc trên
khoảng I nào đó, thì ta cần tìm điều kiện để hàm số luôn xác định trên hoặc
trên khoảng I đó
Đáp án D BON 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số
y x x m x đồng biến trên khoảng 0;
2
A. m0 B. 3
2
m C. 3
2
m D. 3
2
m
Lời giải
Cách 1: Do hàm số tsinx đồng biến trên
0;2 nên đặt sinx t t ; 0;1
Khi đó ta có hàm số y f t 2t33t2 mt y; 6t2 6tm
2
thì hàm số y f t phải đồng biến
trên 0; 1 phương trình y' 0 hoặc là vô nghiệm, có nghiệm kép (1) ; hoặc
là có hai nghiệm t1t2 thỏa mãn 1 2
1 2
0 1
0 1
t t
t t
Trường hợp (1): phương trình y 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép
3
2
Nếu phương trình
vô nghiệm hoặc
có nghiệm kép thì
hàm số luôn đồng biến trên
BON TIP
Đến đây nhiều độc giả
chọn luôn B, hoặc C là sai,
nên kết hợp cả điều kiện
ban đầu, từ đó rút ra kết
luận.
BON TIP
Trang 4Trường hợp (2): Thỏa mãn
1 2
1 2
1 2
0 0 0
0
1 2
t t
t t
t t
3 2 0 6
1 0
3 2
1 1 0 6
1 1 2
m m
m m
(loại)
Ở đây ta có thể loại luôn trường hợp (2) bởi xét tổng hai nghiệm không thỏa mãn
Cách 2: Ở đây chỉ có hai trường hợp: một là vô nghiệm, có nghiệm kép; hai là
0; 1 nằm ngoài khoảng hai nghiệm
Nhận thấy 3 phương án B, C, D cùng có số 3
2 nên ta xét
3
2 trước Do phương
án C có dấu do vậy, ta sẽ xét dấu bằng trước, nếu dấu bằng thỏa mãn thì ta loại luôn B và D
2
m thì
2
y t t t t
(phương trình ' 0y có nghiệm kép, thỏa mãn) Đến đây ta loại luôn B và D
Hình 1.4 là đồ thị hàm số y f t khi 3.
2
m
Tiếp theo ta chỉ cần xét đến A Ta sẽ thử 1 3;
2
m
6
y t t t , nhận xét 0 3 3 3 3 1
(không thỏa mãn) Vậy loại A, chọn C
Hình 1.5 là đồ thị hàm số y f t khi m1 Vậy suy luận của ta là đúng
y t t m là một tam thức bậc hai có hệ số a0 nên
1 Nếu 0 thì y cùng dấu với hệ số a (mà a0) nên hàm số luôn đồng biến
2 Nếu 0 thì phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt t t1; 2 Khi đó, trong khoảng hai nghiệm thì y khác dấu với a và ngoài khoảng hai nghiệm thì y cùng
dấu với a Nên để y 0, t 0;1 thì 0;1 phải nằm ngoài khoảng hai nghiệm
Nhận xét:
Ở đầu lời giải cách 1, tôi có chỉ rõ rằng “ Do hàm số y sinx đồng biến trên
0;2
nên đặt sinxt t; 0; 1 ” bởi khi đặt hàm hợp, ta cần lưu ý điều kiện của hàm hợp Ở bài toán trên nếu thay sin x bằng cos x ; lúc này, nếu đặt cos x t và tiếp tục giải như trên thì kết quả đạt được 3
2
m là hoàn toàn sai
Thật vậy: Với 2 3; ,
2
hàm số
y x x x nghịch biến
trên 0;
2
Đáp án C
Hình 1.4
O
1
y
t
Hình 1.5
O
1
y
t
Trang 5BON 5: Cho hàm số 3 2
yx x m x m Tìm m sao cho đồ thị hàm
số có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho
A m 0; : 2mx y 2m 2 0. B m0; : 2mx y 2m 2 0
C m0; :y202 200 x D m0; :y202200 x
Lời giải
Ta có y 3x26x3 1 m, y 6x6
m m 0 Với m0 thì ta thực hiện:
Chuyển máy tính sang chế độ MODE 2:CMPLX
18
y
y y
a
18
X
X X M X M X X M
Ấn CALC
Máy hiện X? nhập i =
Máy hiện M? nhập 100 = Khi đó máy hiện kết quả là 202 200i
Ta thấy 202 200 i2.100 2 2.100. i y 2m 2 2mx Vậy phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho có dạng 2mx y 2m 2 0
Ta rút ra kết luận về cách làm dạng toán viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm bậc ba này như sau:
Bước 1: Xác định y y ;
Bước 2: Chuyển máy tính sang chế độ tính toán với số phức:
MODE 2:CMPLX Nhập biểu thức
18
y
y y
a
Chú ý:
Nếu bài toán không chứa tham số thì ta chỉ sử dụng biến X trong máy, tuy nhiên nếu bài toán có thêm tham số, ta có thể sử dụng các biến bất kì trong máy để biểu thị cho tham số đã cho, ở trong sách này ta quy ước biến M để dễ định hình
Bước 3: Gán giá trị
Ấn CALC , gán X với i, gán M với 100
Lúc này máy hiện kết quả, từ đó tách hệ số và i để đưa ra kết quả cuối cùng
Đáp án B
Với những dạng toán này,
ta lưu ý rằng trước tiên, ta
cần tìm điều kiện để hàm
số có hai cực trị.
