Chinh phục VD VDC toán 12

Tính đơn điệu của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối .... Cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối .... Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số thông thường .... Giá trị lớn n

CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM 7

I Tính đơn điệu của hàm số 7

1 Tính đơn điệu của hàm số thông thường 7

2 Tính đơn điệu của hàm số hợp, hàm số tổng 10

3 Tính đơn điệu của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 16

II Cực trị của hàm số 21

1 Cực trị của các hàm số thông thường 21

2 Cực trị của hàm số hợp, hàm số tổng 24

3 Cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 32

III Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số 47

1 Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số thông thường 47

2 Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số hợp, hàm số tổng 48

3 Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 51

4 Bài toán biện luận min – max có chứa tham số 53

5 Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất trong các bài toán thực tế 59

6 Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất hàm số nhiều biến số 63

IV Đường tiệm cận của đồ thị hàm số 66

V Tương giao đồ thị hàm số 75

VI Bài toán tổng hợp về hàm số 96

VII Phép biến đổi đồ thị 104

VIII Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số trong việc giải phương trình – bất phương trình 114

IX Tiếp tuyến của đồ thị hàm số 136

X Bài tập rèn luyện 150

MỤC LỤC

I Bài toán về hàm số lũy thừa, mũ và logarit 164

II Phương trình mũ và logarit 175

1 Bài toán về nghiệm của phương trình mũ và logarit 175

2 Biện luận nghiệm của phương trình chứa tham số 178

3 Phương pháp hàm số giải phương trình mũ, logarit 187

III Bất phương trình mũ và logarit 199

1 Bài toán về nghiệm của bất phương trình mũ và logarit 199

2 Biện luận nghiệm của bất phương trình chứa tham số 203

3 Phương pháp đánh giá, hàm đặc trưng 214

IV Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của biểu thức có chứa mũ và logarit 218

1 Phương pháp hàm số 218

2 Phương pháp chuyển về một biến để xét bảng biến thiên 230

3 Sử dụng bất đẳng thức 235

4 Đánh giá GTLN – GTNN bằng hình học 238

V Ứng dụng trong bài toán thực tế 241

VI Bài toán tổng hợp 244

VII Bài tập rèn luyện 249

CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 256

I Nguyên hàm 256

1 Phương pháp tính nguyên hàm 256

2 Nguyên hàm hàm ẩn 257

3 Nguyên hàm hàm số nhiều công thức 261

II Tích phân 263

1 Phương pháp tính tích phân 263

3 Sử dụng định lý đặc biệt 281

4 Tích phân hàm số nhiều công thức 285

5 Bài toán tổng hợp về tích phân 289

III Ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng và thể tích vật thể 292

1 Hình phẳng cho bởi công thức hàm tường minh 292

2 Hình phẳng cho bởi đồ thị và hàm ẩn 302

3 Thể tích vật thể, khối tròn xoay 311

IV Bài tập rèn luyện 318

CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC 322

I Bài toán xác định các thuộc tính của số phức 322

II Phương trình bậc hai trong tập số phức 334

III GTLN – GTNN biểu thức chứa số phức 337

IV Bất đẳng thức môđun tìm GTLN-GTNN biểu thức chứa số phức 347

V Hình học hóa bài toán số phức 350

VI Bài toán tổng hợp 379

VII Bài tập rèn luyện 384

CHỦ ĐỀ 5: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN 387

I Thể tích khối đa diện: Khối chóp, khối lăng trụ 387

II Liên hệ thể tích các khối đa diện (phân chia, lắp ghép, tỉ số thể tích) 397

III Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất thể tích khối đa diện 408

IV Bài tập rèn luyện 423

CHỦ ĐỀ 6: KHỐI TRÒN XOAY 425

I Mặt nón – khối nón 425

II Mặt trụ – khối trụ 430

IV Bài toán tổng hợp khối tròn xoay 446

V Bài tập rèn luyện 450

CHỦ ĐỀ 7: PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 454

I Bài toán về điểm, đường thẳng, mặt phẳng trong không gian 454

II Bài toán về mặt cầu: tiếp tuyến, tiếp diện và các bài toán có yếu tố mặt cầu 470

III Cực trị trong hình học không gian 487

IV Tọa độ hóa hình học không gian thuần túy 516

V Bài toán về khối đa diện, khối tròn xoay có yếu tố tọa độ 518

VI Bài toán tổng hợp 529

VII Bài tập rèn luyện 535

CHỦ ĐỀ 8: TỔ HỢP – XÁC SUẤT 539

Bài tập rèn luyện 553

CHỦ ĐỀ 9: GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN 555

I Tính góc trong không gian 555

II Tính khoảng cách trong không gian 572

III Bài tập rèn luyện 583

CHỦ ĐỀ 1: HÀM SỐ VÀ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1 Tính đơn điệu của hàm số thông thường

