Cơ sở grobner trên môđun và ứng dụng

Mục đích nghiên cứu Mục tiêu của đề tài nhằm tổng hợp, hệ thống lại các kiến thức liên quan đến Cơ sở Gr¨obner trên vành đa thức và trên môđun, áp dụng được thuật toán tìm cơ sở Gr¨obner

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

VÕ LÊ BẢO TRÂN

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Đà Nẵng - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

——————————–

VÕ LÊ BẢO TRÂN

VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số

Mã số: 60.46.01.04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS Nguyễn Chánh Tú

Đà Nẵng - 2019

Mở đầu 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 VÀNH ĐA THỨC 3

1.1.1 Vành đa thức một biến 3

1.1.2 Vành đa thức nhiều biến 6

Chương 2 CƠ SỞ GB ¨ OBNER TRÊN MÔĐUN VÀ ỨNG DỤNG 8

2.1 CƠ SỞ GB ¨OBNER TRÊN IĐÊAN 8

2.1.1 Thứ tự đơn thức và thuật toán chia 8

2.1.2 Cơ sở Gr¨obner trên iđêan .13

2.2 CƠ SỞ GR ¨OBNER TRÊN MÔĐUN 19

2.2.1 Môđun trên vành đa thức 19

2.2.2 Thứ tự đơn thức và cơ sở Gr¨obner trên môđun 23

2.2.3 Bài toán về các xích hội xung (Syzygies) 32

Kết luận 38

Tài liệu tham khảo 39

k[X] Vành các đa thức nhiều biến

multideg(f i ) Bậc toàn phần của đa thức f i

I(F) Iđêan sinh ra bởi tập F

(a1, , at)T Chuyển vị của vectơ cột

LT (f ) Hạng tử dẫn đầu của đa thức f

LM (f ) Đơn thức dẫn đầu của đa thức f LC(f ) Hệ tử dẫn đầu của f

LCM (a, b) Bội chung nhỏ nhất của a và b

> Quan hệ thứ tự

a|b a là ước của b

fG Phần dư của f khi chia cho G

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Trong đại số tính toán, cơ sở Gr¨obner đóng vai trò quan trọng Lý thuyết nàyđược nhà toán học người Áo Bruno Buchberger đưa ra trong luận văn tiến sĩ củamình năm 1965 dưới sự hướng dẫn của người thầy Wolfgang Gr¨obner Sự hìnhthành lý thuyết cơ sở Gr¨obner dựa vào việc mở rộng thuật toán chia hai đa thứcmột biến sang trường hợp đa thức nhiều biến Cơ sở Gr¨obner trên môđun được

mở rộng từ cơ sở Gr¨obner trên vành và iđêan Nó mang đến nhiều ứng dụng quantrọng, đặc biệt khi áp dụng cho iđêan tập điểm và vành tọa độ của đa tạp Vớimong muốn bước đầu tìm hiểu về đại số tính toán và hình học đại số, với sựgợi ý và hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Chánh Tú, chúng tôi đã chọn đề tài “Cơ

sở Gr¨obner trên môđun và ứng dụng” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Mục tiêu của đề tài nhằm tổng hợp, hệ thống lại các kiến thức liên quan đến

Cơ sở Gr¨obner trên vành đa thức và trên môđun, áp dụng được thuật toán tìm cơ

sở Gr¨obner, tìm các xích hội xung của cơ sở Gr¨obner và tập sinh của một môđuncon

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là cơ sở Gr¨obner trong môđun và ứng dụng của nó

4 Phạm vi nghiên cứu

- Cơ sở Gr¨obner trên môđun

- Một số cách tìm các xích hội xung của một tập sinh của một môđun con

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn được nghiên cứu dựa trên các phương pháp:

- Tham khảo tài liệu, sách giáo viên, giáo trình và mạng internet về các kiếnthức liên quan đến đề tài luận văn

- Phân tích, tổng hợp các tài liệu đã chọn lọc

- Tổng hợp, hệ thống các kiến thức từ các tài liệu liên quan

- Xây dựng ví dụ minh hoạ.