BON TIP
Với bước cuối cùng, ta cần
có kĩ năng khai triển đa
thức sử dụng máy tính
cầm tay
BON TIP
Trang 6BON 6: Xét hai hàm số f x x4 2x2 1 và hàm số 1 4 2 5
g x x x Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:
A Hàm số f x có hai điểm cực đại là A 1; 2 và B1; 2
B Hàm số f x có điểm cực tiểu là x0 và hàm số g x có giá trị cực đại
là 5 4
y
C Hàm số f x có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại, hàm số g x có một điểm cực đại
D Hàm số f x và hàm số g x cùng có điểm cực tiểu là x0
Lời giải
Từ bài toán xét sự biến thiên tổng quát của hàm số bậc bốn trùng phương mà tôi đã giới thiệu ở phần trước thì ta có:
Hàm số f x x4 2x2 1 có b 2 0
a nên phương trình f x 0 có ba
nghiệm phân biệt là
0
1
2 1 2
x
b x
a b x
a
Kết hợp với lý thuyết trang 28, do f x có hệ số a 1 0 ta có nhanh bảng biến thiên:
x 1 0 1
f x 0 0 0
f x 2 2
1
* Từ đây ta loại C do hàm số f x có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu
* Ta loại A do hàm số f x có hai điểm cực đại là x 1 và x1 Còn A1; 2
và B 1; 2 là hai điểm cực đại của đồ thị hàm số, chứ không phải của hàm số
(xem lại chú ý đầu tiên (phần mở đầu chủ đề cực trị của hàm số) về phân biệt các khái niệm)
* Để loại một trong hai phương án B và D còn lại ta tiếp tục xét hàm số g x
y x x y x
Bảng biến thiên:
x 0
f x 0
f x 5
4
Từ BBT ta loại D do x0 là điểm cực đại của hàm số g x
Đáp án B
Đối với hàm bậc bốn
trùng phương có dạng
thì nếu:
+) thì hàm số có một
điểm cực trị là
+) thì hàm số có ba
điểm cực trị là
BON TIP
Trang 7BON 8: Đường cao tốc mới xây nối hai thành phố A và B, hai thành phố này muốn xây một trạm thu phí và trạm xăng ở trên đường cao tốc như hình vẽ Để tiết kiệm chi phí đi lại, hai thành phố quyết định tính toán xem xây trạm thu phí ở vị trí nào để tổng khoảng cách từ hai trung tâm thành phố đến trạm là ngắn nhất, biết khoảng cách từ trung tâm thành phố A, B đến đường cao tốc lần
lượt là là 60 km và 40 km và khoảng cách giữa hai trung tâm thành phố là 120
km (được tính theo khoảng cách của hình chiếu vuông góc của hai trung tâm thành phố lên đường cao tốc, tức là PQ kí hiệu như hình vẽ) Tìm vị trí của trạm
thu phí và trạm xăng? Giả sử chiều rộng của trạm thu phí không đáng kể
Lời giải
Thực chất bài toán trở thành tìm x để ACBC nhỏ nhất
Theo định lí Pytago ta có
Ta cần tìm f x
0;120
Ta có
120
f x
bằng cách nhập vào màn hình biểu thức f x và ấn SHIFT SOLVE và chọn một số nằm trong khoảng 0; 120 để dò nghiệm, chẳng hạn nhập 2 máy nhanh chóng hiện nghiệm là 72 như sau:
A
B
60
40
120
x
A
C
B
60
40
Thường các bài toán thực
tế, dùng Solve dò nghiệm
sẽ rất nhanh Ta sẽ tìm
hiểu ở phần sau
BON TIP
Trang 8BON 9: Để hàm số yx4 6mx2 m có 2
y 2;1
4 max
9thì giá trị của tham số thực
m là
4
3
Lời giải
Đầu tiên ta gán các giá trị ở các phương án lần lượt vào các biến A, B, C, D bằng lệnh STO như sau:
Tương tự với B, C, D
Lúc này ta kiểm tra hai phương án A, B thì ta nhập hàm
4 2 2
g x X 6.BX B như hình bên