BON 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số

y x x m x đồng biến trên khoảng 0; .

  thì hàm số y f t  phải đồng biến trên

 0;1  phương trình y 0 hoặc là vô nghiệm, có nghiệm kép (1); hoặc là có

hai nghiệm t1t2 thỏa mãn 1 2

0

1 00

m m

(không thỏa mãn) Vậy loại A, chọn C

Hình 2 là đồ thị hàm số yf t  khi m1 Vậy suy luận của ta là đúng

Đáp án C

Do y 6t2 6t m là một tam thức bậc hai có hệ số a0 nên

1 Nếu  0 thì y cùng dấu với hệ số a (mà a0) nên hàm số luôn đồng biến

2 Nếu  0 thì phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt t t1; 2 Khi đó, trong khoảng hai nghiệm thì y khác dấu với a và ngoài khoảng hai nghiệm thì y cùng

dấu với a Nên để y   0, t  0;1 thì  0;1 phải nằm ngoài khoảng hai nghiệm

m m

Trong bài toán này do hệ số

bậc cao nhất của tam thức

là

nên áp dụng quy tắc “trong

trái ngoài cùng” thì trong

khoảng hai nghiệm giá trị

của tam thức sẽ mang dấu

“–” nên để hàm số ban đầu

nghịch biến trên đoạn có độ

dài lớn nhất bằng 2 thì

STUDY TIP

(nghịch biến khi hoặc

đồng biến khi ) trên

STUDY TIP

12

1

m m

m

m m

2 Tính đơn điệu của hàm số hợp, hàm số tổng

BON 6: Cho hàm số y f x  có đạo hàm    2 2 

số nguyên và có đồ thị như hình vẽ bên Gọi m là số giá trị nguyên của tham số 1

m để hàm số yg x  f x 22x m  nghịch biến trên khoảng  1; 2 ; m là số 2

giá trị nguyên của tham số m để hàm số y h x   f x 24x m  đồng biến trên khoảng  1; 2 Khi đó, m1m2 bằng

Lời giải

Từ đồ thị của hàm số y f x 2019 dịch sang phải 2019 đơn vị để thu được

đồ thị hàm số y f x  Bảng xét dấu của yf x  như sau:

thì

STUDY TIP

x x x

x x

Do đó để thoả mãn điều kiện g x  đồng biến trên khoảng  ; 2 thì hàm số

như hình vẽ Biết rằng hai hàm số y f 2x 1

và y3g ax b   a b,   có cùng khoảng đồng biến Giá trị của biểu thức a2b bằng

x g'(x)

Khi giải bài toán chứa hàm

hợp ta phải luôn phân biệt

Suy ra hàm số y3g ax b   đồng biến trên khoảng 1 b;1 b

b a

b a

bốn Đồ thị hàm y f x 1 được cho trong hình

vẽ bên Hàm số     2

g x  f x  x  x đồng biến trên khoảng nào sau đây?

x x

BON 12: Cho hàm số y f x , biết f x x33x1 Có bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m thuộc đoạn 5; 5 sao cho hàm số

m m

Ta có bảng xét dấu như sau:

Dựa vào bảng xét dấu, ta suy ra: f x 2021 0,   x  3; 2

+ 0 _

–3 _

Trong dạng toán tìm điều

kiện của tham số m để hàm

nên dấu của

phụ thuộc vào dấu của

, từ đó ta mới

có bảng xét dấu như bên

STUDY TIP

3 Tính đơn điệu của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

BON 14: Gọi S là tập tất cả giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn 10;10

2

mx m y

- Cho hàm số yf x  xác định trên    ; , khi đó hàm số y f x  đồng biến trên    ;  thì có hai trường hợp sau:

Hai trường hợp này ta có thể

sử dụng mẹo nhớ như sau:

STUDY TIP

Đồng biến và không âm

Nghịch biến và không dương

- Cho hàm số y f x  xác định trên   ; , khi đó hàm số y f x  đồng biến trên   ; thì có hai trường hợp sau:

