Tài liệu Chương 1: Giới thiệu về tín hiệu và hệ thống pdf

Như thế, làm cách nào để đolường một tín hiệu tồn tại trong một khoảng thời gian với biên độ có thay đổi dùng chỉmột con số nhằm chỉ thị kích thước hay cường độ của tín hiệu?. Gọi đo lườ

CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU VỀ TÍN HIỆU VÀ HỆ THỐNG

Nội dung

1.1 Phân loại tín hiệu

1.2 Các mô hình và phép tính tín hiệu

1.3 Phân loại hệ thống

1.4 Mô hình hệ thống: Mô tả quan hệ ngõ vào – ngõ ra hệ thống

Tài liệu tham khảo:

B.P Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998

Chương trình bày một số đặc tính cơ bản của tín hiệu, đồng thời giới thiệu các ýniệm cơ bản chính và giải thích định tính phương thức hoạt động của hệ thống, tạo cơ sởcho phần còn lại của tài liệu

Tín hiệu

Tín hiệu là tập các thông tin hay dữ liệu, Thí dụ tín hiệu trong điện thoại haytruyền hình, doanh số bán của một công ty, hay chỉ số giá chứng khoán hàng ngày (thí dụchỉ số Dow Jones) Các thí dụ trên cho thấy tín hiệu là hàm theo biến thời gian độc lập,tuy không phải lúc nào cũng đúng Thí dụ điện tích được phân bố trong một vật thì tínhiệu là điện tích lại phụ thuộc nhiều vào yếu tố không gian, không phải là thời gian Tàiliệu này quan tâm chủ yếu đến các tín hiệu phụ thuộc theo thời gian Tuy nhiên, phươngthức này còn áp dụng được cho các dạng biến độc lập khác

Hệ thống

Hệ thống xử lý các tín hiệu, nhằm thay đổi hay lấy thêm thông tin từ tín hiệu Thí

dụ, người lính phòng không cần thông tín từ mục tiêu di động của đối phương mà radarcủa mình đang theo bám Thông qua xử lý đúng tín hiệu radar (ngõ vào), anh ta có thểước lượng được vị trí sắp tới của mục tiêu Như thế, hệ thống là một thực thể (entity)nhằm xử lý tập các tín hiệu (ngõ vào) để tạo một tập tín hiệu khác (ngõ ra) Hệ thống cóthể được tạo lập từ các thiết bị vật lý, như các hệ thống điện, hệ thống cơ, hay thủy lực(phần cứng), hay có thể là một thuật toán để tính toán ngõ ra khi có tín hiệu ngõ vào(phần mềm)

1.1 Kích thước của tín hiệu (đo lường tín hiệu)

Kích thước của một thực thể là con số nhằm chỉ thị độ lớn hay cường độ của thựcthể này Nói chung, biên độ tín hiệu thay đổi theo thời gian Như thế, làm cách nào để đolường một tín hiệu tồn tại trong một khoảng thời gian với biên độ có thay đổi dùng chỉmột con số nhằm chỉ thị kích thước hay cường độ của tín hiệu? Đo lường này không chỉxem xét về tín hiệu biên độ, mà còn xem xét đến thời gian tồn tại Thí dụ nếu ta có ýđịnh chỉ dùng một số V để đo kích thước của con người, ta không chỉ xem xét vòng ngực

mà còn phải xem thêm về chiều cao Nếu ta dùng giả thiết là hình dạng con người là mộthình khối tròn có bán kính r (thay đổi theo chiều cao h) thì đo lường hợp lý kích thướccủa người có chiều cao H là thể tích V, cho theo công thức:

 r h dh V

0

2 ( )



Năng lượng tín hiệu

Từ đó, tiếp tục xem xét vùng điện tích của tín hiệu f(t) như phép đo kích thước, do

phần này không chỉ dùng biên độ, mà còn quan tâm đến thời gian tồn tại của tín hiệu Tuy

nhiên, phương pháp này có thể cho kết quả đo lường sai khi f(t) là tín hiệu lớn, tạo các

vùng diện tích có giá trị dương và giá trị âm, có khả năng triệt tiêu nhau, làm cho phép đo

có giá trị nhỏ hơn giá trị thực Vấn đề này được hiệu chỉnh bằng cách định nghĩa kích

thước của tín hiệu là vùng điện tích của f 2 (t), là vùng điện tích luôn có giá trị dương Gọi

đo lường này là năng lượng tín hiệu E f, được định nghĩa (cho tín hiệu thực) là:

Công suất tín hiệu

Năng lượng tín hiệu cần hữu hạn để đo lường được kích thước tín hiệu, Điều kiệncần để năng lượng hữu hạn là biên độ tín hiệu  0 khi t   (xem hình 1.1a), nếukhông tích phân trong phương trình (1.1) sẽ không hội tụ