6 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương

• Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày cáckhái niệm, kiến thức cơ bản về đại số liên quan đến vành đa thức, thuật toánchia trên vành đa thức một biến và vành đa thức nhiều biến nhằm chuẩn bịcho Chương 2

• Chương 2: Cơ sở Gr¨obner trong môđun và ứng dung Trình bày về cơ sởGr¨obner trong môđun bao gồm: Định nghĩa, cách tìm cơ sở Gr¨obner và đặcbiêt nghiên cứu ứng dụng của nó trong việc giải quyết các bài toán về các xíchhội xung

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 VÀNH ĐA THỨC

Trong phần này, chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm liên quan về vành đa thứcmột biến, vành đa thức nhiều biến và bước đầu giới thiệu phép chia có dư Từ đó,dẫn dắt đến thuật toán chia trong vành đa thức nhiều biến và trong môđun Toàn

bộ định nghĩa ở mục này được trích dẫn từ tài liệu số [2]

đối với phép cộng nên với mọi m = 0, 1, 2, ta có thể viết

với mọi k = 0, 1, 2, ta suy ra trong P có tính chất phân phối

Bây giờ ta xét dãy

Ánh xạ này là một đơn cấu vành Do đó ta đồng nhất phần tử a ∈ A với dãy

(a, 0, , 0, ) ∈ P Vì mỗi phần tử của P là một dãy

f (x) = a0x0+ a1x + + anxn

các ai, i = 0, 1, , n gọi là các hệ tử của đa thức Các aixi được gọi là hạng tử của

đa thức, a 0 = a 0 x0 được gọi là hạng tử tự do

Theo qui tắc nhân đa thức ta có

f (x)g(x) = a0b0+ + (a0bk + + akb0)xk+ + ambnxn+m

với am và bn khác 0, nên ambn 6= 0 (vì Akhông có ước của 0) Do đó f (x)g(x) 6= 0 và

deg(f (x)g(x)) = deg(f (x)) + deg(g(x)).

Định lý 1.1.4 Giả sử A là một trường f (x), g(x) là hai đa thức khác 0 của vành

A[x], thì lúc đó luôn tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x) thuộc A[x] sao cho

f (x) = q(x)g(x) + r(x)

với r(x) = 0 hoặc nếu r(x) 6= 0 thì deg(r(x)) < deg(g(x))

1.1.2 Vành đa thức nhiều biến

Sau đây, chúng tôi xây dựng vành đa thức nhiều biến dựa vào khái niệm củavành đa thức một biến

Định nghĩa 1.1.5 Giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị, ta đặt:

vànhAn = An−1[xn] kí hiệu làA[x1, , xn]và gọi là vành đa thức củan biếnx1, , xn

lấy hệ tử trong vànhA Một phần tử của An gọi là một đa thức của n biến x1, , xn

lấy hệ tử trong vành A, ta kí hiệu là f (x1, , xn) hay g(x1, , xn)

Từ định nghĩa ta có dãy vành

A0 = A ⊂ A1⊂ A2 ⊂ ⊂ An

trong đó Ai−1 là vành con của Ai, i = 1, 2, , n

Bây giờ ta xét vành A1[x2] = A[x1, x2] Đó là vành đa thức của ẩn x2 lấy hệ tửtrong A1= A[x1] Vậy mỗi phần tử của A[x1, x2] có thể viết dưới dạng

(1) f (x 1 , x 2 ) = a 0 (x 1 ) + a 1 (x 1 )x 2 + + a n (x 1 )xn2 với các a i (x 1 ) ∈ A[x 1 ]

(2) ai(x1) = bi0+ bi1x1+ + bimixmi , i = 0, , n Vì A[x1, x2]là một vành nên ta cóphép nhân phân phối đối với phép cộng, do đó f (x1, x2) còn có thể viết dưới dạng:(3) f (x1, x2) = c1xa11

ci gọi là các hệ tử và các cixai1

1 xai2

2 gọi là các hạng tử của đa thức f (x1, x2)

Bằng quy nạp ta chứng minh mỗi đa thức f (x1, , xn) của vành A[x1, , xn] cóthể được viết dưới dạng:

Chương 2

CƠ SỞ GB ¨ OBNER TRÊN MÔĐUN VÀ ỨNG DỤNG

2.1.1 Thứ tự đơn thức và thuật toán chia.

Trước khi tìm hiểu về cơ sở Gr¨obner trên môđun, chúng tôi trình bày về cáchsắp xếp các đơn thức hay còn gọi là thứ tự đơn thức trên vành đa thức nhiều biến,

từ đó xây dựng được thuật toán chia

Định nghĩa 2.1.1 ([5], Định nghĩa 1.1, Tr.2) Một đơn thức của các biến x1, , xn

f = X

α

cαxα,

với cα ∈ k và có hữu hạn hạng tử cαxα trong tổng trên

Trong vành đa thức một biến, các đơn thức được sắp xếp theo một thứ tự nhấtđịnh để thực hiện phép chia có dư Tương tự trong vành đa thức nhiều biến cũngcần sắp xếp các đơn thức theo một thứ thự nào đó, còn được gọi là thứ tự đơnthức Sau đây, chúng tôi sẽ trình bày định nghĩa thứ tự đơn thức trong vành đathức nhiều biến