- Các dạng đồng biến y f x  trên  ; a ,  ;  ta thực hiện tương tự

- Tương tự với câu hỏi liên quan đến tính nghịch biến của hàm số

BON 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  20;20 để hàm số

BON 16: Cho hàm số y f x  liên tục trên Biết f   2 3 và có đồ thị

biến thiên của từ

việc suy diễn bảng biến

thiên của

Giữ nguyên phần đồ thị

hàm số phía trên

Ox, lấy đối xứng phần dưới

Ox qua Ox Tuy nhiên ta

chưa so sánh được với

0 nên cần sử dụng diện tích

hình phẳng để so sánh (sau

khi học chương tích phân)

STUDY TIP

BON 17: Cho hàm số bậc bốn f x ax4bx3cx2dx e a b c d e  , , , ,  , biết 1

12

c f

a f

f x    x (tìm ra f x bằng cách lấy nguyên hàm, sau khi học  

xong Nguyên hàm – Tích phân, độc giả quay về đọc tiếp bài toán này)

BON 18: Cho hàm số y f x  là một hàm đa thức có bảng xét dấu của f x 

như sau:

Hàm số    2 

g x  f x  x nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

A. 0;1 2

22

– 0 +

–1 +

- Nhận thấy

nên nếu

- Bài toán trở nên dễ dàng

nếu ta vẽ bảng biến thiên

của sau đó suy diễn ra

bảng biến thiên của

bằng cách:

+ Giữ nguyên phần đồ thị

nằm bên phải trục

tung, bỏ đi phần đồ thị nằm

bên trái trục tung

+ Lấy đối xứng đồ thị đó qua

trục tung

STUDY TIP

II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

1 Cực trị của các hàm số thông thường

y x  mx  Gọi S là tập các giá trị của tham số m

để đồ thị hàm số  1 có ba điểm cực trị nằm trên đường tròn có bán kính R1

Tam giác ABC có bán kính

đường tròn ngoại tiếp

MEMORIZE

BON 2: Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu

Đường thẳng  cắt đường tròn tâm I 1;1 , bán kính R1 tại hai điểm phân

2 2

Vậy diện tích tam giác IAB đạt giá trị lớn nhất khi 2 3

2

Đáp án B BON 3: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số a để đồ thị hàm số

y  x  a  a x  có ba điểm cực trị và ba điểm cực trị đó tạo thành

một tam giác có chu vi bằng 2 2 2 Số tập hợp con của tập hợp S là

Chu vi tam giác ABC là AB BC CA  2m 2 m2m 8

Theo giả thiết ta có 2m2 m2m8  2 2 2

13

y x mx  m  x có hai điểm cực trị A và B nằm khác phía và cách

đều đường thẳng :d y5x9. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

Lời giải

Đạo hàm: y x22mx m 21 Đạo hàm cấp hai: y 2x2m

Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B nằm khác phía và cách đều đường

thẳng :d y5x9, ta phải có:

+ Trung điểm của AB là I phải nằm trên đường thẳng d (1)

Khi hàm số bậc ba

có hai điểm cực trị, đường

thẳng đi qua hai điểm cực trị

của đồ thị hàm số có phương

trình

STUDY TIP

Xét (1): I chính là điểm uốn (hay tâm đối xứng) của đồ thị hàm số, có hoành độ

là nghiệm của phương trình: y   0 x m

3

1

;3

Kiểm tra tọa độ điểm A,B với các trường hợp của m, ta thấy A, B đều không nằm trên đường thẳng d

Vậy có ba giá trị của m thỏa mãn

Tổng các giá trị của m thỏa mãn bằng 0

Đáp án D

y m x  m  m x  m x Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị nằm

về hai phía của trục Oy Tổng tất cả các phần tử của S là

Để hàm số có hai điểm cực trị nằm về hai phía trục Oy thì phương trình y 0

có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

; 11; 00

0;11;

x u’(x)

–∞

u(x)

–1

1 _

+∞

+

+∞

0 +∞

a4

u(x) f(u(x))

x f'(x)

Ví dụ: + Trên đoạn trục đầu

tiên là dựa vào

x x x x x

x y

PT có nghiệm phân biệt 2 và PT có nghiệm kép/ vô nghiệm

PT có nghiệm phân biệt 2 và PT có nghiệm kép/ vô nghiệm

PT và có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm loại

m m

0 5

50

m

m m

Do đó ta có bảng biến thiên sau:

Vậy hàm số y f2 x 3 đạt cực đại tại x0,y   0  f 2    3 2 3 5Vậy tọa độ điểm cực đại là  0; 5

Đáp án A BON 11: Cho hàm số f x có đạo hàm cấp hai   f x và bảng biến thiên của

–2

+ +

f’(x)

2

–3 –3

số y f x  như hình vẽ bên dưới Hỏi hàm số y f x 2 có bao nhiêu điểm cực đại và bao nhiêu điểm cực tiểu?