Trong một số trường hợp, thí dụ khi biên độ của f(t) không  0 khi t  ,(hình 1.1b), thì năng lượng tín hiệu là vô hạn Trường hợp này, cần đo kích thước tín hiệutheo trị trung bình theo thời gian của năng lượng, nếu tồn tại Đo lường này gọi là côngsuất của tín hiệu

Định nghĩa công suất P f của tín hiệu f(t) là:

    /2

2 /

2 ( ) 1

T T

T P

(1.3)

Khi f(t) là tín hiệu phức, ta có công thức tổng quát:

    /2

2 /

2

) (

1

T T

T P

(1.4)

Ta thấy là công suất tín hiệu P f là trung bình theo thời gian của bình phương biên

độ tín hiệu, tức là trị bình phương trung bình của f(t) Hơn nữa, căn bình phương của P f

là trị rms (root mean square) của f(t)

Trung bình của tín hiệu trong khoãng thời gian dài vô hạn tồn tại nếu tín hiệu làtuần hoàn hay statistical regularity Khi không thỏa điều kiện này thì có thể không tồn tại

trị trung bình Thí dụ, tín hiệu hàm dốc f(t) = t tăng vô hạn khi t  , như thế khôngtồn tại công suất cũng như năng lượng của tín hiệu này

Nhận xét

Năng lượng tín hiệu được định nghĩa từ phương trình (1.1) và (1.2) không chỉ thịnăng lượng thực của tín hiệu do năng lượng tín hiệu không chỉ phụ thuộc vào tín hiệu màcòn phụ thuộc vào tải của tín hiệu Năng lượng này có thể được biểu diễn như năng lượng

tiêu tán (dissipated) của một tải chuẩn hóa với giá trị 1 ohm khi áp điện áp f(t) vào hai đầu trở (hay khi cho dòng f(t) qua trở 1 ohm này) Trường hợp này đo lường “năng

lượng” chỉ thị khả năng của năng lượng chứ không là năng lượng thực Như thế, các ýniệm về bảo toàn năng lượng không dùng được cho ý niệm “năng lượng tín hiệu” này Lýluận tương tự cho trường hợp “công suất tín hiệu” theo định nghĩa (1.3) và (1.4) Các đolường này không chỉ thị thích hợp cho kích thước tín hiệu, là ý niệm hữu ích trong nhiều

ứng dụng Thí dụ, ta xấp xỉ tín hiệu f(t) bằng tín hiệu g(t), sai số xấp xỉ là e(t) = f(t) –g(t) Năng lượng (hay công suất) của e(t) là chỉ thị thích hợp tính đúng của phép xấp xỉ, nhằm

cung cấp cho ta một đo lường định lượng nhằm xác định tính khớp của phép xấp xỉ trong

hệ thống thông tin, khi truyền qua kênh truyền, tín hiệu tin tức bị sai lệch do tín hiệukhông mong muốn (nhiễu) Chất lượng tín hiệu thu được được đánh giá thông qua kíchthước tương đối của tín hiệu mong muốn và tín hiệu không mong muốn (nhiễu) Trườnghợp này, tỉ số giữa công suất tín hiệu mang tin tức và công suất nhiễu (tỉ số tín hiệu trênnhiễu) là chỉ thị tốt để đánh giá chất lượng tín hiệu thu được

Đơn vị đo năng lượng và công suất:

Phương trình (1.1) và (1.2) chưa có thứ nguyên đúng, do ta không dùng ý niệmnăng lượng theo nghĩa qui ước, mà chỉ dùng chỉ thị kích thước tín hiệu Tương tự chotrường hợp công suất ở (1.3) và (1.4) Trường hợp này, đơn vị của năng lượng và công

suất được định nghĩa theo bản chất của tín hiệu f(t) Nếu f(t) là tín hiệu điện áp, thì năng lượng E f có thứ nguyên là V 2 s (vôn bình phương-giây) và công suất P f có thứ nguyên là

V 2 (vôn bình phương) Khi f(t) là tín hiệu dòng điện, thì năng lượng E f có thứ nguyên là

A 2 s (vôn bình phương-giây) và công suất P f có thứ nguyên là A 2 (ampe bình phương).