Định nghĩa 2.1.2 ([5], Định nghĩa 2.1, Tr.7) Một quan hệ > trên tập hợp cácđơn thức xα trong k[X] được gọi là một thứ tự đơn thức trên k[x1, , xn] nếu nóthoả mãn các tính chất sau:

Thứ tự từ điển cũng chính là thứ tự của bảng chữ cái được dùng trong từ điển.Định nghĩa 2.1.4 (Thứ tự từ điển phân bậc)([5], Định nghĩa 2.3, Tr.8) Cho xα

và xβ là các đơn thức trong k[X] Ta nói xα >grlex xβ nếu Pn

i=1 αi > Pni=1βi hoặcnếu Pn

i=1 αi=Pn

i=1 βi thì trong hiệu α − β ∈Zn phần tử bên trái khác không đầutiên là số dương

Định nghĩa 2.1.5 (Thứ tự từ điển ngược)([5], Định nghĩa 2.4, Tr.8) Cho xα và

xβ là các đơn thức trong k[X] Ta nói xα >grevlex xβ nếu Pn

i=1 α i > Pni=1β i hoặcnếuPn

i=1 αi =Pni=1βi thì trong hiệu α − β ∈Zn phần tử bên phải khác không đầutiên là số âm

thứ tự tốt nên ta chỉ cần kiểm tra tính chất b của Định nghĩa 2.1.2 Xét xα >lex xβ

và với xγ ∈ k[X], giả sử α = (α1, α2, , αn), β = (β1, β2, , βn) và γ = (γ1, γ2, , γn).Khi đó, ta có

i=1 γi=Xn

i=1 βi+Xn

i=1 γi.

Ngoài ra hai đơn thức xγxα >lex xγxβ vì có hiệu hai vectơ mũ chính bằng hiệu α − β

nên có phần tử bên trái đầu tiên khác 0 là số dương n Vì vậy, ta cóxγxα>grlex xγxβ

Do đó quan hệ >grlex là thứ tự đơn thức Với cách tương tự ta chứng minh đượcthứ tự từ điển ngược là thứ tự đơn thức

Định nghĩa 2.1.7 ([5], Thuật toán chia 2.6, Tr 11) Cho f ∈ k[X]

f =X

α cαxα

khi đó hạng tử dẫn đầu của f (với thứ tự đơn thức >) là đơn thức dẫn đầu trong

f ứng với thứ tự đơn thức >, ký hiệu LT>(f ) Lúc này bậc toàn phần của đa thức

f là bậc của hạng tử dẫn đầu, kí hiệu mulideg(f ) Nếu LT (f ) = cxα thì LC(f ) = c

được gọi là hệ tử dẫn đầu của f và LM (f ) = xα là đơn thức dẫn đầu Chú ý rằng

LT (0), LC(0), LM (0) không xác định

Ví dụ 2.1.8 Xét đa thức f = 3x3y2+ x2yz3∈Q[x, y, z] với thứ tự từ điển Ta có

LT>lex(f ) = 3x3y2, LM>lex(f ) = x3y2, LC>lex(f ) = 3

và với thứ tự từ điển phân bậc thì

LT>grevlex(f ) = x2yz3, LM>grevlex(f ) = x2yz3, LC>grevlex(f ) = 1.