A 2 điểm cực đại, 1 điểm cực tiểu B 2 điểm cực tiểu, 1 điểm cực đại

C 2 điểm cực đại, 3 điểm cực tiểu D 2 điểm cực tiểu, 3 điểm cực đại

0

3

x x

x x x

Lý giải cho (I):

Nghiệm của phương trình

x x

+ +

+ +

+

Bước 2: Vẽ bảng biến thiên của f x 

Từ đồ thị hàm số y f x  ta thấy trên  ; 2 thì f x 0; trên  2;  thì

22

x x

x x

BON 15: Cho y f x  là hàm số xác định và có đạo hàm trên Biết rằng hàm

số yf3 2 x có bảng xét dấu như sau:

Hàm số y f x  có bao nhiêu điểm cực đại?

x x

35

u u

f u

u u

u x

+

3 Cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

BON 16: Cho hàm số y f x có đạo hàm   f x   x7 x29 ,  x Có bao

nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số    3 

h x  có ít nhất một nghiệm bội lẻ dương     7 m 0 m 7

Có tất cả 6 giá trị nguyên dương của tham số m thỏa mãn đề bài

Đáp án A Bài tập tương tự:

1 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x   x8 x29 ,  Có bao nhiêu giá

trị nguyên dương của tham số m để hàm số g x  f x 3  6xm có ít nhất 3 điểm cực trị?

2.Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x   x10 x225 ,  x Có bao nhiêu

giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g x  f x 3  8xm có ít nhất 3 điểm cực trị?

3 Cho hàm số yf x  có đạo hàm f x   x9 x216 ,  x Có bao nhiêu

giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số g x  f x 3  7xm có ít nhất 3 điểm cực trị?

Đáp án: 1B; 2A; 3D

x y’

 , với m là tham số Gọi a là

giá trị nguyên nhỏ nhất của m để hàm số có ít điểm cực trị nhất; A là giá trị

nguyên lớn nhất của m để hàm số có nhiều điểm cực trị nhất Giá trị của A a

số y f x  có nhiều điểm cực trị nhất là 4 điểm

Đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số y g x   tại ít điểm nhất là 1 điểm khi

–1 –∞

nghiệm đơn hoặc nghiệm

bội lẻ của phương trình

BON 18: Hình vẽ bên dưới là đồ thị của hàm số y f x 

Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số

Do đó đồ thị hàm số yf x 1 có 3 điểm cực trị và có 4 giao điểm với Ox

Để được đồ thị hàm số y f x  1 m với m nguyên dương ta phải tịnh tiến

đồ thị hàm số y f x 1 lên trên m đơn vị

Để thỏa mãn điều kiện đề bài thì đồ thị hàm số y f x  1 m cắt Ox tại đúng

2 điểm (không phải là điểm cực trị của chính nó), do đó

Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để m0;6 ; 2 m để hàm số

Hàm số y k x   có 4 điểm cực trị dương khi và chỉ khi phương trình (1), (2), (3)

có đúng 3 nghiệm dương phân biệt khác 1

Hàm số y f x 3 có bao nhiêu điểm cực trị?

–

x f'(x)

tại 4 điểm phân biệt

Quan sát bảng biến thiên, ta

xác định được giá trị của m

dấu của trên các

khoảng còn lại dựa theo quy

tắc:

- Nếu là nghiệm bội lẻ

của thì đổi dấu

khi x đi qua

- Nếu là nghiệm bội chẵn

của thì không

đổi dấu khi x đi qua

STUDY TIP

Quan sát bảng biến thiên, ta thấy để hàm số y 3x44x312x2m có 7 cực trị

thì m     5 0 m 0 m 5 Do m nên m1; 2; 3; 4

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn

Đáp án D BON 22: Cho f x  là hàm số có đạo hàm f x  liên tục trên và có bảng biến thiên của f x  như sau:

Tìm số điểm cực tiểu của hàm số    3

BON 23: Cho f x  là hàm số bậc bốn thỏa mãn f 0 0 Hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số g x  f x 3 3x có bao nhiêu điểm cực trị?

y m x  x  m x Có tất cả bao nhiêu giá trị

nguyên của tham số m để hàm số y f x  có đúng 3 điểm cực trị?

0

+∞

h’(x)

h (x)