■ Thí dụ 1.1:

Xác định đo lường thích hợp cho các tín hiệu trong hình 1.2

Trong hình 1.2a, biên độ tín hiệu  0 khi t  , vậy đo lường thích hợp cho

tín hiệu là năng lượng E f, cho bởi:

8 4 4 4

) 2 ( )

2 2

Trong hình 1.2b, biên độ tín hiệu không  0 khi t   Đồng thời, tín hiệu làtuần hoàn nên tồn tại công suất Dùng công thức (1.3) xác định công suất Đơn giản hóaphép tính do quan sát thấy tín hiệu tuần hoàn lập lại mỗi chu kỳ 2 giây (trong trường hợpnày) Vậy:

3

1 ) ( 2

1 ) ( 2

1 2 1

1 2

Xác định công suất và trị rms của:

(a) f(t) Ccos( 0t  ), (b) f(t)C1cos(1t1)C2cos(2t2) ( 1 2),(c) f(t) De j 0t

2 / 2

2 0

2

2 lim )

( cos

1

T

T T T

T

T

C dt

t C

T

    /2     

2 /

2 / 2

2 2

) 2 2

cos(

2

lim 2

T

T T T

T

C dt

2

2

C

P f  (1.5a)(b) Trong chương 4, ta chứng minh được là tổng hai sin có thể là tuần hoàn haykhông tuần hoàn, điều này tùy thuộc vào tỉ số 1 /2 là hữu tỉ hay không, Do đó,

chưa xác định được chu kỳ của tín hiệu này Như thế, xác định công suất dùng

phép lấy trung bình của năng lượng trong T giây, với T   Vậy:

    /2   

2 /

2 2 2 2

1 1

[ 1

T T

/ 2

2 2

[

1

T T

T T

T t

C như tính toán ở phần (a) Tương tự trong phần (a), ta thấy thừa số thứ

ba triệt tiêu, sau cùng:

22

2 2

2

1 C C

P f   (1.5b)

Và giá trị rms là ( 2 ) / 2

2 2

) cos(

) (

n

n n

C t

P (1.5c)(c) Khi tín hiệu là phức, dùng phương trình (1.4) để tính công suất:

    /2

2 /

2

0 1

T

t j T

Nhận xét:

Phần (b) đã chứng minh được là công suất của tổng hai tín hiệu sin thì bằng tổngcông suất các tín hiệu sin Nhận thấy là công suất của f1(t) f2(t) là P  f1 P f2 Điềukhông may là kết quả này không phải luôn luôn đúng, mà chỉ đúng trong một số trườnghợp (trực giao) sẽ được trình bày trong phần 3.1-3

 Bài tập E 1.1

Chứng tõ năng lượng của các tín hiệu trong hình 1.3a, b, c và d lần lượt là 4, 1,4/3, và 4/3 Nhận thấy khi nhân đôi tín hiệu thì năng lượng tăng gấp 4, và khi dời tín hiệutheo thời gian không ảnh hưởng đến năng lượng Chứng minh là công suất của tín hiệutrong hình 1.3e là 0,4323 Tìm trị rms của tín hiệu trong hình 1.3e? 

 Bài tập E 1.2

Làm lại thí dụ 1.2a để tìm công suất tín hiệu sin Ccos( 0t  ) bằng cách lấytrung bình năng lượng tín hiệu trong một chu kỳ T0  2  /  0 (thay vì lấy trung bìnhtrong khoãng thời gian vô hạn) Chứng tõ là công suất của tín hiệu hằng f(t) C0 là2

)cos(

)

(t C1 1t1 C2 2t2

f là [C1C2 2C1C2cos( 1 2)]/2, khôngbằng giá trị ( 2)/2

2

2

1 C

C  

1.2 Phân loại tín hiệu

Có nhiều lớp tín hiệu, trong tài liệu này ta chỉ quan tâm đến các lớp tín hiệu sau:

1 Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc theo thời gian

2 Tín hiệu analog và tín hiệu số

3 Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn

4 Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất

5 Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên

1.2-1 Tín hiệu liên tục và tín hiệu rời rạc theo thời gian

Tín hiệu xác định với mọi giá trị của thời t (hình 1.4a) được gọi là tín hiệu liên tục

theo thời gian, và tín hiệu chỉ xác định với các giá trị thời gian rời rạc (hình 1.4b) là tínhiệu rời rạc theo thời gian Ngõ ra của máy điện thoại và máy ghi hình là tín hiệu liên tụctheo thời gian (ngày nay, điều này là chưa đúng?!!), trong khi giá trị GNP theo quí, giá trịbán hàng của công ty, và chỉ số chứng khoán từng ngày là các tín hiệu rời rạc

1.2-2 Tín hiệu analog và tín hiệu số

Ý niệm về tín hiệu liên tục theo thời gian thường bị hiểu lầm là tín hiệu analog.Hai ý niệm này khác nhau, tương tự như ý niệm giữa tín hiệu rời rạc và tín hiệu số Tínhiệu có biên độ với biên độ có thể có giá trị bất kỳ trong tầm liên tục thi được gọi là tínhiệu analog Điều đó có nghĩa là biên độ tín hiệu analog có thể có vô hạn giá trị Tín hiệu

số, thì biên độ chỉ có thể có số hữu hạn các giá trị Tín hiệu dùng trong máy tính số là tínhiệu số do chỉ có hai giá trị biên độ (tín hiệu nhị phân) Tín hiệu số có thể có M giá trị là

tín hiệu bậc M, trong đó nhị phân (M=2) là một trường hợp đặc biêt Cụm từ liên tục theo thời gian và rời rạc theo thời gian cho thấy bản chất của tín hiệu theo trục thời gian (trục ngang) Cụm từ analog và số, thì lại cho thấy bản chất của tín hiệu theo trục biên độ

(trục dọc) Hình 1.5 vẽ tín hiệu analog rời rạc theo thời gian Tín hiệu analog có thểchuyển thành tín hiệu số (qua bộ chuyển đổi ADC) qua quá trình lượng tử hóa (làm tròngiá tri) như giải thích ở phần 5.1-3.