Mệnh đề 2.1.9 (Thuật toán chia trên k[X])([5], Thuật toán 2.6, Tr 11) Xét mộtthứ tự đơn thức > trên k[X], và F = {f 1 , f 2 , , f s } với f i ∈ k[X], i = 1, , s Khi đó,

với mọi f ∈ k[X] có thể được viết dưới dạng

f = a 1 f 1 + a 2 f 2 + + a s f s + r

với ai, r ∈ k[X], i = 1, , s Với mỗi i, aifi = 0 hoặc LM>(f ) ≥ LM>(aifi) và

r = 0 hoặc r là một đa thức sao cho mọi hạng tử của nó đều không chia hết cho

LT>(fi), ∀i = 1, , s Ta gọi r là phần dư của f khi chia cho F Kí hiệu

nhưng chia hết cho LT (f2) nên thực hiện phép chia tương tự r1 cho f2

− y

2 + y y2− 1

y2− 1 1.

y + 1

ta được thương là a2 = 1, phần dư r2 = y + 1 Lúc này, ta nhận thấy mọi hạng

tử của r 2 đều không chia hết cho LT (f 1 ) và LT (f 2 ) nên ta chuyển r 2 vào phần dưchung Vậy ta có:

f = (x + y)f1+ 1.f2+ x + y + 1.

Tuy nhiên nếu ta thực hiện phép chia f cho f 2 trước thì ta được kết quả nhưsau:

f = (x + 1)f2+ xf1+ 2x + 1.

Ta nhận thấy rằng phần dư của phép chia đa thức trong vành đa thức nhiều biến

là không duy nhất Vậy khi nào thì phần chia này duy nhất ? Cơ sở Gr¨obner đóngvai trò quan trọng trong viêc giải quyết vấn đề này

Bổ đề 2.1.11 ([4], Bổ đề 8, Tr 60) Cho f, g ∈ x[X] là hai đa thức khác không.Khi đó:

(i) multideg(f g) = multideg(f ) + multideg(g).

(ii) Nếu f + g 6= 0 thì multideg(f + g) ≤ max(multideg(f ), multideg(g)).

Chứng minh: (i) Gọi F G = {u i v j, với u i là các đơn thức của f, v j là các đơnthức của g }, với i = 1, , n; j = 1, , m Gọi umax, vmax lần lượt là các đơn thức dẫnđầu của f và g Vì vậy ta có

ui ≤ umax, vj ≤ vmax, ∀i, j

suy ra

uivj ≤ umaxvmax, ∀i, j.

Dấu "=" xảy ra khi ui= umax và vj = vmax

Gọi c, d ∈ k khác 0 lần lượt là hệ tử của umax và vmax Vì k là một trường nênvớic, dkhác 0 thìcd 6= 0, vì thếcdu max v max cũng là một hạng tử củaF G Do đó ta có

multideg(uivj) ≤ multideg(umaxvmax) = multideg(umax) + multideg(vmax)

= multideg(f ) + multideg(g).

Vậy multideg(f g) = multideg(f ) + multideg(g)

(ii) Giả sử multideg(f + g) > max(multideg(f ), multideg(g)) Gọi m là bậc toànphần của đa thức f + g, n là bậc toàn phần của đa thức f Không mất tính tổng

quát, giả sử max(multideg(f ), multideg(g)) = n thì lúc này m > n Khi đó, tồn tạimột đơn thức u trong g sao cho bậc của u bằng m Điều này vô lí vì n là bậc caonhất của hai đa thức f, g Vậy

multideg(f + g) ≤ max(multideg(f ), multideg(g)).

2.1.2 Cơ sở Gr¨ obner trên iđêan.

Trước khi vào nội dung chính của phần này, chúng tôi sẽ trích dẫn môt loạt cácđịnh nghĩa và định lí trong tài liệu [4] và [5]

Định nghĩa 2.1.12 ([4], Định nghĩa 1, Tr.70 ) Một iđêan I ⊂ k[X] được gọi làmột iđêan đơn thức nếu có tập sinh là tập các đơn thức Hay

I = hxα : α ∈ A ⊂Zni.

Bổ đề 2.1.13 ([4], Bổ đề 2, Tr.70 ) Cho I = hxα: α ∈ Ai là một iđêan đơn thức.Khi đó, một đơn thức xβ thuộc vào I khi và chỉ khi xβ chia hết cho xα với α nàođó

Chứng minh: Nếu xβ là tích của xα với một đa thức nào đó, trong đó α ∈ A, thì

xβ ∈ I theo định nghĩa của iđêan đơn thức Ngược lại, nếu xβ ∈ I thì

đó Vì vậy, vế trái xβ cũng có tính chất tương tự

Bổ đề 2.1.14 ([4], Bổ đề 3, Tr 71) ChoI là một iđêan đơn thức, và chof ∈ k[X].Khi đó ta có các mệnh đề sau là tương đương:

a f ∈ I

b Mọi hạng tử của f đều thuộc vào I

c f là một k- tổ hợp tuyến tính của các đơn thức trong I

Chứng minh: Từ c suy ra b suy ra a một cách dễ dàng Ta chứng minh a suy

ra c tương tự như Bổ đề 2.1.13 Với mọi f ∈ I, với I = hxα: α ∈ A ⊂Zni thì

(i) hT L(I)i là một iđêan đơn thức

(ii) Tồn tại g1, , gt ∈ I sao cho hT L(I)i = hT L(g1), , T L(gt)i

Chứng minh:(Xem [4], Mệnh đề 3 )