Tiếp theo nhập Start? -2; End? 1 Step? 0,2 Ta thấy các giá trị của hàm số ở hai
trường hợp m hiện như sau:
Ta thấy khi m0 thì hàm số không đạt giá trị lớn nhất bằng 4
9(loại)
Ở trường hợp 2
3
m thì hàm số đạt giá trị lớn nhất là 4
9 khi
2 0
x
x
Đáp án B BON 7: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
x
g x
2
sin sin 1 lần lượt là
A. maxg x 1; ming x 2 B. maxg x 0; ming x 1
C. maxg x 1; ming x 0 D. maxg x 1; ming x 1
Lời giải
Ta có
2
x x x x
Tập xác định D Đặt tsin ,x t 1; 1 Lúc đó 2 1
; 1; 1 1
t
t t
2
2 2
2
; 1
t t
f t
t t
t
f t
t
Ở các bài toán dạng này ta
thấy do đề bài chỉ có 4
phương án, nên ta chỉ cần
thử 2 lần là có được kết
quả
BON TIP
Nếu khảo sát trực tiếp
hoặc dùng miền giá trị
đều dẫn đến tính toán
phức tạp Phương pháp
đổi biến trong trường hợp
này rất hiệu quả Chú ý
khi đổi biến ta cần tìm
điều kiện của biến mới
Trang 9Bảng biến thiên
x 1 0 1
y + 0
y 1
2
3 0 Dựa vào bảng biến thiên ta có
1;1
maxg x max f t 1 sinx 0
x k ;k .
1;1
2
Đáp án C BON 10: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2
2
y
x x
A. x3 và x 2 B. x 3
Lời giải
Điều kiện xác định của hàm số là
3 2
x
x
Ta có
y
2
Đến đây ta có
x y
;
3
Vậy đồ thị hàm số chỉ có một tiệm cận đứng là x3
Phân tích sai lầm: Nhiều độc giả không thực hiện rút gọn nhân tử x2 dẫn đến chọn hai tiệm cận đứng là x2;x3 là sai
Đây cũng chính là ứng dụng của lý thuyết về tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
ở phía trên Một cách khác để nhanh chóng giải bài toán trên như sau:
3
x
x x
x
2 Thử xem x2;x3 có phải nghiệm của đa thức tử số hay không, thử lại thấy
3
x không là nghiệm (thỏa mãn)
Đáp án D
3
O
x
y
Đồ thị hàm số
- Bước 1: Tìm nghiệm của
phương trình mẫu
- Bước 2: Xem các nghiệm
đó có phải là nghiệm của
tử số không (bằng cách
thay hoặc thử trực tiếp)
- Kết luận
BON TIP
Từ bài toán này ta đưa ra
ứng dụng sau: Xác định m
để phương trình
Ta có:
có nghiệm khi
BON TIP
Trang 10MŨ LOGARIT CHỌN LỌC
BON 1: Cho hàm số y log2020 1
x
có đồ thị C và hàm số 1 y f x có đồ thị
C2 Biết C và 1 C2 đối xứng nhau qua gốc tọa độ Hỏi hàm số y f x nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
A. ; 1 B. 1; 0 C. 0;1 D. 1;
Lời giải
Ta có:
1
Gọi C là đồ thị đối xứng của C qua trục Ox 1
C là đồ thị của hàm số ylog2020x Nhận thấy C2 đối xứng với C qua trục Oy C2 là đồ thị của hàm số
log2020
y x , hay f x( ) log 2020 x , với x0.
Do đó: g x f x log2020 x log2020 x 2
2020
1
.ln 2020 log
x
g x x
hay hàm số y f x nghịch biến trên khoảng ; 1
Đáp án A BON 2:Cho ,a b là các số thực và hàm số:
log2021 2 1 sin os 2020 6
Biết ln 2021
2021
Lời giải
Xét hàm số g x f x 6 alog2021 x2 1 xbsin cos 2020x x
Do x2 1 x x x 0 nên hàm số g x có tập xác định D =
Ta có: x D x D
và
2 2021
2021 2
2021
2
2021 2
1
1
g x g x
+ Đồ thị hàm số
lấy đối xứng qua trục Ox
được đồ thị hàm số
+ Đồ thị hàm số
lấy đối xứng qua trục Oy
được đồ thị hàm số
BON TIP
+ Cho hàm số xác
định trên D được gọi là
hàm số chẵn nếu
+ Cho hàm số xác
định trên D được gọi là
hàm số lẻ nếu
BON TIP