1.2-3 Tín hiệu tuần hoàn và tín hiệu không tuần hoàn

Tín hiệu f(t) là tuần hoàn khi có một số hằng số dương T 0

f(t) f(tT0) với mọi giá trị t (1.6)

Trị bé nhất của T 0 thỏa điều kiện tuần hoàn (1.6) là chu kỳ của f(t) Các tín hiệu

trong hình 1.2b và 1.3e là tín hiệu tuần hoàn có chu kỳ lần lượt là 2 và 1, Tín hiệu khôngtuần hoàn là tín hiệu không có chu kỳ Các tín hiệu trong hình 1.2a, 1.3a 1.3b, 1.3c và1.3d đều là tín hiệu không tuần hoàn

Từ định nghĩa, tín hiệu tuần hoàn f(t) không thay đổi khi dời một chu kỳ theo thờigian Do đó, tín hiệu tuần hoàn phải bắt đầu từ t  , nếu không, giả sử khi bắt đầu từ

Một đặc tính quan trọng của tín hiệu tuần hoàn f(t) là f(t) có thể được tạo ra từ cách mở rộng tuần hoàn (periodic extension) một đoạn bất kỳ của f(t) với thời khoảng T 0

(chu kỳ) Từ đó, ta có thể tạo f(t) từ bất kỳ đoạn nào của f(t) với thời khoảng một chu kỳ bằng cách đặt đoạn này và tái tạo tín hiệu Hình 1.7 vẽ tín hiệu tuần hoàn f(t) với chu kỳ

T 0 = 6 Phần tô đen trong hình 1.7a cho thấy một đoạn của tín hiệu f(t) bắt đầu tại t   1

và có thời khoảng một chu kỳ (6 giây) Đoạn này, khi lặp lại không dừng theo các hướng,

tạo ra tín hiệu tuần hoàn f(t) Độc giả có thể kiểm nghiệm lại là có thể tạo với bất kỳ đoạn nào của f(t) , thời điểm nào với thời khoảng là một chu kỳ

Tín hiệu bắt đầu từ t  và tiếp tục không dừng được gọi là tín hiệu khôngdừng (everlasting signals) Như thế, tín hiệu không dừng tồn tại suốt trong khoãng

Tín hiệu không bắt đầu trước khi t = 0, được gọi là tín hiệu nhân quả Tức là, f(t)

là tín hiệu nhân quả nếu:

f( t) 0 khi t  0 (1.7)Các tín hiệu trong hình 1.3a, b, c cùng các hình 1.9a và 1.9b là các tín hiệu nhân

quả Tín hiệu khởi đầu trước t = 0 được gọi là tín hiệu không nhân quả; tuy nhiên tín hiệu

không nhân quả trong hình 1.1 và 1.2 là tín hiệu dừng Một tín hiệu có giá trị zêrô vớimọi t  0 được gọi là tín hiệu phản nhân quả (anticausal signal)

Nhận xét:

Rõ ràng là trong thực tế, ta không tạo ra được tín hiệu không dừng thực Như thếtại sao ta lại bận tâm đến chúng như thế? Các chương kế cho thấy một số tín hiệu (bao

gồm cả các tín hiệu không dừng sin) tuy không tạo ra được trong thực tế nhưng lại rấthữu ích khi nghiên cứu về tín hiệu và hệ thống

1.2-4 Tín hiệu năng lượng và tín hiệu công suất.