Định lý 2.1.18 (Định lí sơ sở Hilbert)([4], Định lí 4, Tr 76) Mọi iđêan I trong

k[X] luôn hữu hạn sinh Có nghĩa là I = hg1, , gti với gi ∈ k[X] nào đó

Chứng minh: (Xem [4], Định lí 4)

Định nghĩa 2.1.19 ( [5], Định nghĩa 3.1, Tr.14 ) Cho một thứ tự đơn thức >

trên k[X] và I ⊂ k[X] là một iđêan Một tập hợp G = {g1, , gt} ⊂ I được gọi là cơ

sở Gr¨obner của I (ứng với thứ tự đơn thức >) nếu với mọi phần tử f ∈ I, f khác

0, đơn thức LT (f ) chia hết cho LT (gi) với i nào đó Hay nói cách khác

hLT (I)i = hLT (g 1 ), , LT (g t )i.

Hệ quả 2.1.20 ( [4], Hệ quả 6, Tr 77 ) Xét một thứ tự đơn thức, khi đó mọiiđêan I ⊂ k[X], I 6= {0} có một cơ sở Gr¨obner Ngoài ra, một cơ sở Gr¨obner bất kìđều là một cơ sở của I

Chứng minh:(Xem [4], Định nghĩa 3.1)

Mệnh đề 2.1.21 ( [4], Mệnh đề 1, Tr.82) Cho G = {g1, g2, , gt} là một cơ sởGr¨obner của một iđêan I ⊂ k[X] và cho f ∈ k[x] Khi đó, tồn tại duy nhất r ∈ k[X]

thoả mãn các tính chất sau:

a Không có hạng tử nào của r chia hết cho LT (g1), , LT (gt)

b Có phần tử g ∈ I sao cho f = g + r

Chứng minh: Từ thuật toán chia ta suy ra f = a1g1+ + atgt+ r, với r là phần

dư thoả mãn tính chất a Đặt g = a1g1+ + atgt thì thoả mãn tính chất b

Cần chứng minh r là duy nhất Giả sử f = g + r = g0+ r0 thoả mãn tính chất

a, b của Mệnh đề 2.1.21 Khi đó r − r0= g − g0 ∈ I, nếu r 6= r0 thì

LT (r − r0) ∈ hLT (I)i = hLT (g1), , LT (gt)i.

Theo Bổ đề 2.1.13thì LT (r − r0)chia hết cho LT (g i ) nào đó Điều này vô lí vì không

có hạng tử nào của r, r0 chia hết cho một trong các LT (g1), , LT (gt) Thật vậy

r − r0= 0 và ta chứng minh được tính duy nhất của r

Hệ quả 2.1.22 ([4], Hệ quả 2, Tr.82) Cho G = {g1, , gt} là một cơ sở Gr¨obnercủa iđêan I ⊂ k[X] và f ∈ k[X] Khi đó f ∈ I khi và chỉ khi phần dư của f khi chiacho G bằng 0

Qua Hệ quả 2.1.20, ta biết rằng mỗi iđêan đều có một cơ sở Gr¨obner và nó cũngchính là một cơ sở của iđêan đang xét Hơn nữa ta chứng minh được phần dư của

đa thức khi chia cho cơ sở Gr¨obner là duy nhất bằng Mệnh đề2.1.21, đây là một kếtquả quan trọng trong chương này Vậy để tìm được cơ sở Gr¨obner của một iđêan

ta theo dõi cách làm dưới đây

Định nghĩa 2.1.23 ( [5], Định nghĩa 3.2, Tr 15) Cho f, g ∈ k[X]khác 0 Xét một

Chứng minh: (Xem [4], Bổ đề 5)

Định lý 2.1.26 (Tiêu chuẩn Buchberger)([4], Định lí 6, Tr.85) Cho I là mộtiđêan Một cơ sở G = {g 1 , , g t } của I là một cơ sở Gr¨obner của I khi và chỉ khi