Tín hiệu có năng lượng hữu hạn gọi là tín hiệu năng lượng, và tín hiệu có công suất hữu hạn và khác không thì được gọi là tín hiệu công suất Các tín hiệu trong hình

1.2a và 1.2b lần lượt là các tín hiệu năng lượng và tín hiêu công suất Nhận thấy côngsuất chính là trung bình theo thời gian của năng lượng Khi lấy trung bình trong khoảngthời gian vô hạn, tín hiệu có năng lượng hữu hạn sẽ có công suất bằng không, và tín hiệu

có công suất hữu hạn sẽ có năng lượng là vô hạn Từ đó, một tín hiệu thì không thể vừa làtín hiệu công suất vừa là tín hiệu năng lượng Nếu đã là tín hiệu công suất thì không thể

là tín hiệu năng lượng và ngược lại Trường hợp tín hiệu hàm dốc là một thí dụ

Nhận xét:

Mọi tín hiệu thực tế đều có năng lượng hữu hạn nên là tín hiệu năng lượng Mộttín hiệu công suất thì cần phải có độ rộng vô cùng; công suất của chúng, tức là nănglượng trung bình trong thời khoảng lớn vô hạn, sẽ không tiến về giới hạn (khác không)

Rõ ràng là không thể tạo ra được tín hiệu công suất thực trong thực tế do tín hiệu này có

độ rộng vô hạn và năng lượng vô hạn

Đồng thời, do các tín hiệu tuần hoàn có vùng diện tích của 2

)

(t

f trong một chu

kỳ là hữu hạn, nên là tín hiệu công suất; tuy nhiên, không phải mọi tín hiệu công suất đều

là tín hiệu tuần hoàn

 Bài tập E 1.4

Chứng minh là hàm mủ không dừng eat không thể là tín hiệu năng lượng hay tínhiệu công suất với mọi giá trị thực của a Tuy nhiên, khi a là số phức, thì tín hiệu này lại

là tín hiệu công suất có công suất P f  1, bất chấp giá trị của a 

1.2-5 Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên.

Một tín hiệu là tín hiệu xác định khi biết được hoàn toàn mô tả vật lý của tín

hiệu, dạng mô tả toán học hay dạng đồ thị Một tín hiệu mà giá trị không thể dự báo đượcmột cách chính xác nhưng chỉ biết được các thừa số về mô tả thống kê, như trị trung bình,

trung bình bình phương, thì được gọi là tín hiệu ngẫu nhiên Giáo trình này chưa nghiên

cứu về các tín hiệu dạng này

1.3 Một số phép tính lên tín hiệu

Phần này trình bày ba phép tính hữu ích cho tín hiệu: phép dời, phép tỉ lệ, và phépđảo Do biến độc lập của tín hiệu là biến thời gian, nên các phép tính ở đây là: phép dờitheo thời gian, phép tỉ lệ theo thời gian, và phép đảo theo thời gian (phép gấp) Tuynhiên, phương pháp này còn dùng được cho biến độc lập dạng khác (thí dụ biến tần sốhay biến cự ly)

1.3-1 Phép dời theo thời gian.

Xét tín hiệu f(t) trong (Hình 1.8a) và tín hiệu dời T giây theo thời gian (Hình 1.8b)

được gọi là (t) Thay đổi của f(t) tại thời điểm t cũng là thay đổi của (t) tại thời

điểm t+T Vậy:

 vẽ ở hình 1.9a đã được là trễ 1 giây Vẽ tìm mô tả toán học

của hàm này Làm lại bài tập khi f(t) được làm sớm 1 giây.

Hàm f(t) có mô tả toán học như sau:

0 )

(

2

t

t e t f

t

(1.10)Gọi f d (t)là hàm f(t) được làm trễ (dời phải) một giây như hình 1.9b Hàm này là f( t - 1); mô tả toán học có được từ f(t) bằng cách thay t bằng t – 1 vào (1.10) Vậy:

1 0

1 0

1 )

(

) 1 ( 2

t hay t

t hay t

e t f

1 0

1 0

1 )

(

) 1 ( 2

t hay t

t hay t

e t f

t

 Bài tập E 1.5

Viết mô tả toán học của tín hiệu f3(t) của hình 1.3c Tín hiệu này được làm trễ

đi 2 giây Vẽ tín hiệu trễ Chứng minh tín hiệu trễ f d (t)có thể mô tả toán học thành

) 2 (

(

2

)

f a với  1 t  0, và bằng 0 trong các trường hợp khác 

1.3.2 Phép tỉ lệ theo thời gian.

Tỉ lệ là phép nén hay giãn tín hiệu theo thời gian Xét tín hiệu f(t) trong hình

1.10a Tín hiệu (t) trong hình 1.10b là f(t) nén theo thời gian với tỉ lệ 2 Như thế, thay đổi của f(t) tại thời điểm t cũng xuất hiện trong (t) tại thời điểm t/2, nên

)()(2t f t

Và

) 2 ( )

Hình 1.10c vẽ f(2t), với f(t) giãn theo thời gian với tỉ lệ 2 Trong phép tỉ lệ theo

thời gian, tại gốc t = 0, f(t)= f(at)= f(0).

Tóm lại, khi tỉ lệ tín hiệu theo thời gian với tỉ lệ a, ta thay t bằng at Nếu a >1, phép tỉ lệ này là phép nén theo thời gian, nếu a<1, thì phép tỉ lệ này là phép giãn theo

thời gian

■ Thí dụ 1.4:

Hình 1.11a vẽ tín hiệu f(t) Vẽ và viết mô tả toán học tín hiệu sau khi nén theo

thời gian với tỉ lệ 3 Làm lại khi tín hiệu được làm giãn theo tỉ lệ 2

Tín hiệu f(t) có thể được mô tả theo

t t

0

3 0 2

0 5 , 1 2

t e

t hay

t t

f t

c

0

1 0 3

3 0 2

0 5 , 0 0

3 5 , 1 2

) 3 ( )

(1.18a)

Nhận thấy là tại thời điểm t = -1,5 và 3 của f(t) tương ứng với t = -0,5 và 1 của tín hiệu nén f(3t).

Hình 1.11c vẽ f e (t), là tín hiệu f(t) được giãn theo thời gian với tỉ lệ 2; nên có

mô tả toán học là f (t/ 2 ), thay t bằng t/2 trong f(t) Vậy

t e

t hay

t t

f t

e

0

6 0 3

2 / 0 2

0 3 0

2 / 5 , 1 2

) 2 / ( )

(1.18b)

Nhận thấy là tại thời điểm t = -1,5 và 3 của f(t) tương ứng với t = - 3 và 6 của tín hiệu giãn f(t/2) ■

 Bài tập E 1.6

Chứng tõ khi nén tín hiệu sin với tỉ lệ n (n > 1) ta có tín hiệu sin với cùng biên độ

và pha, nhưng có tần số tăng n lần Tương tự, khi giãn tín hiệu sin với tỉ lệ n (n > 1) ta có tín hiệu sin với cùng biên độ và pha, nhưng có tần số giảm n lần Minh họa bằng cách vẽ tín hiệu sin 2t và các tín hiệu có từ tín hiệu này lần lượt được nén với tỉ lệ 3 và giãn với tỉ

lệ 2 

1.3.3 Phép đảo theo thời gian.

Xét tín hiệu f (t) vẽ ở hình 1.12a Xem f (t) là một khung đồng cứng, có khớpnối theo trục dọc Để thực hiện đảo f (t) theo thời gian, ta xoay khung 1800 theo trụcdọc Phép đảo theo thời gian hay còn gọi là phép gấp [phản chiếu của f (t) theo trụcdọc], tạo tín hiệu (t) (hình 1.12b) Nhận xét thấy các thay đổi trong hình 1.12a tại thời

điểm t cũng là thay đổi ở hình 1.12b tại thời điểm - t Vậy:

( t ) f(t)

Vậy, khi thực hiện phép đảo theo thời gian, ta thay t bằng - t Như thế, phép đảotín hiệu f (t) cho tin hiệu f  ( t) Do đó, tín hiệu phản ảnh của f (t) theo trục dọc và

)

( t

f  Nhắc lại là tín hiệu phản ảnh của f (t) theo trục tung là - f (t)

■ Thí dụ 1.5:

Xét tín hiệu f (t) vẽ ở hình 1.13a, vẽ f  ( t) là tín hiệu đảo của f (t)

Giá trị của f (t) tại các thời điểm – 1 và – 5 được ánh xạ thành các thành điểm 1 và 5của f  ( t) Do f(t) e t/ 2, nên f( t) et/ 2

t f

t

0

5 1 )

(

2 /

Tín hiệu đảo theo thời gian f  ( t) có được bằng cách thay t bằng – t trong f (t) là

e t f

0

5 1 5

1 )

1 Hàm bước đơn vị u(t)

Ta đã biết là tín hiệu nhân quả (causal) là tín hiệu bắt đầu từ t  0 Các tín hiệunày có thể được mô tả một cách thích hợp theo hàm bước đơn vị u (t) như vẽ ở hình1.14a và được định nghĩa là:

0 1

) (

t

t t

u (1.20)Nếu muốn tín hiệu bắt đầu từ t  0 (có giá trị là 0 khi t  0) thì chỉ cần nhân tínhiệu này với u (t) Thí dụ, tín hiệu eatlà tín hiệu không dừng bắt đầu từ t Dạng nhân quả của tín hiệu này, vẽ ở hình 1.14b, là dạng eat u (t)

.Tín hiệu bước đơn vị còn rất hữu ích khi đặc trưng hàm với nhiều dạng mô tả toánhọc khác nhau trong các thời khoảng khác nhau Thí dụ các hàm được vẽ ở hình 1.11.Các hàm này có nhiều mô tả toán học tại các thời khoảng khác nhau, như vẽ ở hình 1.17,1.18a, và 1.18b Các mô tả này thường dài dòng và không thích hợp cho phép xử lý toánhọc Khi dùng hàm bước đơn vị, ta có thể mô tả các hàm này thành một biểu thức xác