S (gi, gj)G= 0 với mọi cặp i, j

Chứng minh: "⇒" Nếu G là cơ sở Gr¨obner, mà S(gi, gj) ∈ I, do đó phần dư của

S(gi, gj) ∈ I khi chia cho G bằng 0 theo Hệ quả 2.1.22

"⇐" Cho f ∈ k[X], f 6= 0 Ta phải chứng minh rằng nếu phần dư của mọi

S-đa thức khi chia cho G bằng 0 thì LT (f ) ∈ hLT (I)i = hLT (g1), , LT (gt)i Cho

f ∈ I = hg 1 , , g t i suy ra có các đa thức h i ∈ k[X] sao cho

Theo Bổ đề 2.1.11, ta có

multideg(f ) ≤ max(multideg(higi)), i = 1, t. (3)Nếu "<" xảy ra thì các hạng tử dẫn đầu của h i g i sẽ triệt tiêu với nhau

Giả sử multideg(f ) < δ, khi đó ta có

Từ giả thiết ta có: S (gj, gk)G = 0 Áp dụng thuật toán chia ta có

multideg(aijkgi) ≤ multideg(S(gj, gk)), (7)với mọi i, j, k Nhân hai vế của biểu thức (6) cho xδ−γjk ta nhận được

với bijk = xδ−γjk aijk Từ biểu thức (7) và Bổ đề 2.1.25 ta suy ra rằng

multideg(bijkg i ) ≤ multideg(xδ−γjk S (g j , gk)) < δ. (8)Nếu ta thay (8) vào (5) khi đó ta có biểu thức

Điều nay vô lí vì δ là bậc nhỏ nhất của mọi biểu thức biểu diễn của f

Định lý 2.1.27 (Thuật toán Buchberger) ([5], Tr.16) Cho I = hf1, , fsi 6= 0 làiđêan Khi đó một cơ sở Gr¨obner của I được tìm bằng hữu hạn bước bởi thuật toánsau:

IF S 6= 0 THEN G := G ∪ {S}

UNTIL G = G0

Ví dụ 2.1.28 Xét trong vành đa thức k[x, y, z], cho I = hx − y3z, y − z4i, đặt

f1 = −y3z + xvà f2 = −z4+ y, F = {f1, f2} Xét thứ tự từ điển phân bậc ta có

Để tìm hiểu về cơ sở Gr¨obner trên môđun, trước tiên ta sẽ nêu lại một số địnhnghĩa, định lí liên quan đến môđun trên vành đa thức Toàn bộ các định nghĩa vàđịnh lí dưới đây được tôi trích dẫn từ tài liệu [5], Chương 4

2.2.1 Môđun trên vành đa thức.

Nếu R là một vành giao hoán có đơn vị, thìR- môđun được định nghĩa như sau.Định nghĩa 2.2.1 Cho R là một vành (không nhất thiết giao hoán) Một tập M

được gọi là R-môđun phải nếu:

(1) M là một nhóm cộng Abel

Lúc đó R được gọi là một vành cơ sở Nếu M là một R-môđun phải ta kí hiệu

MR Tương tự ta có định nghĩa R-môđun trái

Ví dụ 2.2.2 Cho R là một vành, tập hợp các vectơ cột Rm là một R-môđun vớicác phép toán được xác định như sau

Định nghĩa 2.2.3 Cho M là một R- môđun, tập hợp F = {f1, , ft} được gọi

là cơ sở của M nếu F là hệ sinh độc lập tuyến tính Tức là ∀f ∈ M, thì f đềuđược viết dưới dạng là một tổ hợp tuyến tính của F và nếu a1f1+ + atft = 0 thì

với ai ∈ R, và fi∈ F.

Chứng minh tương tự như đối với không gian vectơ

Định nghĩa 2.2.5 Cho M là một R-môđun Khi đó M được gọi là môđun tự donếu M có một cơ sở môđun

Ví dụ 2.2.6 Môđun M = Rm là môđun tự do có một cơ sở là các phần tử

Ta chú ý rằng nếu môđun được sinh bởi một phần tử thì không phải môđun

tự do Ví dụ, cho R là vành đa thức và f ∈ R là một đa thức khác không Khi

đó M = R/hf i sinnh bởi phần tử [1] Nhưng [1] không phải là cơ sở của M vì