định với mọi t

Thí dụ, xét xung vuông vẽ ở hình 1.15a, do tín hiệu xung vuông f (t) có thể viếtthành tổng của hai hàm bước đơn vị dời theo thời gian như hình 1.15b Hàm bước đơn vị

Mô tả tín hiệu hình 1.16a

Tín hiệu hình 1.16 có thể được chia thành hai thành phần f1(t) và f2(t), lầnlượt vẽ ở hình 1.16b và 1.16c Hình 1.16b cho thấy f1(t) là hàm dốc t nhân với tín hiệu

cổng u(t)  u(t 2 ) Vậy:

f1(t)t[u(t) u(t 2)]

Hình 1.16c cho thấy f2(t) là tích của hàm có độ dốc - 2, có giá trị là  2t  c Hàmdốc qua gốc 0 khi t  0, nên c 6, là  2  (t 3 ), với xung cổng là u(t 2 )  u(t 3 ).Vậy:

■ Thí dụ 1.7:

Biểu diễn tín hiệu trong hình 1.11a dùng một biểu thức xác định với mọi t.

Trong khoảng từ -1,5 đến 0, tín hiệu là hằng số 2, và từ 0 đến 3, có giá trị là 2et/ 2.Vậy:

Các dạng xung khác, như xung dạng mủ, xung tam giác hay dạng hàm Gauss cũng cóthể được dùng xấp xỉ hàm xung Đặc tính quan trọng của xung đơn vị không nằm ở hìnhdạng xung, mà do độ rộng xung tiến về không trong khi diện tích được giữ không đổi.Thí dụ, trường hợp xung hàm mủ e t u (t)

vẽ ở hình 1.20a càng trở nên cao và hẹpdần khi  tăng Tại giới hạn    , cao độ của xung  , và độ rộng  0 Trong khi

đó, phần diện tích của xung đơn vị luôn là đơn vị, bất chấp giá trị của  do:

Từ phương trình (1.21), cho thấy hàm k( t) 0 với mọi t  0, và có điện tích là

k Vậy k(t) là hàm xung có diện tích là k (khác với xung đơn vị, có diện tích là 1).

Phép nhân hàm với xung đơn vị

Xét trường hợp nhân hàm (t) (liên tục tại t = 0) với hàm (t) Do xung chỉ

tồn tại tại t = 0, và giá trị của (t) tại t  0 là ( 0 ), ta có:

(t)(t) ( 0 )(t) (1.23a)Tương tự, nếu nhân (t) với xung (t  T), (xung tại vị trí t = T), thì

(t)(t T) (T)(t T)

(1.23b)

Cho thấy là (t) là liên tục tại t  T

Đặc tính lấy mẫu của hàm xung đơn vị

đơn vị Đặc tính này rất quan trọng và hữu dụng, và được gọi là đặc tính lấy mẫu hay

đặc tính sàng lọc (sifting) của xung đơn vị.

T

t  ) với giả sử là hàm là liên tục tại thời điểm tồn tại của xung

Xung đơn vị là hàm tổng quát

Định nghĩa toán học chưa chặt chẻ của xung đơn vị trong phương trình (1.21), tạo

ra nhiều khó khăn lớn Đầu tiên, hàm xung chưa được định nghĩa là hàm độc nhất: thí dụ,

ta chứng minh được là  (t)  (t) cũng thỏa được phương trình (1.21)* Hơn nữa,

)

(t

 cũng chưa thực sự là một hàm theo nghĩa thông thường Một hàm thường được đặctrưng bởi các giá trị của nó theo mọi giá trị thời gian Hàm xung thì triệt tiêu với mọi giátrị, trừ giá trị t  0 Khó khăn này được giải quyết bằng cách định nghĩa hàm xung là

một hàm tổng quát thay vì là hàm bình thường Một hàm tổng quát được định nghĩa từ

ảnh hưởng của mình lên các hàm khác chưa không từ giá trị theo mỗi thời điểm

Từ đó, hàm xung được định nghĩa từ đặc tính lấy mẫu [phương trình (1.24)] Ta chưanói hàm xung là gì hay nó ra sao, mà định nghĩa hàm xung theo ảnh hưởng của nó lênhàm thử (t) Ta định nghĩa hàm xung đơn vị là hàm có phần diện tích của tích số gữahàm với (t) bằng với giá trị của hàm (t) tại thời điểm tồn tại của xung đơn vị, vớigiả sử là hàm (t) liên tục tại thời điểm tồn tại xung đơn vị Theo hướng này thì cả haiphương trình (1.24a) và (1.24b) đều chưa định nghĩa được hàm xung Nên nhớ rằng đặctính lấy mẫu [phương trình (1.24)] là hệ quả của định nghĩa truyền thống (Dirac) về xung[phương trình (1.21)] Ngược lại, đặc tính lấy mẫu [phương trình (1.24)] định nghĩa hàmxung theo hướng hàm tổng quát

Tiếp đến, ta giới thiệu ứng dụng quan trọng của hàm tổng quát để định nghĩa hàmxung Do hàm bước đơn vị u (t) không liên tục tại t  0, nên không tồn tại đạo hàm

t u dt t dt

du

) ( ) ( )

( ) ( )

)

(t dt

du



 (1.27)Vậy:





t  (  )d u(t) (1.28)Kết quả này còn có thê tìm được dùng phương pháp đồ thị từ hình 1.19b Ta thấy

là phần diện tích từ   đến t trong dạng giới hạn của (t) trong hình 1.19b là zêrô nếu

t

0 1

0 0

) (  

* ( ) (cos )

t j t e

e e s

So sánh phương trình này với công thức Euler, ta thấy e stlà dạng tổng quát của e jt

, trong đó biến thời gian j là biến từ của biến tổng quát phức s  j Do đó, biến s

là biến tần số Phương trình (1.30) cho thấy hàm e st bao hàm rất nhiều lớp hàm, nhưsau: (minh họa ở hình 1.21)

Tần số phức thường được biểu diễn trong mặt phẳng tần số phức (mặt phẳng s) như

hình 1.22 Trục ngang là trục thực (trục  ) còn trục dọc là trục ảo (trục j) Trị tuyệtđối của phần ảo của s là  (tần số radian), chỉ thị tần số dao động của e st; phần thựccủa  (tần số neper) cho thông tin về tốc độ tăng hay giảm của biên độ e st

Khi tín hiệu có tần số phức nằm trên trục thực (trục , với  = 0) thì tần số dao động

là zêrô và tín hiệu tăng hay giảm đơn điệu theo dạng hàm mủ (hình 1.21a)

Khi tín hiệu có tần số nằm trên trục ảo (trục j, với  = 0), thì e st  1 và tín hiệu códạng hàm sin truyền thống với biên độ không đổi (hình 1.21b)

Trường hợp s 0 ((     0 ) thì tín hiệu là tín hiệu hằng (dc) do e0t  1

Tín hiệu vẽ ở hình 1.21c và 1.21d có  và  đều khác không; tần số s có dạng phức

và không nằm trên các trục

Tín hiệu trong hình 1.21c giảm theo hàm mủ, có  âm và nằm bên trái trục ảo.

Ngược lại, tin hiệu hình 1.21d tăng theo dạng mủ, với  dương và nằm bên phải trụcảo

Vậy, mặt phẳng s (hình 1.21) có thể được phân thành hai phần: nửa mặt phẳng trái(LHP) tương ứng với tín hiệu giảm theo dạng mủ và nửa mặt phẳng phải (RHP) tươngứng với tín hiệu tăng theo dạng mủ Trục ảo phân cách hai vùng này và tương ứng vớicác tín hiệu có biên độ không đổi

Thí dụ, tín hiệu sin tăng theo dạng mủ 2 cos( 5 )





t

e t có thể xem là tổng của hai hàm

mủ e(  2 5j)t và e(  2 5j)t với các tần số phức lần lượt là (2 + j5) và (2 – j5) và nằm bên

e 5 và e j5t với các tần số phức lần lượt là j5và nằm trên trục phức

Ta thấy là hàm mủ đơn điệu e 2t là tín hiệu sin tổng quát với tần số phức là 2

1.5 Các hàm đối xứng chẵn và đối xứng lẻ.

Hàm f e (t)được gọi là hàm chẵn theo t nếu

f e(t) f e( t) (1.31)Hàm f o (t)được gọi là hàm lẻ theo t nếu

f o(t)   f o( t) (1.32)

Hàm chẵn có cùng giá trị tại các thời điểm t và –t, tức là đối xứng qua trục dọc, như

vẽ ở hình 1.23a Mặt khác, Hàm lẻ có giá trị ngược dấu nhau tại các tại thời điểm t và –t,còn gọi là phản đối xứng theo trục dọc, như vẽ ở hình 1.23b

3.1 Các đặc tính của hàm đối xứng chẵn và đối xứng lẻ.

0 ( ) 2

) ((1.33a)

Và theo hình 1.23b thì

a 

a f o(t)dt 0 (1.33b)Chứng minh: dùng các định nghĩa trong các phương trình (1.31) và (1.32) và xemnhư bài tập

3.2 Thành phần chẵn và thành phần lẻ của tín hiệu.

Tín hiệu f (t) có thể biểu diễn thành tổng hai thành phần chẵn và lẻ, do:

)]

()([)]

()([)

Tử định nghĩa của phương trình (1.31) và (1.32), ta thấy thừa số thứ nhất của vếphải là hàm chẵn và thừa số thứ hai là hàm lẻ

Xét hàm f(t) eat u(t)

 , phân tích thành phần chẵn f (t) và lẻ f (t), ta có: